Aufgabensammlung zur Vorlesung. Höhere Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Algebra

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1 Aufgabensammlung zur Vorlesung Höhere Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Algebra Freiberg, den 3 November 0

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3 Inhaltsverzeichnis Kapitel Lineare Algebra 5 Operationen mit Matrizen 5 Lineare Gleichungssysteme 6 3 Determinanten, Matrixinversion, Matrizengleichungen 4 4 Modellierungsaufgaben 4 5 Lösungen 7 Kapitel Lineare Optimierung 75 Graphische Lösung 75 Simplexalgorithmus für LOA 79 3 Anwendung und Modellierung von LOA 85 4 Lösungen 89 3

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5 KAPITEL Lineare Algebra Operationen mit Matrizen Aufgabe : Bestimmen Sie a, b, c so, dass gilt: ( ) ( ) a c = 0 b ( ) 0 0 Aufgabe : Für welche reellen Zahlen u, v sind die Matrizen A und B gleich? A = ( u) v 3 v u 5 B = 4 4 u v 3v u v 6 u 6 v + 5 Aufgabe 3: Bestimmen Sie a, b, c, d aus der folgenden Matrizengleichung: [( ) ( )] T ( ) ( 4 c 7 3 a c 3 + = d 4 b Aufgabe 4: ) T ( Unter welchen Voraussetzungen gilt die Formel (A+B) = A +AB+B für quadratische Matrizen A, B? Aufgabe 5: Seien C = ( 3 ) (, c = 4 ) ( ) x, x = x ( und s = (a) Bilden Sie c T x, x T x und x T Cx (b) Welche geometrischen Gebilde werden durch s T x = bzw x T x = beschrieben? Aufgabe 6: Weisen Sie nach, dass es gilt: x x x 3 = x x x x x x 3 = ) )

6 Aufgabe 7: Eine quadratische Matrix M heiÿt orthogonal, falls M T M = E gilt Für welche reellen Parameterwerte p, q sind die folgenden Matrizen orthogonal? A = p 0 p p 0 p 0 0 ( p q B = q p ) Aufgabe 8: Seien die Matrix A = Lineare Gleichungssysteme 6 r und Vektor b = s gegeben (a) Für welche reellen r und s ist das Gleichungssystem Ax = b nicht lösbar, eindeutig lösbar, besitzt es unendlich viele Lösungen? (b) Für welche r ist Ax = 0 eindeutig lösbar? (c) Für welche r ist das System der Spaltenvektoren von A linear abhängig? (d) Lösen Sie das Gleichungssystem Ax = b speziell für r = 33 und s = 6 Aufgabe 9: Gegeben ist das lineare Gleichungssystem x + r x + 3 x 3 = 4 x + r x x 3 = 0 x x x 3 = s (a) Für welche Paare reeller Zahlen (r, s) ist das lineare Gleichungssystems eindeutig lösbar bzw unlösbar? (b) Bestimmen Sie alle Lösungen des linearen Gleichungssystems für r = 3, s = 4 (c) Untersuchen Sie, ob es für r = Parameterwerte s gibt, so dass das zugehörige lineare Gleichungssystem Lösungen mit ausschlieÿlich positiven Variablenwerten besitzt Aufgabe 0: Gegeben sind die Matrix A = λ und der Vektor b = µ + 3 (a) Für welche reellen Zahlen λ und µ besitzt das lineare Gleichungssystem Ax = b keine Lösung, genau eine Lösung, unendlich viele Lösungen? (b) Für welche reellen Zahlen λ sind die Spaltenvektoren der Matrix A linear unabhängig? (c) Für welche reellen Zahlen λ besitzt das homogene Gleichungssystem Ax = 0 unendlich viele Lösungen? Geben Sie für diesen Fall die allgemeine Lösung des homogenen Gleichungssystems an 6

7 Aufgabe : Gegeben sind die Matrix A = p 4 und der Vektor b = 3 3 q (a) Für welche Paare reeller Zahlen (p, q) ist das lineare Gleichungssystem Ax = b lösbar? (b) Wie groÿ sind die Ränge der Koezientenmatrix A und der erweiterten Koezientenmatrix (A, b) für p = 6, q = 0? (c) Bestimmen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems Ax = b für p = 6, q = und untersuchen Sie, ob es Lösungen mit x = bzw nichtnegative Lösungen mit x gibt Aufgabe : Gegeben ist das lineare Gleichungssystem x x 3 3x 4 = x + x x 3 + 6x 4 = 3x x + ax 3 5x 4 = 30 (a) Für welche reellen Parameter a ist das lineare Gleichungssystem unlösbar? (b) Bestimmen Sie alle Lösungen des linearen Gleichungssystems für a = 5 Gibt es unter diesen Lösungen auch solche mit x j 0, j =,, 3, 4? (c) Bestimmen Sie alle Lösungen des zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystems für a = (d) Gibt es reelle Parameterwerte a, für die eine Lösung des linearen Gleichungssystems in allen Variablen den gleichen Wert besitzt? Aufgabe 3: Gegeben ist das lineare Gleichungssystem x x ax 3 = 3x 4x ax 3 = 0 4x + 6x + 6x 3 = a (a) Für welche Werte des reellen Parameters a ist das lineare Gleichungssystem lösbar? (b) Bestimmen Sie alle Lösungen sowie alle nichtnegativen Lösungen des linearen Gleichungssystems für a = 3 (c) Welche Lösungen besitzt das zugehörige homogene System für a [ ; ]? Aufgabe 4: Gegeben ist das lineare Gleichungssystem x + x + x 3 = 6 x + x + 3x 3 = 8 x + x + ax 3 = 0 (a) Für welche Werte des reellen Parameters a ist das lineare Gleichungssystem eindeutig lösbar, nicht lösbar, besitzt es unendlich viele Lösungen? Wie groÿ sind 7

8 jeweils die Ränge der Koezientenmatrix und der erweiterten Koezientenmatrix? (b) Bestimmen Sie alle Lösungen sowie alle nichtnegativen Lösungen des linearen Gleichungssystems für a = 3 (c) Welche Lösungen besitzt das zugehörige homogene Gleichungssystem für a =? Aufgabe 5: Gegeben ist das lineare Gleichungssystem Ax = b x 4x + ax 3 = x + x 3 = 3 x + 4x x 3 = 0 (a) Für welche Werte des reellen Parameters a ist das lineare Gleichungssystem lösbar? (b) Geben Sie einen Wert für a an, so dass rank(a) < rank (A, b) gilt (c) Geben Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems für a = 0 an (d) Bestimmen Sie alle nichtnegativen Lösungen des zugehörigen homogenen System für a = Aufgabe 6: Gegeben ist das lineare Gleichungssystem Cx = d mit reellen Parametern a und b : x + x = x + 3x + x 3 = 0 x + ax 3 = b (a) Kann das lineare Gleichungssystem genau drei verschiedene Lösungen besitzen? (Begründung!) (b) Wie groÿ ist der Rang der erweiterten Koezientenmatrix für a =, b = 0? (c) Bestimmen Sie alle Lösungen und alle nichtnegativen Lösungen des linearen Gleichungssystems für a =, b = 6 (d) Gibt es ein Paar reeller Zahlen (a, b), so dass x = 6, x = 4, x 3 = 0 Lösung des linearen Gleichungssystems ist? Aufgabe 7: Gegeben ist das lineare Gleichungssystem x x = b 4x + 3x + a x 3 = 5x + 4x + 3x 3 = b (a) Untersuchen Sie das Lösbarkeitsverhalten des linearen Gleichungssystems in Abhängigkeit von den reellen Parametern a und b (b) Bestimmen Sie alle Lösungen des linearen Gleichungssystems für a = b = 0 (c) Bestimmen Sie alle nichtnegativen Lösungen des linearen Gleichungssystems für a = b = 8

