Mathematische Grundlagen für die Vorlesung. Differentialgeometrie

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1 Mathematische Grundlagen für die Vorlesung Differentialgeometrie Dr. Gabriele Link In diesem Text sammeln wir die nötigen mathematischen Grundlagen, die wir in der Vorlesung Differentialgeometrie benötigen. Die einzelnen Begriffe sind aus der Vorlesung Höhere Mathematik bekannt und werden hier lediglich kurz wiederholt. 1 Der euklidische Vektorraum R R 3 als Vektorraum Zunächst betrachten wir die Grundmenge R 3 := {x = (x 1, x 2, x 3 ) : x 1, x 2, x 3 R}, (1) deren Elemente wir Vektoren nennen. Das Element o = (0, 0, 0) heißt Nullvektor. Um der Menge (1) eine Struktur zu geben, führen wir eine Addition von Elementen x = (x 1, x 2, x 3 ), y = (y 1, y 2, y 3 ) R 3 ein, die durch komponentenweise erklärt wird. x + y := (x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3 ) Weiter definieren wir für x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 und λ R durch λ x = (λx 1, λx 2, λx 3 ) eine skalare Multiplikation, die wie die Addition komponentenweise erklärt ist. Mit Hilfe der speziellen Vektoren e 1 := (1, 0, 0), e 2 := (0, 1, 0) und e 3 := (0, 0, 1) lässt sich jeder Vektor x = (x 1, x 2, x 3 ) eindeutig darstellen (linear kombinieren) via x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3. (2)

2 Weil mit Linearkombinationen der Vektoren e 1, e 2, e 3 jeder Vektor des R 3 dargestellt werden kann, heißen sie erzeugend, aufgrund der Eindeutigkeit der Darstellung (2) von x R 3 durch e 1, e 2, e 3 nennt man sie linear unabhängig. Bemerkungen Die Vektoren b 1,..., b d in R 3 heißen linear unabhängig genau dann, wenn der Nullvektor nur durch o = 0 b b d linear kombiniert werden kann. Im Falle von zwei Vektoren b 1, b 2 ist dies äquivalent dazu, dass b 2 kein Vielfaches von b 1 ist. Vier oder mehr Vektoren im R 3 sind immer linear abhängig. Definition 1.1. Eine Menge aus linear unabhängigen und erzeugenden Vektoren eines Vektorraumes heißt Basis des Vektorraums. Die Basis {e 1, e 2, e 3 } heißt Standardbasis des R Geometrie im R 3 Um Längen und Winkel im R 3 zu messen, verwenden wir als Werkzeug das Standardskalarprodukt,, das folgendermaßen definiert ist: Für x = (x 1, x 2, x 3 ), y = (y 1, y 2, y 3 ) setzen wir x, y := (x 1, x 2, x 3 ), (y 1, y 2, y 3 ) := x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. (3) Der R 3 mit diesem Standardskalarprodukt ist ein euklidischer Vektorraum. Man nennt ihn auch euklidischen Standardraum, um klarzumachen, dass das ausgezeichnete Skalarprodukt (3) gemeint ist. Für x, y, z R 3 und λ, µ R gilt x, y = y, x und z, λ x + µ y = λ z, x + µ z, y. (Übung) Außerdem ist das Skalarprodukt positiv definit, d. h. x, x 0 für beliebiges x R 3, und x, x = 0 x = o. Deshalb lässt sich über das Skalarprodukt die Norm (oder Länge) eines Vektors folgendermaßen definieren: x := x, x = x x2 2 + x2 3. Vektoren x mit der Länge x = 1 heißen Einheitsvektoren. 2

3 Sind x, y R 3 und λ R, so gilt für die Norm λ x = λ x, x + y x + y Für x, y R 3 definiert x y den Abstand zwischen x und y. Außerdem gilt die Cauchy-Schwarz sche Ungleichung x, y x y. Diese impliziert dass für x o und y o x, y x y 1, d.h. 1 x, y x y 1. Somit lässt sich der Winkel (x, y) [0, π] zwischen x und y definieren durch cos (x, y) := x, y x y. Es folgt direkt dass x, y = 0 genau dann wenn (x, y) = π/2. In diesem Falle heißen x und y orthogonal und wir schreiben x y. Gilt ausserdem x = y = 1, so heißen x und y orthonormal. Insbesondere sind die Vektoren e 1, e 2 und e 3 paarweise orthonormal. Eine Basis aus paarweise orthonormalen Vektoren heißt Orthonormalbasis. Ein Beispiel für eine Orthonormalbasis des R 3 ist die Standardbasis e 1, e 2, e Punkte, Geraden und Ebenen Zu zwei beliebigen Punkten P und Q im dreidimensionalen Raum gibt es genau einen Vektor x = P Q R 3 sodass Q = P + x. Fixiert man einen Ursprung O im dreidimensionalen Raum, so kann man jeden Punkt P eindeutig durch seinen Ortsvektor p = OP = (p1, p 2, p 3 ) R 3 beschreiben. Die Zahlen p 1, p 2, p 3 R heißen Koordinaten von P. Ist OQ = (q1, q 2, q 3 ) R 3, so folgt P Q = (q 1 p 1, q 2 p 2, q 3 p 3 ). Der Abstand d(p, Q) zwischen P und Q ist d(p, Q) = P Q = q p. Ganz allgemein gilt für drei Punkte P, Q und R P Q = P R + RQ. 3

