Lineare Gleichungssysteme: eine Ergänzung

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1 Lineare Gleichungssysteme: eine Ergänzung Ein lineares Gleichungssystem, bei dem alle Einträge auf der rechten Seite gleich sind heiÿt homogenes lineares Gleichungssystem: a x + a 2 x a n x n = a 2 x + a 22 x a 2n x n = =. a m x + a m2 x a mn x n = kurz: A x = Jedes homogene lineare Gleichungssystem ist lösbar! Es hat sicher die Lösung (x, x 2,..., x n ) = (,,..., )... triviale Lösung Typeset by FoilTEX 85

2 Homogene lineare Gleichungssysteme Wenn ein homogenes lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, dann hat es nur die triviale Lösung. Wir wissen auÿerdem, dass für lineare Gleichungssysteme mit n Gleichungen und n Variablen gilt: A x = b ist eindeutig lösbar det A Wenden wir diesen Satz auf homogene lineare Gleichungssysteme an, so erhalten wir: A x = hat nur die triviale Lösung det A Typeset by FoilTEX 86

3 Linearkombinationen Ein Vektor x im R k kann als Linearkombination von den Vektoren v,..., v n geschrieben werden, wenn gilt, dass es Zahlen c i gibt mit Etwa ist 2 = 3 + ( 2) 3 x = c v + + c n v n., 2 3 ist also eine Linearkombination von und. Typeset by FoilTEX 87

4 LINEARE UNABHÄNGIGKEIT Sind v..., v n Vektoren im R k, von denen keiner als Linearkombination der anderen geschrieben werden kann, so heiÿen {v,..., v n } linear unabhängig. Kann (irgend-) einer der v i als Linearkombination der restlichen Vektoren geschrieben werden, so sind {v,..., v n } linear abhängig. 2 3 sind also linear abhängig. Typeset by FoilTEX 88

5 Geometrische Anschauung: Im R 2 : Zwei Vektoren auf einer Geraden sind linear abhängig. Im R 3 : Zwei Vektoren auf einer Geraden sind linear abhängig. Drei Vektoren in einer Ebene sind linear abhängig. Typeset by FoilTEX 89

6 Lineare Abhängigkeit und Nullvektor Ist die Menge der Vektoren M = {v,..., v n } linear abhängig, dann gilt für mindestens einen Vektor v k M : v k = und weiters: = D.h.: Der Nullvektor kann als Linearkombination der Vektoren v,..., v n dargestellt werden mit mindestens einem c i. Das führt zu folgender Denition für lineare Abhängigkeit: Eine Menge von Vektoren {v,..., v n } ist genau dann linear abhängig, wenn die Gleichung c v c n v n = mit mindestens einer Zahl c i gelöst werden kann. Typeset by FoilTEX 9

7 Überprüfen von linearer (Un-)Abhängigkeit Kann der Nullvektor nicht als Linearkombination der Vektoren {v,..., v n } dargestellt werden (mit mindestens einem c i ), dann sind v,..., v n linear unabhängig. Das führt zu folgender Denition für lineare Unabhängigkeit: Wenn aus c v c n v n = folgt c = c 2 =... = c n = dann ist die Menge der Vektoren {v,..., v n } linear unabhängig. Beispiel: Sind 2 3,, 2 2 linear unabhängig? Typeset by FoilTEX 9

8 Überprüfen linearer Unabhängigkeit mit Determinanten Möchte man die lineare Unabhängigkeit von n Vektoren {v,..., v n } der Dimension n überprüfen, so kann man dazu auch Determinanten verwenden: c v v 2. v n +c 2 v 2 v 22. v n c n v n v 2ṇ.. v nn v v 2... v n =. v 2 v v 2n... v n v n2... v nn c c 2. c n =. bildet ein homogenes lineares Gleichungssystem V c = in Unbekannten und Gleichungen Das System V c = ist eindeutig lösbar - hat nur die triviale Lösung wenn det(v ) ist! Typeset by FoilTEX 92

9 Kriterium für lineare Unabhängigkeit von n Vektoren aus dem R n Die Vektoren {v,..., v n } aus dem R n, sind genau dann linear unabhängig, wenn für die aus den den Vektoren v i gebildete (n n)-matrix V = (v,..., v n ) gilt: det(v ) Dabei ist es egal, ob die Vektoren die Zeilen oder die Spalten der Matrix bilden! Beispiel: Ist die folgende Menge von Vektoren linear unabhängig? Typeset by FoilTEX 93

10 Rang einer Menge von Vektoren/einer Matrix 2 3 sind linear abhängig. Was passiert, wenn wir einen Vektor entfernen? Ist die verbleibende Menge linear unabhängig? Wie viele linear unabhängige Vektoren gibt es in dieser Menge? Der Rang einer Menge von Vektoren ist die maximale Anzahl der linear unabhängigen Vektoren in dieser Menge. Man spricht auch vom Rang der Matrix, die aus den entsprechende Vektoren gebildet wird. Dabei ist es egal, ob die Vektoren die Zeilen oder die Spalten der Matrix bilden. Berechnung des Rangs: Bringe die entsprechende Matrix durch elementare Zeilenumformungen auf Treppenstufenform! Typeset by FoilTEX 94

11 Beispiele: Bestimme den Rang der folgenden Menge von Vektoren: 2 3 Für welche x R hat die folgende Matrix vollen Rang? 2 x x x 5 4 Typeset by FoilTEX 95

12 Basis Eine Menge B von Vektoren im R n bildet eine Basis des R n, wenn ) die Vektoren in B linear unabhängig sind und 2) sich jeder Vektor v R n als Linearkombination von Vektoren aus B darstellen läÿt. Es gilt: Im R n ist jede linear unabhängige Menge B = {v,..., v n } von n Vektoren eine Basis. Begründung: ) Die Vektoren sind linear unabhängig 2) Jeder Vektor b aus dem R n lässt sich als Linearkombination der v i darstellen: V existiert, weil die v i linear unabhängig sind und damit det V ist. Typeset by FoilTEX 96

13 B = Beispiele: (a) Bildet B eine Basis des R 3? ) lineare Unabhängigkeit: 2) Haben 3 Vektoren im R 3. (b) Stelle den Vektor v = (2, 9, 8) als Linearkombination von B dar und gib die Koordinaten von v bezüglich dieser Basis an! Typeset by FoilTEX 97

14 Zusammenfassung Vektoren {v,..., v n } sind linear unabhängig, wenn aus c v c n v n = folgt dass c =... = c n = sein muss. Andernfalls sind sie linear abhängig. Es kann dann ein v i als Linearkombination der anderen Vektoren dargestellt werden. n Vektoren {v,..., v n } des R n, sind genau dann linear unabhängig, wenn det(v ) für V = (v... v n ) ist. Sind {v,..., v n, v n+,... } Vektoren im R n, sind sie sicher linear abhängig. Enthält eine Menge von Vektoren den Nullvektor, ist sie sicher linear abhängig. Die maximale Anzahl der möglichen linear unabhängigen Vektoren {v,..., v n } ist der Rang dieser Menge. (Bestimmung über Treppenstufenform!) Typeset by FoilTEX 98

15 Eine Menge von n Vektoren aus dem R n hat Rang n, wenn die Determinante der aus den Vektoren gebildeten Matrix ungleich ist. (Die Zeilen bzw. Spalten der Matrix sind linear unabhängig) Eine Basis B im R n ist eine Menge von n linear unabhängigen Vektoren der Dimension n. Es kann dann jeder Vektor im R n als Linearkombination von Vektoren aus B dargestellt werden. Typeset by FoilTEX 99