9 Aufgabe 8: Gegeben ist die Matrix A = 4 3 und der Vektor b = β (a) Für welche reellen Zahlen β ist das lineare Gleichungssystem Ax = b lösbar? Geben Sie die Lösungen in Abhängigkeit von β an (b) Für welche reellen Zahlen β besitzt das lineare Gleichungssystem Ax = b nichtnegative Lösungen? (c) Stellen Sie für β = 0 den Vektor b als Linearkombination der Spaltenvektoren von A dar Aufgabe 9: Gegeben ist das lineare Gleichungssystem x + x 3 = 8 x + x ax 3 = 3x x + 3x 3 = 30 (a) Untersuchen Sie das Lösbarkeitsverhalten des linearen Gleichungssystems in Abhängigkeit von dem reellen Parameter a (b) Bestimmen Sie für a = die Mengen L aller Lösungen und L + aller nichtnegativen Lösungen des linearen Gleichungssystems Aufgabe 0: Gegeben ist das lineare Gleichungssystem Ax = b x x 3 = 3x + x + ax 3 = 7 + a x + x + 5x 3 = 5 (a) Untersuchen Sie das Lösbarkeitsverhalten des linearen Gleichungssystems in Abhängigkeit von dem reellen Parameter a (b) Bestimmen Sie für a = 4 die Mengen L aller Lösungen, L + aller nichtnegativen Lösungen und L > aller Lösungen des Gleichungssystems mit x > x > x 3 > 0 Geben Sie aus jeder der drei Lösungsmengen eine spezielle Lösung an (c) Ist das homogene System Ax = 0 für a = 4 nichttrivial lösbar? Aufgabe : Gegeben ist das lineare Gleichungssystem Ax = b x + x t x 3 = 0 x + 3x + t x 3 = 4 x + t x 4 x 3 = t (a) Untersuchen Sie das Lösbarkeitsverhalten des linearen Gleichungssystems in Abhängigkeit von dem reellen Parameter t und geben Sie für den Fall der eindeutigen Lösbarkeit die Lösung an (b) Bestimmen Sie für t = die Lösungsmenge des Systems 9

10 (c) Durch welche Konstante b 3 ist die rechte Seite der dritten Gleichung zu ersetzen, damit das System für t = 4 unendlich viele Lösungen besitzt? (d) Gibt es Parameterwerte t, für die das System eine Lösung mit x = x 3 besitzt? (e) Für welche t ist das homogene System Ax = 0 nichttrivial lösbar? Bestimmen Sie dafür alle nichtnegativen Lösungen des homogenen Systems Aufgabe : Gegeben sind die Matrix A = 0 p und der Vektor b = (a) Für welche Koezienten p und q ist das lineare Gleichungssystem Ax = b unlösbar? (b) Bestimmen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems Ax = b für p = 3, q = 0 und untersuchen Sie, ob es nichtnegative Lösungen mit x gibt (c) Welche Bedingungen muss der Koezient p erfüllen, damit das homogene lineare Gleichungssystem Ax = 0 nur die triviale Lösung besitzt? (d) Sind die Spaltenvektoren der Matrix A für p = 0 linear unabhängig? Aufgabe 3: Gegeben ist das lineare Gleichungssystem x x 3 = 6 x + x + 4x 3 = 4 3x 4x + tx 3 = (a) Geben Sie für jedes t R die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems an (b) Bestimmen Sie für t = 0 alle Lösungen des linearen Gleichungssystems mit x + x + x 3 =, alle nichtnegativen Lösungen des linearen Gleichungssystems (c) Begründen Sie, dass x = 6, x = 5, x 3 = 0 für jedes t R Lösung des linearen Gleichungssystem ist, für kein t R Lösung des zugeordneten homogenen linearen Gleichungssystem ist 3 q 3 Aufgabe 4: Gegeben ist das lineare Gleichungssystem x x 3 = x + x 3 = x x + a x 3 = b (a) Bestimmen Sie alle Parameterpaare (a, b), für die das lineare Gleichungssystem unlösbar ist (b) Für welche Parameter b ist das lineare Gleichungssystem für alle Parameter a lösbar? (c) Geben Sie für a = die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems an 0

11 (d) Geben Sie für a = die Lösungsmenge des zugehörigen homogenen Systems an (e) Für welche Parameter a sind die Spalten der Koezientenmatrix des linearen Gleichungssystems linear unabhängig Aufgabe 5: Gegeben ist das lineare Gleichungssystem x + p x x 3 = 5 x + x x 3 = 0 x + x 3 = p mit dem reellen Parameter p (a) Geben Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems in Abhängigkeit vom Parameter p an (b) Für welche Parameter p besitzt das lineare Gleichungssystem Lösungen, die den drei Bedingungen x, x und x 3 genügen? Geben Sie für diese Parameter eine konkrete Lösung an (c) Für welche Parameter p besitzt das zugehörige homogene lineare Gleichungssystem nur die triviale Lösung? Aufgabe 6: Gegeben ist das lineare Gleichungsystem x + x 3 = a x + x x 3 = 0 x + ( a) x + x 3 = mit einem reellen Parameter a (a) Diskutieren Sie die Lösbarkeit des Gleichungssystems für alle Parameter a R (b) Geben Sie die Lösungsmengen des Gleichungssystems für a = 0 und a = an (c) Existiert für a = eine nichttriviale Lösung des zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystems? Geben Sie eine nichttriviale Lösung an, wenn dies zutrit Aufgabe 7: Gegeben ist das lineare Gleichungssystem x + x + x 3 = b x x 3 = a x + x + x 3 = 0 mit reellen Parametern a, b (a) Für welche Parameter a, b ist das lineare Gleichungssystem unlösbar? (b) Bestimmen Sie für a =, b = alle Lösungen des linearen Gleichungssystems Erfüllt eine dieser Lösungen die Bedingung x + x + x 3 =? (c) Zeigen Sie, dass für a = 0 das zugehörige homogene lineare Gleichungssystems nur die triviale Lösung besitzt (d) Gibt es ein Paar reeller Zahlen (a, b), so dass x = x =, x 3 = 0 eine Lösung des linearen Gleichungssystems ist?

12 Aufgabe 8: Gegeben ist ein lineares Gleichungssystem x + x x 3 + x 4 = 0 x + x 3 x 4 = 0 a x + x + x 3 = a mit einem reellen Parameter a (a) Diskutieren Sie die Lösbarkeit des linearen Gleichungssystems in Abhängigkeit von den Werten des Parameters a (b) Geben Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems für a = 0 an Bestimmen Sie aus dieser Lösungsmenge alle nichtnegativen Lösungen (c) Welchen Rang besitzen die Koezientenmatrix und die erweiterte Koezientenmatrix des linearen Gleichungssytems für a =? Aufgabe 9: Gegeben ist ein lineares Gleichungssystem x + 3 x x 3 = a 5 x + 5 x 3 = 0 x x + (a 3) x 3 = b mit reellen Parametern a und b (a) Für welche Parameterpaare (a, b) ist das lineare Gleichungssystem lösbar? (b) Geben Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystems für a = und b = 0 an (c) Bestimmen Sie für den Fall a = b die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems (d) Bestimmen Sie die Ränge der Koezientenmatrix und der erweiterten Koezientenmatrix für a = 0 und b = Aufgabe 30: Gegeben sei das lineares Gleichungssystem x + x + x 3 = 3 x + 3x + ax 3 = 7 x + (a 4)x 3 = a + mit dem reellen Parametern a (a) Diskutieren Sie die Lösbarkeit des linearen Gleichungssystems in Abhängigkeit von a (b) Bestimmen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems für a = (c) Besitzt das lineare Gleichungssystem für a = 0 nichtnegative Lösungen, die die Bedingung x + x + x 3 = erfüllen? (d) Gibt es einen Parameterwert a, für den der Vektor x = ( 4; 3; ) Lösung des linearen Gleichungssystems ist? (e) Für welchen Parameterwert a besitzt das zugehörige homogene lineare Gleichungssystem nichttriviale Lösungen? (f) Bestimmen Sie für das lineare Gleichungssystem den Rang der Koezientenmatrix und den Rang der erweiterten Koezientenmatrix in in Abhängigkeit von dem Parameter a