4 Eine Gerade g im Raum kann folgendermaßen parametrisiert werden: Man wähle zwei (verschiedene) Punkte P und Q auf g und betrachte die Vektoren a := OP, b := P Q. Dann ist die Menge aller Ortsvektoren auf g gegeben durch g := {a + s b : s R}. Ist E eine Ebene im Raum, so wählen wir drei Punkte P, Q, R auf E, die nicht auf einer Geraden liegen. Setzt man nun a := OP, b := P Q und c := P R, so ist die Menge aller Ortsvektoren auf E gegeben durch E := {a + s b + t c : s, t R}. (4) Beachte, dass b und c linear unabhängig sind, da P, Q und R nicht auf einer Geraden liegen! Ein Vektor n R 3 mit n, b = n, c = 0 heißt Normalenvektor der Ebene E; ist außerdem n = 1, so heißt n Normaleneinheitsvektor. Im folgenden Abschnitt werden wir sehen, wie man zu jeder Ebene im R 3 einen Normalenvektor konstruieren kann. Wir möchten nun die Orthogonalprojektion Π E auf E bestimmen: Seien n R 3 ein Normaleneinheitsvektor von E, und p = (p 1, p 2, p 3 ) der Ortsvektor eines Punktes P. Dann ist die Gerade g = {p + r n : r R} orthogonal zu E und ihr Schnittpunkt mit E ist genau die Orthogonalprojektion von P auf E. Wir suchen also r, s, t R sodass die Gleichung p + r n = a + s b + t c gilt. Bildet man das Skalarprodukt jeder Seite mit dem Vektor n, so erhalten wir die Bedingung p, n + r = a, n, also r = a p, n. Die Orthogonalprojektion von P auf E besitzt also den Ortsvektor Π E (p) = p + a p, n n. Der Abstand d(p, E) des Punktes P zur Ebene E ist dann genau die Länge des Vektors p Π E (p) = a p, n n, also d(p, E) = a p, n. Der Normaleneinheitsvektor n einer Ebene E ist auch nützlich zur Bestimmung des Winkels zwischen E und einer Geraden g := {u + r v : s R}: Ist θ [0, π/2] der Winkel zwischen E und g, so ist π/2 θ der Winkel zwischen g und der Geraden durch den Schnittpunkt von E und g mit Richtung n; dieser ist gegeben durch cos(π/2 θ) = n, v v. 4

5 Wegen sin θ = cos( π 2 θ) berechnet sich der Winkel θ zwischen E und g durch sin θ = n, v v. Alternativ zur Parameterdarstellung (4) kann die Menge der Ortsvektoren x R 3 einer Ebene E auch durch die Gleichung x, n = d (5) beschrieben werden, wobei n R 3 der Normaleneinheitsvektor von E ist, der vom Ursprung in Richtung der Ebene zeigt, und d 0 der Abstand vom Ursprung zur Ebene ist. Die Darstellung einer Ebene E durch die Gleichung (5) heißt Hesse-Normalform von E. 1.4 Das Vektorprodukt Für zwei Vektoren x = (x 1, x 2, x 3 ), y = (y 1, y 2, y 3 ) R 3 setzen wir x y = (x 2 y 3 x 3 y 2, x 3 y 1 x 1 y 3, x 1 y 2 x 2 y 1 ). Der Vektor x y heißt Vektorprodukt (oder Kreuzprodukt) der Vektoren x und y. Sind x, y, z R 3, so gelten die folgenden Aussagen, die zum Teil in der Übung gezeigt werden sollen: x y x und x y y x y = (y x) x y = x y sin (x, y); geometrisch ist dies der Flächeninhalt des von x und y aufgespannten Parallelogramms. x, y z = y, z x x (y z) = x, z y x, y z x, y linear abhängig x y = o Beachte, dass im allgemeinen (x y) z x (y z). Ist E := {a + s b + t c : s, t R} eine Ebene im R 3, so ist der Vektor b c ein Normalenvektor von E; einen Normaleneinheitsvektor n von E erhält man durch Normierung n = b c b c. Der Normaleneinheitsvektor einer Ebene ist bis auf das Vorzeichen eindeutig bestimmt. 5

