DEUTSCHE SCHULE MONTEVIDEO BIKULTURELLES DEUTSCH-URUGUAYISCHES ABITUR ( AUF SPANISCH )

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1 Grundlegende Bemerkungen : Der Begriff des Vektors wurde in den vergangenen Jahren im Geometrieunterricht eingeführt und das mathematische Modell des Vektors wurde vor allem auch im Physikunterricht schon mit Erfolg eingesetzt. Jetzt sollen die Eigenschaften dieser Vektoren und ihrer grafischen Repräsentanten genauer untersucht werden, und die daraus gewonnenen Rechenmethoden werden Grundlage sein für den Entwurf einer allgemeinen Definition eines linearen Vektorraumes über R. Es sollten dabei auch nichtgeometrische Vektorräume gezeigt werden, um die allgemeine Bedeutung dieses neuen Konzeptes hervorzuheben. Dieser Lehrplan stützt sich auf einen Lehrplanvorschlag für Mathematik B der 12. Klasse des Ingenieurwesen der Microexperiencia des Jahres Die Themen werden auf die beiden Jahre so verteilt, wie es der Lehrer für am sinnvollsten hält. 1

2 2. und 3. Klasse Sekundarstufe II = 11. und 12. Schuljahr ( je 4 Wochenstunden ) I. Lineare Gleichungssysteme, Matrizen und Determinanten. 1) Eine Diskussion der Gleichung ax = b. Gleichungssysteme. Äquivalente Gleichungssysteme. Der allgemeine Lehrsatz für äquivalente Gleichungssysteme. 2) Die Definition einer Matrix. Die Addition von Matrizen. Eigenschaften. Das Produkt einer Matrix mit einer reellen Zahl. Eigenschaften. Produkte von Matrizen und ihre Eigenschaften. 3) Die Definition der Determinante einer 2 x 2 Matrix. Die Definition der komplementären Matrix. Die Definition der adjungierten Matrix. Die Definition der Determinante einer n x n Matrix durch Rekursion. Die Regel von Sarrus. Die Eigenschaften der Determinanten. Die Berechnung von Determinanten. 4) Existenz und Eindeutigkeit der inversen Matrix. Methoden, die inverse Matrix zu finden. Der Satz von Cramer. Anwendungen. Homogene Gleichungssysteme. I. Geometrische Vektoren. Die Koordinaten eines Vektors. 1) Eine Wiederholung der Begriffe : Relation, Äquivalenzrelation, Schnittmenge. 2) Die Definition der geometrischen Vektoren ( Äquivalenzklasse von geordneten Paaren von Punkten ). Die Addition von Vektoren. Die skalare Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl. Linearkombinationen. Die Definition der Basis. Das Skalarprodukt. Definition und Eigenschaften. 3) Die orientierte Achse. Das Maß orientierter Strecken. Paare orientierter Achsen. Der Mittelpunkt einer Strecke. Punktsymmetrie. 4) Die Koordinaten eines Vektors. Die Koordinaten des Summenvektors. Die Koordinaten von λ r v. Kollineare Vektoren. Die Berechnung des Skalarproduktes mit Hilfe der Koordinaten der Vektoren. 5) Módulo eines Vektors. Der Winkel zwischen Vektoren. Orthogonale Vektoren. Der Abstand zwischen zwei Punkten. 6) Der Begriff der Basis des R 2. Bedingungen, damit eine Menge von Vektoren Basis des R 2 ist. Translation und Rotation der Achsen. 2