13 Aufgabe 3: Gegeben ist das lineare Gleichungssystem x x x 3 = 0 x + 3x 3 = t x + x + t x 3 = 5 (a) Geben Sie die Lösungsmengen des linearen Gleichungssystems und des zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystems in Abhängigkeit von t an (b) Geben Sie die Lösungsmengen des linearen Gleichungssystems für t = 0 an Bestimmen Sie für diesen Fall auch noch - die Determinante der Koezientenmatrix, - den Rang der Koezientenmatrix, - den Rang der erweiterten Koezientenmatrix (c) Für welche Parameterwerte t besitzt das lineare Gleichungssystem Lösungen mit der Eigenschaft x + x + x 3 =? Geben Sie diese Lösungen an (d) Gibt es einen Parameterwert t, für den x =, x =, x 3 = Lösung des linearen Gleichungssystems ist? Aufgabe 3: Gegeben sei das lineare Gleichungssystem mit einem Paar reeller Parameter (a, b) x x x 3 = 0 x x + x 3 = 0 x + x + a x 3 = b (a) Geben Sie die Lösungsmengen des linearen Gleichungssystems in Abhängigkeit vom Paar (a, b) an (b) Für welchen Parameter a besitzt das zugehörige homogene lineare Gleichungssystem eine Lösung, für die x + x + x 3 = gilt? Aufgabe 33: Gegeben sei das lineare Gleichungssystem mit einem Paar reeller Parameter (α; β) x + x 3 = x + x + x 3 = α 4 x x + β x 3 = 6 (a) Untersuchen Sie, für welche Werte der Parameter das lineare Gleichungssystem nicht lösbar ist, eindeutig lösbar ist, unendlich viele Lösungen besitzt (b) Bestimmen Sie für (α; β) = (; 0) die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems Gibt es unter diesen Lösungen auch solche mit x + x + x 3 = 5? (c) Geben Sie für β = die Lösung des linearen Gleichungssystems in Abhängigkeit vom Parameter α an 3

14 Aufgabe 34: Gegeben sei das lineare Gleichungssystem ax + x = 8 3x x x 3 = b x + x + x 3 = 0 mit reellen Parametern a und b (a) Für welche Parameterpaare (a, b) ist das lineare Gleichungssystem unlösbar? (b) Es sei b = 4 Geben Sie in Abhängigkeit vom Parameter a die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems an (c) Für welche Parameter a hängt die Lösbarkeit des linearen Gleichungssystems vom Parameter b ab? (d) Für welche Parameter a besitzt das zugehörige homogene lineare Gleichungssystem nichttriviale Lösungen? 3 Determinanten, Matrixinversion, Matrizengleichungen Aufgabe 35: Berechnen Sie D = a + a 0 0 a a a 0 a a a Für welche reellen Zahlen a gilt D = 0, D = bzw D = a? Aufgabe 36: Entscheiden Sie für die Matrizen R = A = ( 4 9 ) B = ( ) a b S = c d T = C = ob sie eine Inverse besitzen und berechnen Sie diese gegebenenfalls Aufgabe 37: Welche ( Matrizen ) X, Y genügen den Gleichungen AX = E bzw Y A = E, wenn 4 A = und E die passende Einheitsmatrix ist 3, 4

15 Aufgabe 38: Gegeben sind die Matrizen A = ( ) B = und C = p (a) Bestimmen Sie eine Lösung X der Matrizengleichung X = B XA (b) Berechnen Sie die Determinante der Matrix C Für welche reellen Zahlen p ist die Matrix C regulär? Für welche reellen Zahlen p ist die Matrix D = p C singulär? (c) Bestimmen Sie den Rang der Matrix F = C C T Aufgabe 39: Gegeben ist die Matrix A = 0 p 9 p q (a) Berechnen Sie die Determinante von A (b) Für welche reellen Zahlen p und q ist die Matrix A singulär? (c) Für welche reellen Zahlen p und q gilt rank(a) = 3? Aufgabe 40: Gegeben sind die Matrizen A = und B = (a) Berechnen Sie die Matrix X aus der Gleichung (A T X)B AB T = E, wobei E die Einheitsmatrix vom Typ (3, 3) ist (b) Kann bei gleicher Matrix B eine Matrix X aus der Gleichung aus (a) auch für den Fall berechnet werden, dass A eine beliebige Matrix vom Typ (3, ) ist? Begründen Sie Ihre Antwort Aufgabe 4: Gegeben sind die Matrizen M = und U = v 0 v (a) Für welche reellen Zahlen v stimmen die Determinanten von M und U überein? (b) Für welche reellen Zahlen v ist die Matrix W = v U invertierbar? (c) Bestimmen Sie für v = eine Lösung X der Matrizengleichung UX = X + E, wobei E die dreireihige Einheitsmatrix ist (d) Bestimmen Sie eine Lösung Y der Matrizengleichung Y + Y T = M M T Begründen Sie, weshalb die Matrizengleichung unendlich viele Lösungen besitzt 5

16 Aufgabe 4: Gegeben sind die Matrizen A = 9 p p 0 p und B = 3 4 (a) Berechnen Sie die Determinante der Matrix A (b) Für welche reellen Zahlen p ist die Matrix A nicht invertierbar? (c) Bestimmen Sie eine Lösung X der Matrizengleichung BX + A T = A + X Aufgabe 43: Gegeben sind die Matrizen A = und B = 0 0 p 0 0 p 0 0 (a) Für welche reellen Zahlen p ist die Matrix AB nicht invertierbar? (b) Bestimmen Sie den Rang der Matrix A B für p = 0 und p = (c) Bestimmen Sie eine Lösung X der Matrizengleichung AX B = A T X X für p = 0 Aufgabe 44: Gegeben ist die Matrix A = p 0 0 mit dem reellen Parameter p (a) Für welche reellen Zahlen p gilt det(a) = + p 3? (b) Für welche reellen Zahlen p ist die Matrix A nicht invertierbar? (c) Berechnen Sie für p = 0 die Inverse von A (d) Geben Sie eine Matrix X mit 4 Zeilen und 3 Spalten an, die die Gleichung AX = A T X löst Aufgabe 45: B = besitzt die Inverse B = Wie lauten die Inversen zu B =, B = bzw B = Hinweis: Die Inversen müssen nicht neu berechnet werden Wie entstehen B, B, B aus B und wie wirkt sich das auf die Inverse aus? Aufgabe 46: Berechnen Sie die Inversen der Dreiecksmatrizen 6?

17 A (a,b,c) = a b 0 c 0 0 und B = Wie läÿt sich B bei Kenntnis von A (a,b,c) einfach berechnen? Aufgabe 47: Gegeben ist die Matrix C = 0 a a b 0 a b b 0 mit reellen Parametern a und b (a) Berechnen Sie die Determinante der Matrix C (b) Für welche Paare reeller Zahlen (a, b) ist die Matrix C singulär? (c) Berechnen Sie für a = b = die Inverse der Matrix C Aufgabe 48: Gegeben sind die Matrizen A = a 0 0, M = 0 ( 0 und T = 0 0 a 9 8 (a) Berechnen Sie die Determinante der Matrix A Bestimmen Sie den Rang der Matrix A für a = Für welche reellen Zahlen a ist die Matrix A nicht invertierbar? (b) Zeigen Sie, dass für die angegebene Matrix T die Gleichung T T = T gilt Berechnen Sie danach das Matrizenprodukt MT T T (c) Bestimmen Sie für a = 0 eine Lösung X der Matrizengleichung AX = MT Aufgabe 49: Gegeben sind die Matrizen B = 0 b b 0 A = und F = (a) Für welche reellen Zahlen b ist die Matrix B invertierbar? (b) Bestimmen Sie den Rang der Matrix AA T (c) Bestimmen Sie für b = eine Lösung X der Matrizengleichung F X = BA Aufgabe 50: Gegeben sind die Matrizen H = 3 0 h ( h h 0, A = 0 7 h ) und B = ( 4 3 (a) Für welche reellen Zahlen h stimmen die Determinanten von H und B überein? (b) Für welche reellen Zahlen h gilt rank(h) =? (c) Ist die Matrix C = AB invertierbar? (d) Bestimmen Sie eine Lösung X der Matrizengleichung X AX = B ) ) 7