6 1.5 Rang einer Matrix Der Rang einer Matrix ist definiert als maximale Anzahl ihrer linear unabhängigen Zeilen. Ist speziell A eine (2, 3)-Matrix ( ) b1 b A = 2 b 3, c 1 c 2 c 3 so gilt Rang(A) = 2 genau dann, wenn die Zeilen b = (b 1, b 2, b 3 ) und c = (c 1, c 2, c 3 ) linear unabhängig sind, d.h. wenn gilt Andernfalls hat A Rang 1. b c o. 2 Vektorwertige Funktionen 2.1 Motivation Eine Gerade g := {a + t b : t R} im R 3 kann auch betrachtet werden als Bildmenge einer Funktion x : R R 3, t x(t) := a + t b = (a 1 + tb 1, a 2 + tb 2, a 3 + tb 3 ). (6) Allgemeiner kann man Vektorfunktionen einer reellen Variablen betrachten: Ist I R ein Intervall, so ist die Funktion x : I R 3, t x(t) = (x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t)) eine Vektorfunktion. Die reellwertigen Funktionen x 1, x 2 und x 3 heißen Koordinatenfunktionen. Beispiel Es sei I = [0, 4π] R, r > 0 und c R. Setze x : I R 3, x(t) := (r cos t, r sin t, ct). (7) Die Bildmenge von x ist eine sogenannte Helix (oder auch Schraubenlinie). Für c = 0 ist die Bildmenge ein Kreis in der (x 1, x 2 )-Ebene; im allgemeinen liegt die Kurve auf einem Zylinder vom Radius r um die x 3 -Achse. 2.2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit In diesem Abschnitt bezeichne f : I R eine reellwertige Funktion. 6

7 Definition 2.1. Ist t 0 I, so heißt f 0 R Grenzwert von f für t gegen t 0, wenn lim f(t) f 0 = 0. t t 0 In diesem Fall schreiben wir f 0 := lim t t0 f(t). f heißt stetig an der Stelle t = t 0, falls lim t t0 f(t) = f(t 0 ). f heißt stetig, falls f für alle t I stetig ist. Eine Vektorfunktion ist stetig genau dann, wenn alle Koordinatenfunktionen es sind. Beispiele Die Vektorfunktionen (6) und (7) sind stetig. Die Vektorfunktion x : R R 3, t x(t) = ist nicht stetig an der Stelle t = 0. { t e1 für t < 0 e 3 + t e 2 für t 0 Definition 2.2. f heißt differenzierbar an der Stelle t 0 I, falls der Grenzwert f (t 0 ) = d dt f(t 0) := lim t t0 f(t) f(t 0 ) t t 0 existiert. In diesem Fall heißt f (t 0 ) die Ableitung von f an der Stelle t 0. f heißt differenzierbar, falls f für alle t I differenzierbar ist. Eine Vektorfunktion x : I R 3, t x(t) = (x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t)) ist differenzierbar genau dann, wenn alle Koordinatenfunktionen es sind. In diesem Falle ist die Ableitung an der Stelle t 0 I gegeben durch x (t 0 ) = (x 1(t 0 ), x 2(t 0 ), x 3(t 0 )). Seien nun x, y : I R 3 differenzierbare Vektorfunktionen, und f : I R differenzierbar. Die Ableitung besitzt folgende Eigenschaften: ( x(t) + y(t) ) = x (t) + y (t) ( f(t) x(t) ) = f (t) x(t) + f(t) x (t) Produktregel für Skalarprodukt: x(t), y(t) = x (t), y(t) + x(t), y (t) Produktregel für Vektorprodukt: ( x(t) y(t) ) = x (t) y(t) + x(t) y (t) 7

8 Kettenregel: Ist t : J I, s t(s) differenzierbar, so ist x t : J R 3, s x(t(s)) differenzierbar und es gilt an der Stelle s 0 J d x ( t(s) ) = d d x(t) t(s), ds s=s0 dt t=t0 ds s=s0 wobei t 0 = t(s 0 ) ist. Bemerkung Die Produktregel für das Skalarprodukt hat eine für die Vorlesung wichtige Folgerung: Ist x(t) = 1 für alle t I, so folgt durch Ableiten der Gleichung 1 = x(t), x(t) nach t 0 = x(t), x(t) = x (t), x(t) + x(t), x (t) = 2 x (t), x(t), d.h. x (t) ist orthogonal zu x(t) für alle t I. Definition 2.3. Falls für f alle Ableitungen beliebig hoher Ordnung existieren, so heißt f glatt oder C -Funktion. