Mathematik I für MB und ME

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1 Mathematik I für MB und ME Fachbereich Grundlagenwissenschaften Prof Dr Viola Weiÿ Wintersemester 28/29 Übungsaufgaben Serie 4: Lineare Unabhängigkeit, Matrizen, Determinanten, LGS Prüfen Sie, ob die folgenden Systeme von Vektoren linear unabhängig sind: a a = (3,, 2 T, b = (2,, T, b a = (3,, 2 T, b = (2,, T, c = ( 3,, T, c a = (3,, 2 T, b = (2,, T, c = (,, T, d a = (3,, 2 T, b = (2,, T, c = (5, 3, 4 T, e a = (,, 3 T, b = (2, 3, T, c = (4,, 3 T, d = (,, T 2 Für welche k R sind die Vektoren a = (,, k T, b = (k,, T und c = (, k, T linear unabhängig? 3 Für die Matrizen ( ( ist zu berechnen: BA T und (A + BC, C = Lösen Sie die Matrizengleichung AX B = 3C für die (2, 2-Matrix X mit ( ( Bestimmen Sie jeweils den Rang für folgende Matrizen B = ( , C = C = ( Bestimmen Sie den Wert folgender Determinanten D = D 2 = Welchen Rang hat die Matrix, deren Determinante D 2 oben berechnet wurde? 2 λ 7 Für welche λ R ist die Determinante 2 2 λ gleich Null? 2 2 λ

2 8 Berechnen Sie für die folgenden Matrizen jeweils die inverse Matrix: ( B = Zeigen Sie, daÿ A A T eine symmetrische Matrix ist für jede reelle (2, 2-Matrix A Untersuchen Sie die Lösbarkeit der folgenden linearen Gleichungssysteme und geben Sie jeweils die Lösungen an: a c 2x + 4x 2 + 3x 3 = 3x 6x 2 2x 3 = 2 5x + 8x 2 + 2x 3 = 4 x 2x 2 + 3x 3 = 4 3x + x 2 5x 3 = 5 2x 3x 2 + 4x 3 = 7, b 2x + 2x 2 + 5x 3 = 3 x 3x 2 6x 3 = 5 7x 5x 2 8x 3 = 5 Lösen Sie das LGS aus Aufgabe a mit Hilfe der Cramerschen Regel Es seien die folgenden drei Ebenengleichungen gegeben: E : x y 2z =, E 2 : x + y βz = 2, E 3 : 2y + z = α Bestimmen Sie α, β R so, daÿ die drei Ebenen sich a nicht schneiden, b in einem Punkt schneiden, c in einer Geraden schneiden Geben Sie eine Parameterdarstellung der Schnittgeraden an 2 Ein Dreieck mit den Eckpunkten (2; (5; 2 und C = (4; 3 soll um den Punkt A um den Winkel ϕ = π gedreht werden Geben Sie die Koordinaten der Eckpunkte 3 A, B, C des gedrehten Dreiecks an 3 In einem CAD-System soll durch eine Transformation das Dreieck mit den Eckpunkten (, (5, und C = (, auf das Dreieck A = (2, 4, B = (, und C = (4, abgebildet werden Bestimmen Sie die Abbildungsvorschrift dieser Transformation 4 Bestimmen Sie Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrizen: a ( 2 2 b B = c C =, 2 2

3 Zusätzliche Aufgaben zum Selbststudium: Prüfen Sie, ob die folgenden Systeme von Vektoren linear unabhängig sind: a a = (, 3, 2 T, b = (, 2, T, b a = (, 3, 2 T, b = (, 2, T, c = ( 5, 2, 7 T, c a = (, 3, 2 T, b = (, 2, T, c = (, 2, 2 T 2 Bestimmen Sie den Wert a R so, daÿ die Vektoren x = (2,, 4 T, y = (,, 2 T und z = (5, 2, a T linear abhängig werden! 3 Für die Matrizen ( ( , C = ist zu berechnen: 2A + 3B und B T AC ( a b 4 Es sei M die Menge aller Matrizen der Form mit a, b R Zeigen Sie, daÿ b a sowohl die Summe als auch das Produkt von zwei beliebigen Matrizen aus M eine Matrix ergibt, die wiederum in M liegt Bestimmen Sie den Rang der Matrix Bestimmen Sie den Wert folgender Determinanten D = 2 2 2, D 2 = , D 3 = Berechnen Sie zu folgenden Matrizen jeweils die inverse Matrix: ( cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ B = Bestimmen Sie die Lösung der homogenen linearen Gleichungssysteme, siehe Aufgabe a, b: a 2x + 4x 2 + 3x 3 = 3x 6x 2 2x 3 = 5x + 8x 2 + 2x 3 =, b 2x + 2x 2 + 5x 3 = x 3x 2 6x 3 = 7x 5x 2 8x 3 = 9 Untersuchen Sie, ob der Vektor d = (4,,, T als Linearkombination der Vektoren a = (2,,, 3 T, b = (,,, T und c = (,, 2, 2 T dargestellt werden kann! 3

4 Für welche p R hat das lineare Gleichungssystem Ax = b keine, genau eine bzw mehrere Lösungen? Geben Sie jeweils sämtliche Lösungen an: 2 p p, b = 2p 2 3 p 3 7 Um welchen Winkel muÿ man ein ebenes kartesisches Koordinatensystem drehen, damit die x-achse des gedrehten Systems durch den Punkt P = (2; 4 geht? Welche Koordinaten hat der Punkt P bezüglich des gedrehten Koordinatensystems? 2 Bestimmen Sie jeweils Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrizen: B = Schriftliche Aufgaben: Abgabe in den Übungen der Semesterwoche: Gegeben seien der Punkt P = (, 2, 3 und die Gerade g : r(t = + t (a Welchen Abstand hat der Punkt P von der y, z-ebene? (b Geben Sie für die Ebene E, die den Punkt P und die Gerade g enthält, die Gleichung in parameterfreier Form an 4 (c Die Gerade g 2 : r(s = + s 2 schneidet g im Punkt (,, a Bestimmen Sie den reellen Parameter a so, daÿ die Geraden senkrecht aufeinander stehen 4

5 Abgabe in den Übungen der 3 Semesterwoche: Es sei A eine reellwertige (2, 2-Matrix (a Zeigen Sie, daÿ A A T eine symmetrische Matrix ist (b Zeigen Sie, daÿ es keine solche Matrix A gibt, für die gilt ( A A T = 2 Gegeben sei die Matrix mit dem reellen Parameter a a 8 2a 4 3a (a Bestimmen Sie die Determinante von A (b Für welche a R gilt Det(A >? Abgabe in den Übungen der 4 Semesterwoche: 2 Es seien die folgenden drei Ebenen gegeben: E : x 2y + z = 4 E 2 : 2x + y 3z = 2 E 3 : 2x + 2y + az = b Ermitteln Sie die Werte für a, b R, so daÿ sich die drei Ebenen in einer Geraden schneiden Geben Sie diese Schnittgerade in Parameterdarstellung an 2 22 (a Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix 2 (b Geben Sie für einen der Eigenwerte einen zugehörigen Eigenvektor (verschieden vom Nullvektor an 5