18 Aufgabe 5: Gegeben sind die Matrizen A = , B = 0 b , C = (a) Bestimmen Sie den Rang der Matrix A (b) Für welche reellen Zahlen b ist die Matrix B invertierbar? (c) Ist die Matrix AB regulär? (d) Sind die Spaltenvektoren der Matrix C linear unabhängig? (e) Bestimmen Sie eine Lösung X der Matrizengleichung 3A + X = XC T + XC Aufgabe 5: Berechnen Sie die nebenstehende Determinante und zeigen Sie an diesem Beispiel, dass die Verallgemeinerung der Sarrus-Regel auf 4-reihige Determinanten (trotz anderslautender, hartnäckiger Gerüchte) falsch (und deshalb ein fataler Irrtum) ist Aufgabe 53: Gegeben sind die Matrizen A = 0 0, B = 0 b 0 0 b 0, C = und D = d d d 3 (a) Bestimmen Sie die Lösung X der Matrizengleichung AX = A T (b) Für welche reellen Zahlen b ist die Matrix B invertierbar? (c) Begründen Sie, weshalb r(c) = eine falsche Aussage ist (d) Geben Sie Bedingungen an die Diagonalelemente d, d und d 3 der Matrix D an, so dass die Matrizengleichung DX = X + A eine eindeutige Lösung besitzt Aufgabe 54: Gegeben seien zwei Matrizen A, B und die Matrizengleichung AX = (X B + A) + X Wieviele Zeilen und Spalten müssen die Matrizen A und B besitzen, damit die Matrizengleichung sinnvoll ist? Unter welchen zusätzlichen Voraussetzungen kann die Matrizengleichung eindeutig nach X aufgelöst werden? Aufgabe 55: Gegeben sind die Matrizen A = , B = b b 0 0 und D = d d d 3 (a) Bestimmen Sie die Lösung X der Matrizengleichung AX = AA T A T X (b) Berechnen Sie die Determinante der Matrix B Für welche b R ist die Matrix B invertierbar? 8

19 (c) Für welche Matrizen C ist der Rang der Matrix C C T gleich Null? (d) Geben Sie Bedingungen für die Diagonalelemente d, d und d 3 der Matrix D an, so dass die Matrizengleichung DX = A X, eine eindeutige Lösung besitzt Aufgabe 56: Gegeben sind ein reeller Parameter a und die Matrix A = a a 0 a 0 a a 0 0 a (a) Berechnen Sie die Determinante von A in Abhängigkeit von a (b) Für welche reellen Zahlen a ist die Matrix A T singulär? (c) Bestimmen Sie den Rang von A für a = (d) Ist die Matrix A für a = invertierbar? (e) Geben Sie für a = 0 eine Lösung der Matrizengleichung AX = A an Aufgabe 57: Gegeben sind die Matrizen A = 0 0 0, B = 0 0 und C = (a) Für welche reellen Zahlen λ ist die Matrix A λe regulär? (b) Berechnen Sie die Lösung X der Matrizengleichung A T X = C BX (c) Welche Forderungen sind an die drei Matrizen U, V und W zu stellen, damit die Matrizengleichung UV = W + W T sinnvoll ist? Aufgabe 58: Gegeben sind ein reeller Parameter t und die Matrix A = t t t (a) Berechnen Sie die Determinante von A in Abhängigkeit vom Parameter t (b) Für welche reellen Parameter t ist die Matrix A T regulär? (c) Bestimmen Sie den Rang der Matrix A für t = (d) Ist die Matrix A für t = 0 invertierbar? Aufgabe 59: Gegeben sind die Matrizen A = , B = und C = Berechnen Sie die Lösung X der Matrizengleichung (A + B)X = (X T A) T + C 9

20 Aufgabe 60: Gegeben ist die Matrix A = a 0 a 0 a 0 0 a a 0 0 a mit einem reellen Parameter a (a) Berechnen Sie die Determinante der Matrix A in Abhängigkeit von dem Parameter a (b) Für welche Parameter a ist die Matrix A regulär? (c) Sind die Spaltenvektoren von A für a = linear unabhängig? (d) Bestimmen Sie den Rang der Matrix A für a = (e) Lösen Sie für a = 0 die Matrixgleichung (A + A )X = A Aufgabe 6: Gegeben ist die Matrix A = 0 0 b c b 0 mit den reellen Parametern b und c (a) Berechnen Sie die Determinante der Matrix A (b) Weisen Sie nach, dass die Matrix A für c < 0 stets regulär ist (c) Für welche Werte b ist die Matrix A singulär, wenn c = 49 vorgegeben ist? (d) Invertieren Sie die Matrix A für b = und c = 0 Aufgabe 6: Gegeben sind die Matrizen A = ( ) ( 3 0, B = ) und C = ( (a) Berechnen Sie die Lösung X der Matrizengleichung AX = B + X (b) Ist die Matrizengleichung Y + Y = B für die gegebene Matrix B sinnvoll? (c) Welches sind die Eigenwerte der Matrix C? Aufgabe 63: Gegeben ist die Matrix A = x x 0 0 x mit einem reellen Parameter x (a) Existiert ein x R, so dass die Matrix A symmetrisch ist? (b) Berechnen Sie die Determinante von A in Abhängigkeit vom Parameter x (c) Für welche Parameter x ist die Matrix A singulär? (d) Bestimmen Sie den Rang der Matrix A für x = (e) Ist die Matrix A für x = 0 invertierbar? Aufgabe 64: Gegeben sind die Matrizen A = und B = ( (a) Berechnen Sie die Lösung X der Matrizengleichung XA = X + A 0 ) )

21 (b) Geben Sie eine Lösung Y für die Matrizengleichung BY = B T B an Aufgabe 65: Gegeben ist die Matrix A = x x 0 0 x x x 0 0 x x mit dem reellen Parameter x (a) Berechnen Sie die Determinante der Matrix A (b) Für welche Werte von x ist die Matrix A singulär? (c) Sind die Spaltenvektoren der Matrix A für x = linear unabhängig? (d) Bestimmen Sie den Rang von A für x = 0 bzw x = (e) Für welche Werte x ist die Matrix A symmetrisch? Aufgabe 66: Gegeben seien zwei Matrizen A und B sowie die Matrizengleichung (X A A ) = B X (a) Wieviele Zeilen und Spalten müssen die Matrizen A und B besitzen, damit die gegebene Matrizengleichung sinnvoll ist? (b) Berechnen Sie die Lösung X der Matrizengleichung für die Matrizen Aufgabe 67: A = Gegeben sind die Matrizen A = und B = a + 0 a a 0 a a a 0 und B = (a) Für welche reellen Zahlen a ist die Matrix A eine Dreiecksmatrix? (b) Für welche reellen Zahlen a ist die Matrix A regulär? (c) Für welche reellen Zahlen a sind die Spaltenvektoren der Matrix A linear abhängig? (d) Ist die Matrix B eine symmetrische Matrix? (e) Ist die Matrix B invertierbar? (f) Für welche reellen Zahlen b ist die Matrix B = b B singulär? Aufgabe 68: Gegeben sind die Matrizen Q = ( 0 ) (, U = 0 ), V = 0 und zwei quadratische n-reihige Matrizen F und G, W = ( )

