Mathematik für Studierende der Fachrichtungen Biologie, Chemie, Lebensmittelchemie und Erziehungswissenschaften Blatt 2

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1 Fakultät Mathematik WS 27/8 Institut für Mathematische Stochastik / Institut für Analysis Dr. W. Kuhlisch, Dr. F. Morherr Mathematik für Studierende der Fachrichtungen Biologie, Chemie, Lebensmittelchemie und Erziehungswissenschaften Blatt 2 Aufgaben Teil : Aufgabe Man berechne (falls die entsprechenden Ausdrücke definiert sind): A + B, A + C, AC, BC, (A + B)C mit ( ) ( ) , B =, C = Aufgabe Gegeben seien folgende Matrizen: B = a 6 C = Berechnen Sie (falls möglich und ggf. unter Verwendung des Falkschen Schemas): A + C, CAB, ABC. Welche Voraussetzungen über den Typ von A, B, C müssen allgemein erfüllt sein?

2 Aufgabe 2 a) Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (i) Eine Nullmatrix ist eine Diagonalmatrix. (ii) Eine Einheitsmatrix ist immer symmetrisch. (iii) Eine quadratische Matrix ist immer symmetrisch. (iv) Eine symmetrische Matrix ist immer quadratisch. b) Geben Sie je ein Beispiel für eine Diagonal-, Dreiecks- und symmetrische Matrix vom Typ 3 3 an. c) Bilden Sie die Transponierte der Matrizen ( ) , B = und weisen Sie für diese Matrizen nach, dass (AB) T = B T A T gilt. d) Zeigen Sie, daß die Diagonalmatrix ist. 3 2 die Inverse der Matrix 3 2 Aufgabe 3 a) Man berechne folgende Determinanten: i , ii. sin α cos α cos α sin α. b) Man berechne die Eigenwerte der Matrix Aufgabe 4 Gegeben seien folgende Matrizen: mit a, b R. a 2 3 B = C = a) Berechnen Sie (sofern möglich): CC T, det(a) und det(b). b) Für welche Parameter a, b hat das Gleichungssystem Ax = C genau eine Lösung? c) Ist das Gleichungssystem CC T x = eindeutig lösbar? b

3 Aufgabe 5 Man löse die folgenden Gleichungssysteme, falls Lösungen existieren: (a) 2x + 4x 2 + 3x 3 =, 3x 6x 2 2x 3 = 2, 5x + 8x 2 + 2x 3 = 4, (b) 2x + 2x 2 + 5x 3 = 3, x 3x 2 6x 3 = 5, 7x 5x 2 8x 3 = 5. Aufgabe 6 Gegeben seien folgende Matrizen: ( ) B = 2 C = a) Berechnen Sie (sofern möglich): A + B, A B, B A, det(ab), det(ba), det(c), det(c 5E) (E... Einheitsmatrix). b) Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Begründen Sie! (i) (AB) existiert. (ii) Der Rang von AB ist gleich 2. (iii) Der Rang von BA ist gleich 2.

4 Aufgaben Teil 2: Aufgabe 7 Gegeben seien folgende Matrizen: E bezeichne die Einheitsmatrix vom Typ(2,2), ( 3 2 ) B = 3 2 C = ( a) Berechnen Sie (sofern möglich) die folgenden Matrizen: ) D = A C, C E, C E, B T B, A C, A D. x x Welche speziellen Eigenschaften haben die berechneten Matrizen? (Begründen Sie, wenn eine Verknüpfung nicht möglich ist.) b) Gilt für quadratische Matrizen A, B im Allgemeinen A (A + B) = B (B + A)? Aufgabe 8 Unter Ausnutzung von bestimmten Eigenschaften der Determinanten berechne man die folgenden Determinanten in Aufgabe a) - e) möglichst einfach: 3 2 a) 2 5 4, b) α α c) α α α α, α R [ 3 d) det(a 99 ) mit 2. e) Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix Hinweis: Die Eigenwerte sind die Nullstellen des Polynoms p 3 (λ) = λ λ λ.

5 Aufgabe 9 Gegeben seien folgende Matrizen: 3 2 B = a C = Berechnen Sie : a) B + C, C T A, det A, ABC b) die Lösung X der Matrizengleichung 3(X E) + A T (E...Einheitsmatrix). c) Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (Begründung) i. det B det AB für a. ii. Die Matrix B besitzt für alle a R eine Inverse. iii. Das Gleichungssystem x + 2x 3 = x 2 + ax 3 = x 2 = besitzt für alle a R genau eine Lösung. iv. det det A T für alle quadratischen Matrizen A. v. det A >, wenn alle Elemente einer quadratischen Matrix A größer als Null sind. vi. Für alle quadratischen Matrizen gilt: Vertauscht man zwei Spalten einer Matrix, so wechselt ihre Determinante das Vorzeichen. vii. det(a + B) = det A + det B für alle quadrischen Matrizen. Aufgabe Gegeben seien folgende Matrizen: E bezeichne die Einheitsmatrix vom Typ (3,3) 3 2 C = a) Berechnen Sie C + 2 B. 2 B = b) Sind die Matrizen C und B zueinander invers? 2 2 c) Berechnen Sie möglichst einfach die Determinanten det(a), det(c), det(b) und det(c B). d) Berechnen Sie die Lösungen x = (x, x 2, x 3 ) T der folgenden Gleichungssysteme (falls sie eine Lösung haben): A x = b und (A 2E) x = b für b = (, 2, 3) T.

6 Aufgabe Gegeben seien die Matrix A und der Vektor b durch 2 2, b = mit a R 3 2 a a) Gibt es Werte a, für die das Gleichungssystem Ax = (i) keine Lösung, (ii) unendlich viele Lösungen, (iii) genau eine Lösung hat? b) Bestimmen Sie den Rang von A in Abhängigkeit von a. c) Lösen Sie das Gleichungssystem Ax = b für den Fall (ii). Aufgabe 2 Eine Reaktionsgleichung für den Zerfall eines Stoffes mit unbekannten Molekülzahlen x K 2 Cr 2 O 7 x 2 K 2 CrO 4 + x 3 Cr 2 O 3 + x 4 O 2 wird auf die Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems zurückgeführt: x x 2 x = x 4 (siehe Zachmann, Jürgel: Mathematik für Chemiker 27). Bestimmen Sie eine ganzzahlige Lösung des Gleichungssystems. Aufgabe 3 Die Oxidation von elementarem Iod mit Salpetersäure führt zu Iodsäure, Stickstoffmonoxid und Wasser. Mittels den Regeln der Stöchiometrie (alle Atome, die links stehen, müssen auch rechts stehen) ist ein Gleichungssystem aufzustellen und durch Lösen dieses sind die kleinsten ganzzahligen Koeffizienten der Reaktionsgleichung zu ermitteln. x HNO 3 + x 2 I 2 x 3 HIO 3 + x 4 NO + x 5 H 2 O