3 I. Die Gleichung einer Geraden. Die Ungleichung einer Halbebene. Geradenscharen. 1) Parametergleichungen von Geraden. Parallele Geraden und senkrechte Geraden ( im Fall der Parametergleichungen ). 2) Bedingungen damit 3 Punkte auf einer Geraden liegen. Allgemeine Geradengleichung. Explizite Geradengleichung. Winkel-Koeffizient. 3) Schnittmengen von Geraden ( das Thema kann behandelt werden, indem man von Geraden ausgeht, die durch ihre allgemeinen Gleichungen gegeben sind, und Beispiele in anderen Fällen zeigt ). Bedingungen der Parallelität, Bedingungen der Orthogonalität ( unter Benutzung allgemeiner Gleichungen und/oder expliziter Gleichungen ). Winkel zwischen zwei Geraden. 4) Die Gleichung einer Strecke auf einer Geraden. Die Normalenform der Geraden. Die Normalisierung der allgemeinen Geradengleichung. Der Abstand eines Punktes von einer Geraden. Dreiecksflächen. 5) Die Ungleichung einer Halbebene. Systeme von Ungleichungen. 6) Geradenbüschel. Notwendigen und hinreichende Bedingungen dafür dass 3 Geraden ein Geradenbüschel bilden. Die Gleichung eines Geradenbüschels. Eigenschaften der Geradenbüschel. I. Die Kreislinie. Der Kreis. Scharen von Kreislinien. Geometrische Örter. Envolventen. 1) Die Gleichung einer Kreislinie. Anwendungen. Die Ungleichung eines Kreises. Systeme von Ungleichungen. 2) Die Schnittmenge einer Geraden und einer Kreislinie. Die Tangente an einen Kreis durch einen Punkt der Kreislinie und von einem Punkt außerhalb des Kreises an den Kreis. Die Polare eines Punktes bezüglich einer Kreislinie. Eigenschaften. 3) Polarkoordinaten. Die Gleichung einer Geraden und einer Kreislinie in Polarkoordinaten. Die Potenz eines Punktes bezüglich einer Kreislinie. Radikal-Achse. Die Schnittmenge zweier Kreislinien. 4) Scharen von Kreislinien. Sätze bezüglich dieser Themen. Basispunkte. Grenzpunkte. Orthogonale Kreislinien. Gleichung der orthogonalen Kreisschar. Die Untersuchung dieser Kreisschar. 5) Fakultativ : Geometrische Örter. Analytische Methoden um die Gleichung eines geometrischen Ortes zu bestimmen. Die Parameter-Methode. 3

4 6) Fakultativ : Familien von Kurven, die von einem quadratischen Parameter abhängen. Die Envolvente dieser Familie. I. Die Parabel, die Ellipse und die Hyperbel. 1) Die Definition einer Parabel. Die Konstruktion von Punkten. Die Gleichung einer Parabel mit einer Achse parallel zur y-achse ( Kommentare zu den Ergebnissen für Achsen parallel zur x- Achse ). Beispiel einer Parabel mit geneigter Achse. 2) Die Schnittmenge einer Geraden und einer Parabel. Die Tangente an eine Parabel durch einen Punkt der Parabel. Übungen. Eigenschaften der Parabel. 3) Die Definition der Ellipse und der Hyperbel. Die Konstruktion von Punkten. Die Gleichung einer Ellipse und einer Hyperbel bezogen auf ihre Achsen. Die Asymptoten einer Hyperbel. Eigenschaften. Die Tangente an eine Ellipse ( oder an eine Hyperbel ) durch einen Punkt dieser Ellipse. 4) Ungleichungen. Systeme von Ungleichungen. I. Analytische Geometrie im dreidimensionalen Raum. 1) Coordenadas de un punto en el espacio. Coordenadas de un vector. Coordenadas del vector suma. Coordenadas de λ r v. Módulo eines Vektors. 2) Das Skalarprodukt. Das Vektorprodukt. Eigenschaften. Anwendungen. 3) Parametergleichungen einer Geraden. Parametergleichungen einer Ebene. Die allgemeine Ebenengleichung. 4) Die Schnittmenge einer Geraden und einer Ebene. Die Schnittmenge von Ebenen. Orthogonalität von Gerade und Ebene, Orthogonalität von zwei Ebenen. Abstand eines Punktes zu einer Ebene. 5) Die Gleichung der Kugeloberfläche. Die Gleichung der Tangentialebene in einem Punkt der Kugeloberfläche. I. Vektorräume. 1) Die Definition des Vektorraums. Eigenschaften. Beispiele : Matrizen, geometrische Vektoren, R 2, R 3, Polynome, usw. 2) Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren. Die Basis eines Vektorraums. Die 4

5 Dimension eines Vektorraums. Beispiele. 3) Die Definition eines linearen Untervektorraums. Beispiele. Die Basis eines Untervektorraums. Die Dimension. Beispiele. 4) Vektorräume mit Skalarprodukt. Ungleichung von Cauchy-Schwarz. Orthonormalbasen. I. Fakultativ : Lineare Transformationen in endlich dimensionalen Vektorräumen 1) Definition. Bestimmung. Beispiele. 2) Assoziierte Matrix. Basiswechsel. 3) Zusammensetzung linearer Transformationen. Beziehung zum Matrizenprodukt. 4) Kern. Bild. Existenz der inversen Transformation. Determinante einer linearen Transformation. 5) Eigenvektoren und Eigenwerte. 5