22 (a) Berechnen Sie die Lösung X der Matrizengleichung QX = Q Q (b) Berechnen Sie die Lösung X der Matrizengleichung UV X = W (c) Kann X + X = W W eine sinnvolle Matrizengleichung sein? (d) Unter welchen Voraussetzungen besitzt die Matrizengleichung GX F G = G X eine eindeutige Lösung in X? Aufgabe 69: Betrachtet sei die Matrizengleichung X + AX = A X + B mit vorgegebenen Matrizen A und B (a) Die Matrix B besitze m Zeilen und n Spalten Welchen Typ müssen die Matrizen A und X besitzen, damit die Matrizengleichung sinnvoll ist? (b) Wie lautet die Lösung X der Matrizengleichung, falls die Matrix A symmetrisch ist? (c) Unter welcher Voraussetzung ist die Matrizengleichung nach X auösbar? (d) Bestimmen Sie konkret die Lösung X für Aufgabe 70: A = Gegeben seien zwei Matrizen A = x 0 x x 0 x und B = und B = x 0 x x (a) Bestimmen Sie alle Werte x, für die die Zeilenvektoren der Matrix A linear abhängig sind (b) Für welche Werte x ist die Matrix B symmetrisch? (c) Für welche Werte x ist die Matrix B singulär? (d) Bestimmen Sie den Rang der Matrix B für x = 0 (e) Für welche Werte x ist die Matrix C = AB invertierbar? Aufgabe 7: 0 x 0 Gegeben sei die Matrix A = x 0 0 x x mit einem reellen Parameter x x 0 x (a) Berechnen Sie die Determinante von A in Abhängigkeit von x (b) Für welche Werte x ist die Matrix A invertierbar? (c) Bestimmen Sie den Rang der Matrix A für x = und für x = 0 (d) Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix A für x = 0 (e) Für welche Werte x ist die Matrix A A T symmetrisch? (f) Ohne die Matrix A T A zu berechnen,

23 - ist zu begründen, dass A T A für jedes x symmetrisch ist, - ist zu bestimmen, für welche Werte x die Matrix A T A singulär ist Aufgabe 7: Gegeben sei die Matrizengleichung mit vorgegebenen Matrizen A, B und C (X T A B) T + B = CX (a) C sei eine (3 3) - Matrix Wieviele Zeilen und Spalten müssen dann A, B und X besitzen, damit die Matrizengleichung sinnvoll ist? (b) Die Matrix A T C sei regulär und die Matrix B symmetrisch Welche Lösung X besitzt dann die Matrizengleichung? (c) Bestimmen Sie die Lösung X der Matrizengleichung für A = B T = und C = Aufgabe 73: 0 0 Gegeben sind die Matrizen A = 0 t 0 t, B = 0 0 0, C = , G = ta und H = B C, wobei t ein reeller Parameter ist (a) Sind die Matrizen A, B oder C symmetrisch? (b) Für welche t stimmen die Determinanten von A und B überein? (c) Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix C (d) Für welche t ist die Matrix G invertierbar? (e) Bestimmen Sie den Rang der Matrix H Aufgabe 74: Gegeben sind die Matrizen A = ( ), B = 0 ( ) 0 0, C = 0 0 ( 8 0 ) und zwei quadratische n-reihige Matrizen F und G (a) Ist die Matrix A regulär? (b) Bestimmen Sie die Lösung X der Matrizengleichung AX = AA T (c) Berechnen Sie die Lösung X der Matrizengleichung XA = AA T (d) Bestimmen Sie die Lösung X der Matrizengleichung BX = C (e) Unter welchen Voraussetzungen besitzt die Matrizengleichung GXF = F G + GF eine eindeutige Lösung in X? Geben Sie die zugehörige Berechnungsvorschrift für X an Aufgabe 75: Gegeben seien die Matrizen C = 0 b a a b a 0 3 und D = a b a,

24 wobei a und b reelle Zahlen sind (a) Weisen Sie nach, dass die Matrix C für a > stets regulär ist (b) Weisen Sie nach, dass die Matrix C für a < 0 stets invertierbar ist (c) Es sei b = 0 Für welche Zahlen a ist die Matrix C singulär? (d) Für welche Zahlenpaare (a, b) gilt r(d) =? (e) Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix D (f) Berechnen Sie die Determinante der Matrix F = abdd Aufgabe 76: Gegeben seien zwei Matrizengleichungen AX = AA und Y A = AA, wobei A eine quadratische Matrix ist (a) Begründen Sie, weshalb beide Matrizengleichungen bei gegebener regulärer Matrix A eindeutig lösbar sind Geben Sie diese Lösungen an (b) Welche der beiden Matrizengleichungen ist auch bei gegebener singulärer Matrix A stets lösbar? (c) Berechnen Sie eine Lösung der Matrizengleichung W A = W + A für A = ( 3 ) Aufgabe 77: 4 Modellierungsaufgaben In einer Bäckerei werden aus vier Zutaten Z i, i=,,3,4 drei Teigmischungen T j, j=,,3 hergestellt Aus diesen Teigmischungen und weiteren Teilen der Zutaten Z und Z 4 werden drei Arten an Gebäck G k, k=,,3 erzeugt Die zur Herstellung einer Produkteinheit benötigten Ausgangsmengen sind in den nachstehenden Tabellen zusammengefaÿt je Einheit T T T 3 Z 3 benötigte Z 3 Einheiten Z 3 Z 4 4 benötigte Einheiten T T T 3 Z Z 4 G 0 0 je Einheit G G Zu bestimmen sind die Gesamtmengen an den Zutaten bei einer täglichen Backleistung von 5 Einheiten G, 30 Einheiten G und 0 Einheiten G 3 Aufgabe 78: Leontief-Modell Es werden die innerbetrieblichen Leistungsverechtungen einer Unternehmung mit den 4 Produkten A, B, C und D betrachtet Für die Herstellung einer ME des Produktes A sollen 05 zusätzliche ME von B sowie 03 ME des Produktes C notwendig sein Analog benötigt man zur Herstellung einer ME von B eine zusätzliche Mengeneinheit von C, für eine ME C zusätzlich 04 ME von D sowie für eine ME D zusätzlich 05 ME von C () Welche Mengen der Produkte A, B, C und D müssen hergestellt werden, um genau eine ME der Sorte A zu verkaufen? 4

25 () Welche Mengen der Produkte A, B, C und D müssen hergestellt werden, um genau k ME von jeder Sorte zu verkaufen? Aufgabe 79: Die nachfolgende Tabelle gibt einen Überblick über die durchschnittlichen Personalbewegungen bei einem Groÿdiscounter In den Spalten ist für jede Beschäftigungskategorie angegeben, wieviel Prozent der entsprechenden Angestellten nach einem Jahr ihre Tätigkeit beibehalten, innerhalb der Firma in eine andere Kategorie gewechselt bzw die Firma verlassen haben: Beschäftigung Beschäftigung im laufenden Jahr Kategorie im folgenden Jahr A B C D E F G H A Filialleiter B Stellv Filialleiter C Bereichssleiter 65 0 D Stellv Bereichsleiter E Kassenpersonal 45 0 F Einkäufer 75 0 G Ass Einkäufer H Lagerpersonal 70 I Verlassen der Firma Im Personalbüro des expandierenden Unternehmens liegt ein Ist-Personalbestand für das gegenwärtige Jahr sowie ein in vier Jahren angedachter Personalbestand (Werte in Klammern) vor: 500 (550) Filialleiter und 850 (90) Stellvertreter 3600 (3900) Bereichsleiter und 4500 (500) Stellvertreter 8600 (900) KassiererInnen 600 (700) Einkäufer und 3000 (300) Assistenten 6000 (6800) Lagerangestellte Anhand dieser Werte ist eine Prognose zu entwickeln, wieviele Arbeitskräfte jeder Kategorie in den folgenden Jahren im Unternehmen abzubauen bzw von auÿerhalb neu einzustellen sind Aufgabe 80: In einem Betrieb werden zur Herstellung von vier Endprodukten E, E, E 3 und E 4 drei Rohstoe R, R und R 3 eingesetzt Der Verbrauch an Rohstoen pro Tonne je Endprodukt, gemessen in Tonnen für die Rohstoe, sind in der nebenstehenden Tabelle angegeben E E E 3 E 4 R R 3 R Wieviele Tonnen an Rohstoen sind nötig, wenn von Endprodukt E und E je 5 Tonnen und von Endprodukt E 3 und E 4 je 7 Tonnen herzustellen sind? Welche Kosten entstehen bei der Rohstobeschaung, wenn für R ein Preis von 500 e je Tonne und für R und R 3 ein Preis von 700 e je Tonne zu zahlen sind? Aufgabe 8: Ein Unternehmen soll 3000 ME des Produktes P und 6000 ME des Produktes P ausliefern Bei der Herstellung der Produkte P und P wird ein Produkt P 3 verbraucht 5

26 und es tritt auch ein Eigenverbrauch an den Produkten P und P auf P P P 3 Die nebenstehende Tabelle beschreibt für jede ME von P bzw P 0 P den Verbrauch von P bzw P bzw P 3 in ME P 0 3 (a) Stellen Sie ein Matrizenmodell auf, mit dem sich die herzustellenden ME der Produkte P und P und der Verbrauch des Produktes P 3 berechnen lassen (b) Invertieren Sie A = 0 0 und lösen Sie das System 3 Ax = (c) Welche Bedeutung hat die Lösung des Systems aus (b) für die Aufgabe (a)? Aufgabe 8: Formulieren Sie für den folgenden Sachverhalt ein mathematisches Modell Ein Konservenproduzent stellt aus drei Sorten Gemüse G i, i =,, 3 vier verschiedene Arten S j, j =,, 3, 4 von Mischgemüse her Die folgende Tabelle gibt den Gemüsebedarf je produzierter Einheit Konserven an: je Dose S S S 3 S 4 G [kg] 0, 0 0,3 0 G [kg] 0, 0, 0 0,5 G 3 [kg] 0,3 0 0, 0, Wieviele Einheiten welcher Konserven müssen produziert werden, um je 80 kg G und G sowie 60 kg G 3 vollständig zu verbrauchen? Hinweis: Das aufgestellte Modell soll nicht gelöst werden 6

27 5 Lösungen Zur Lösung der Aufgaben aus dem Kapitel werden einige Denitionen und Formeln aus dem Skript s benötigt Lösung der Aufgabe : ( ) ( ) ( a c + ab a + c = 0 b b ) = ( 0 0 Koezientenvergleich (Vergleich der einzelnen Matrix-Elemente) liefert: + ab =, a + c = 0, b = 0, = Die Lösungsmenge dieses Gelichungssystems: a = t, b = 0, c = t mit t R (beliebig) Lösung der Aufgabe : Durch Koezientenvergleich (zb) der Einträge in den Feldern (, 3) und (, 3) erhält man u = 3 und v = Mit diesen Werten gilt tatsächlich A = B (Probe für die anderen Matrizenelemente!) ) Lösung der Aufgabe 3: [( ) ( )] T ( ) ( ) T ( 4 c 7 3 a c = d 4 b 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 8 + d a c 4 = 6 + c 7 b ( ) ( ) 9 + d 8a + b( + d) 4c c = 3 + c a(6 + c) + 7b 6 ) Der Koezientenvergleich liefert für das Feld (, ) den Wert c = und danach für das Feld (, ) den Wert d = 3 Damit erhält man anschlieÿend mittels der Felder (, ) und (, ) das Gleichungssystem 5a + 7b = 6, 8a b = mit der Lösung a = b = Lösung der Aufgabe 4: Wegen der Distributivität der Matrixmultiplikation gilt: (A + B)(A + B) = A(A + B) + B(A + B) = AA + AB + BA + BB Dieses Resultat erhält man unter der Voraussetzung, dass die Matrizen A und B quadratisch sind und gleiche Dimmensionen besitzen Damit die Gleichheit AA+AB +BA+BB = A +AB +B erfüllt ist, müsste AB = BA gelten, also das Produkt der Matrizen A und B müsste kommutativ sein Lösung der Aufgabe 5: (a) c T x = x + 4x, x T x = x + x 7

28 x T Cx = 3x x + x x + x x + x x = 3x + x x + x (b) s T x = x + x = - Gerade durch die Punkte (;0) und (0;) in der x -x -Ebene x T x = x + x = - Kreis mit Radius um Punkt (0;0) in der x -x -Ebene Lösung der Aufgabe 6: Matrixdarstellung der ersten Gleichung als Gleichungssystem schreiben: 3x + x = x x x + 6x 3 = x x x + x + x 3 = x 3 x 3 x + x = 0 6x 3 = 0 x + x + x 3 = 0 Das letzte Gleichungssystem in Matrixdarstellung liefert die zweite Gleichung (aus der Aufgabenstellung) Lösungsvariante: allgemein mit Matrix-Operationen: A x = x A x x = O A x E x = O (A E) x = O, mit O = 0 0 (Nullvektor), E = (Einheitsmatrix) und A = folgt A E = Lösung der Aufgabe 7: A T A = p p p 0 p p 0 p p p B T B = ( p q q p Lösung der Aufgabe 8: = p p A orthogonal p = p = ± = ± ) ( ) ( ) p q p = + q 0 q p 0 q + p B orthogonal p + q = x x x r 4 s r+ 0 s r+3 0 s (a) Aus der zweiten Zeile der 3 Tabelle folgt für die Lösbarkeit in Abhängigkeit von r, s: - nicht lösbar, wenn r = 3 und s 6, - eindeutig lösbar, wenn r 3 (unabhängig von s!), - unendlich viele Lösungen, wenn r = 3 und s = 6 (b) Das homogene System Ax = 0 ist eindeutig (trivial) lösbar, wenn r 3 8

29 r = 33, s = (c) Die Spaltenvektoren von A sind linear abhängig, wenn rank(a) < 3, dh wenn das homogenes System nichttrivial lösbar ist, wenn also r = 3 (d) Für r = 33 und s = 6 folgt, nach Einsetzen in die 3 Tabelle und einem weiteren Schritt, aus der 5 Tabelle die eindeutige Lösung x =, x = 0, x 3 = 3 Lösung der Aufgabe 9: x x x 3 r 3 4 r 0 s r r 4 0 r 4 s 4 r 0 0 r 0 3r 0 s + 4 (b) r = 3, s = (c) r = s s s 0 0 s + 4 (a) Aus der 3 Tabelle folgt die eindeutige Lösbarkeit, wenn r (unabhängig von s!) 3 Ebenfalls aus der 3 Tabelle folgt die Unlösbarkeit, wenn r = und s 4 3 (b) Aus der 4 Tabelle folgt für r =, s = 4 der 3 Fall unendlich vieler Lösungen: x = x x 3 = 3 x, x beliebig reell (c) Im Fall r = besitzt das System eine eindeutige Lösung Aus der 6 Tabelle folgt zusammen mit der Positivitätsforderung (!) x = s + 6 > 0 s > 3 x = s + 4 > 0 s > 4 x 3 = s > 0 s < Eine Lösung mit positiven Variablenwerten ergibt sich folglich für Parameterwerte s ( 3; ) Lösung der Aufgabe 0: x x x λ 4 µ λ+6 µ λ µ (a) Aus der zweiten Zeile der 3 Tabelle folgt für die Lösbarkeit in Abhängigkeit von λ, µ - eindeutig lösbar, wenn λ 6 (unabhängig von µ!); - unendlich viele Lösungen, wenn λ = 6 und µ = 0; - nicht lösbar, wenn λ = 6 und µ 0 (b) Das homogenes System Ax = 0 ist eindeutig (nur trivial) lösbar, wenn λ 6 Dafür sind die Spalten von A linear unabhängig 9

30 (c) Das homogene System Ax = 0 besitzt unendlich viele Lösungen (ist nichttrivial lösbar), wenn λ = 6, die allgemeine Lösung lautet: x = x, x 3 = 5x mit x beliebig reell Lösung der Aufgabe : x x x p 3 4 q p 3 3q 4 q p 6 3 3q q (b) p = 6, q = (c) p = 6, q = (a) Aus Tabelle 3: System ist lösbar, wenn p 6 (eindeutig lösbar, unabhängig von q!) oder p = 6 und q = (unendlich viele Lösungen) (b) Aus Tabellen,, 4: Für p = 6, q = 0 gilt rank(a) =, rank(a, b) = 3 (System ist unlösbar!) (c) Für p = 6, q = erhält man die allgemeine Lösung (Tabelle 5): x = 3 x 3, x = 5 8x 3, x 3 R x = ist zusammen mit x 3 =, x = 3 eine Lösung x = 3 x 3 erfordert x 3 Dafür gilt jedoch x = 5 8x = 3 < 0, folglich kann es keine Lösung mit x geben, für die alle Variablenwerte nichtnegativ sind Lösung der Aufgabe : x x x 3 x a a a 0 6 (b) a = (a) Aus Tabelle 3: System ist unlösbar, wenn a = (für kein a eindeutig lösbar, unendlich viele Lösungen, wenn a ) (b) Für a = 5 erhält man die allgemeine Lösung (Tabellen 4, 5): x = 8 + 3x 4, x = 8 3x 4, x 3 =, x 4 R Aus den Nichtnegativitätsforderungen für x und x ergibt sich notwendig x 4 = 8 und damit als 3 einzige nichtnegative Lösung: x = 0, x = 0, x 3 =, x 4 =

31 (c) homogen und a = Lösung der Aufgabe 3: x x x 3 - -a a a- - -a - 0 a a+6 a-9 0 a 4 0 a a+6 a-3 (b) a= (c) Für a = erhält man als Lösung des zugeordneten homogenen Systems (Tabelle 6): x = x 3 + x 4, x = 4x 3 3x 4, x 3, x 4 R (d) Fordert man x = x = x 3 = x 4 = x, so folgt aus der ersten Gleichung des Systems notwendig x = 3 Dafür ist auch die zweite Gleichung erfüllt und aus der dritten Gleichung folgt für den Parameterwert a = 4 (a) Aus Tabelle 3: System ist für jedes a lösbar (eindeutig für a 3, unendlich viele Lösungen, wenn a = 3) (b) Für a = 3 erhält man die allgemeine Lösung (Tabellen 4): x = 4 3x 3, x = 3 3x 3, x 3 R Bei Nichtnegativitätsforderungen erhält man x = 4 3x 3 0 x x = 3 3x 3 0 x 3 Zusammen mit x 3 0 ergibt sich für die Menge aller nichtnegativen Lösungen die Darstellung: x = 4 3x 3, x = 3 3x 3, x 3 [0; ] (c) a [ ; ] a 3 Folglich ist auch das zugeordnete homogenen System eindeutig lösbar und besitzt nur die triviale Lösung x = x = x 3 = 0 Lösung der Aufgabe 4: x x x a a a-3 0 (b) a= (a) Aus Tabelle 3: - System ist eindeutig lösbar für a 3, wobei rank(a) = rank(a, b) = 3; - System besitzt unendlich viele Lösungen, wenn a = 3, mit rank(a) = rank(a, b) = ; - System ist für kein a unlösbar (b) Für a = 3 bekommt man (ausgehend von Tabelle 3) die allgemeine Lösung (Tabelle 4): x = 4 x 3, x = x 3, x 3 R Bei Nichtnegativitätsforderungen erhält man x = 4 x 3 0 x 3 4 x = x 3 0 x 3 Zusammen mit x 3 0 ergibt sich für die Menge aller nichtnegativen Lösungen die Darstellung: x = 4 x 3, x = x 3, x 3 [0; ] 3

32 (c) a= homogen (c) Für a = ist auch das zugeordnete homogene Gleichungssystem eindeutig lösbar und besitzt nur die triviale Lösung x = x = x 3 = 0 Rechnung (ausgehend von Tabelle 3) in den Tabellen 5, 6 Lösung der Aufgabe 5: x x x 3-4 a a a -4 0 a a + (c) a = (d) a = -, homogen (a) Aus Tabelle 3: Das System ist (eindeutig) lösbar für a (b) Aus Tabelle 3: Das System ist unlösbar, wenn a = Nur dann gilt hier rank(a) = < 3 = rank (A, b) (c) Für a = 0 erhält man die eindeutige Lösung: x = 0, x =, x 3 = Rechnung in den Tabellen 4, 5 (d) Für a = ist das zugeordnete homogene Gleichungssystem lösbar, es besitzt auch nichttriviale Lösungen Die Lösungsmenge ist (Tabelle 6): x = 3 x 3, x = x 3, x 3 R Bei Nichtnegativitätsforderungen für x, x und x 3 folgt notwendig x 3 = 0 Einzige nichtnegative Lösung des homogenen Systems ist deshalb die triviale Lösung x = x = x 3 = 0 Lösung der Aufgabe 6: (a) Nein! Sind x und x zwei verschiedene Lösungen für ein fest gewähltes Paar von Parametern (a, b), dann sind auch alle Vektoren x = λx + ( λ)x mit 0 λ Lösung des betreenden linearen Gleichungssystems Alternative Begründung: Ein Lineares Gleichungssystem kann grundsätzlich endweder keine Lösung haben, eindeutig lösbar sein ( Lösung) oder unendlich viele Lösungen besitzen Somit kann ein Gleichungssystem für ein festes Paar von Parameter (a, b) nicht genau drei Lösungen besitzen (b) In der dritten Tabelle (siehe nächste Seite) ist für b = 0 der transformierte Vektor der rechten Seite des linearen Gleichungssystems von den bereits erzeugten beiden Einheitsvektoren linear unabhängig Damit gilt rank(c d) = 3 3

33 Transformation des linearen Gleichungssystems (für (b) und (c)): x x x a b a b a b + 6 (c) Für a =, b = 6 erhält man aus der dritten Tabelle folgende allgemeine Lösung: x = 6 x 3, x = 4 + x 3, x 3 beliebig reell Fordert man x 3 0, dann folgt sofort x < 0 Damit ist die Menge aller nichtnegativen Lösungen des linearen Gleichungssystems leer (d) Die vorgegebene Lösung ist eine spezielle Lösung des linearen Gleichungssystems für a =, b = 6 (siehe Teilaufgabe (c)) Lösung der Aufgabe 7: x x x 3-0 b -4 3 a b - 0 -b 0 a 3b b 0 b 0 0 a- b- 0 b (b) a = b = (c) a = b = (a) Aus der 3 Tabelle folgt für die Lösbarkeit in Abhängigkeit von a, b - eindeutig lösbar, wenn a (unabhängig von b), - unendlich viele Lösungen, wenn a = und b =, - nicht lösbar, wenn a = und b (b) Aus der 5 Tabelle folgt für a = b = 0 die eindeutig bestimmte Lösung x =, x =, x 3 = (c) Im Fall a = b = besitzt das System unendlich viele Lösungen, nach der 6 Tabelle folgt mit der Nichtnegativitätsforderung (!)! x = x 3 0 x 3! x = x 3 0 x 3 Zusammen mit der Nichtnegativitätsforderung für x 3 selbst und der Setzung x 3 = t ergibt sich als Menge der nichtnegativen Lösungen: x = t, x = t, t [0; ] x 3 = t, Lösung der Aufgabe 8: x x x β β- (a) Aus Tabelle 4 folgt: Das System besitzt für alle β R die eindeutige Lösung x = 0, x = β 3, x 3 = β 4 (b) Die Lösung ist nichtnegativ, wenn β 4 33

34 β β β-4 (c) Für β = 0 erhält man x = 0, x = 7, x 3 = 6 und damit für die Darstellung von b durch die Spalten von A : 0 = Lösung der Aufgabe 9: x x x a a a (b) a = (a) Aus Tabelle 3 folgt: Das System - ist eindeutig lösbar für a, - besitzt unendlich viele Lösungen, wenn a =, - ist für kein a unlösbar (b) Für a = bekommt man (ausgehend von Tabelle 3) die allgemeine Lösung (Tabelle 4): x = 8 + x 3, x = 6 3x 3, x 3 R Mit dem Parameter x 3 = t erhält man für die Menge L aller Lösungen die alternative Darstellung L = x R3 x x x 3 = t 3, t R Nichtnegativitätsbedingungen erfordern: x = 8 + x 3 0 x 3 4 und x = 6 3x 3 0 x 3 Zusammen mit x 3 0 ergibt sich für die nichtnegativen Lösungen die Darstellung: x = 8 + x 3, x = 6 3x 3, x 3 [0; ] Mit dem Parameter x 3 = t erhält man für die Menge L + aller nichtnegativen Lösungen die alternative Darstellung L + = x R3 x x = t 3, t [0; ] x 3 0 Lösung der Aufgabe 0: x x x a a a + 6 a a + 4 a (a) Aus Tabelle 3 folgt: Das System - ist eindeutig lösbar für a 4, - besitzt unendlich viele Lösungen, wenn a = 4, - ist für kein a unlösbar (b) Für a = 4 bekommt man (ausgehend von Tabelle 3) die allgemeine Lösung (Tabelle 4): x = + x 3, x = 3 x 3, x 3 R Mit dem Parameter x 3 = t erhält man für die Menge L aller Lösungen die alternative Darstellung: 34

35 (b) a = L = x R3 x x x 3 = t, t R Nichtnegativitätsbedingungen erfordern: x = + x 3 0 x 3 und x = 3 x 3 0 x 3 3 Damit ist auch x 3 0 erfüllt und für die nichtnegativen Lösungen ergibt sich: x = + x 3, x = 3 x 3, x 3 [ ; 3] Mit dem Parameter x 3 = t erhält man für die Menge L + aller nichtnegativen Lösungen die alternative Darstellung: L + = x R3 x x x 3 = t Die Einschränkungen x > x > x 3 > 0 erfordern:, t [ ; 3] x = + x 3 > 3 x 3 = x x 3 > 4 3 und x = 3 x 3 > x 3 x 3 < 3 Damit ist auch x 3 > 0 erfüllt und für die Lösungen mit x > x > x 3 > 0 ergibt sich: x = + x 3, x = 3 x 3, x 3 ( 4 ; 3 3 ) Mit dem Parameter x 3 = t erhält man für die Menge L > die alternative Darstellung: L > = x R3 x x x 3 = t Spezielle Lösungen sind zb aus L für t = 0: x =, x = 3, x 3 = 0; aus L + für t = : x =, x =, x 3 = ; aus L > für t = 7: x =, x = 9, x 3 = 7, t ( 4 3 ; 3 (c) Das homogene System Ax = 0 ist, wie auch das gegebene inhomogene System, für a = 4 4 eindeutig lösbaïr, besitzt also nur die triviale Lösung x = x = x 3 = 0 ) Lösung der Aufgabe : x x x 3 t 0-3 t -4 t -4 t t t t 4 t 0 t t 4 - (a) Aus Tabelle 3 folgt: Das System - ist eindeutig lösbar für t 4, - ist unlösbar für t = 4, - besitzt für kein t unendlich viele Lösungen Die eindeutige Lösung für t 4 ist (Tabelle 4): x = 4 t 4, x =, x 3 = t 4 35

36 t t t 4 (b) t = (c) t = 4, b b Lösung der Aufgabe : x x x q p q + p q 0 q 3 + p 0 0 q (b) p = 3, q = (b) t = 4 x =, x =, x 3 = (c) Sei b 3 die rechte Seite der 3 Gleichung Dann entsteht nach Tranformationen anstelle der Tabelle 3 die Tabelle 6: b 3 = 3 (d) Aus der Lösung nach (a) (Tabelle 4) folgt für x = x 3, dass dafür 4 =, also = 4 gelten müÿte Das ist ein t 4 t 4 Widerspruch! (e) Das homogene System ist nichttrivial lösbar, wenn t = 4 Aus der 3 Tabelle ergibt sich die Lösungsmenge (rechte Seiten 0!): x = 4x 3, x = 0, x 3 R Die Lösungen sind nichtnegativ für x 3 0 (a) Aus Tabelle 3: p = 3 und q 0 System ist unlösbar, wenn (b) Aus Tabelle 4 erhält man für p = 3, q = 0 die allgemeine Lösung: x = 3 x, x 3 = x, x R Für nichtnegative Lösungen mit x ist zu fordern 0 x = 3 x Folglich muss gelten x (aus 3 x ) und x 3 (aus 0 3 x ) Dafür gilt auch x 3 = x 0 (c) Aus (der linken Seite von) Tabelle 3 folgt: Das homogene linearen Gleichungssystem ist eindeutig (nur trivial) lösbar, wenn p 3 (d) Die Spalten von A sind für p = 0 linear unabhängig, denn das homogene System ist dann nur trivial lösbar, es gilt det A 0, der Rang von A ist 3 Lösung der Aufgabe 3: x x x t t t (a) Aus Tabelle 3: t 0, eindeutige Lösung x = 6, x = 5, x 3 = 0 t = 0, Lösungsmenge x = 6 + x 3, x = 5 x 3, x 3 R (b) t = 0: 3 Zeile in Tabelle 3 entfällt, dafür wegen x + x + x 3 = neue 3 Zeile (Tabelle 4), eindeutige Lösung x = 4, x = 0, x 3 = 5 (Tabelle 6) Lösungsvariante: Allgemeine Lösung aus (a) liefert x + x + x 3 = 6 + x x 3 + x 3 = + x 3 = x 3 = 5 x = 6 0 = 4, x = = 0 Nichtnegativitätsforderungen für die allg Lösung aus (a): x = 6+x 3 0, x = 5 x 3 0, x 3 0 x 3 [0; 5] 36

37 (b) t = (c) x = 6, x = 5, x 3 = 0 für jedes t R Lösung folgt aus (a) (dazu x 3 = 0 setzen für t = 0) oder direkt durch Einsetzen in das Ausgangssystem (Probe) für kein t R Lösung des homogenen Systems, denn (aus Tabelle 3, rechte Seiten durch 0 ersetzt): t 0 eindeutige Lösung, db nur trivial lösbar; t = 0 Lösungsmenge x = x 3, x = x 3, x 3 R Für x 3 = 0 damit notwendig auch x = x 3 = 0 Lösung der Aufgabe 4: x x x a b a + b a + b (c) a = b b 0 0 b 0 0 b (d) a =, homogen (a) (aus Tabelle 3 ablesbar) Das System ist unlösbar, wenn a = und b 0 (b) (aus Tabelle 3 ablesbar) Das System ist für alle a lösbar, wenn b = 0 (c) (aus Tabelle 5 ablesbar) a = ergibt für jedes b die eindeutige Lösung x = + b, x = b, x 3 = b (d) (aus Tabelle 6 ablesbar) Für a = ist das zugehörige homogene System nichttrivial lösbar Eine Dartellung der Lösungsmenge ist gegeben durch die allgemeine Lösung x = x 3, x = x 3, x 3 R (e) (aus Tabelle 3 ablesbar) Die Spalten der Koezientenmatrix des linearen Gleichungssystems sind linear unabhängig für a Genau dann ist der Rang gleich 3, das System eindeutig lösbar, das zugehörige homogene System nur trivial lösbar, die Determinante der Koezientenmatrix ungleich 0 Lösung der Aufgabe 5: x x x 3 p p 0 p p 0 p p 3 0 p 0 p (a) Für p 5 erhält man die eindeutige Lösung x = 3 + p, x =, x 3 = + p Für p = 5 kann in der 3 Tabelle die überüssige Gleichung in Zeile gestrichen werden Damit gibt es unendlich viele Lösungen: x = 5 3x, x 3 = 5 x, x R (b) p 5 entfällt als Lösungsmöglichkeit, da stets x = gilt 37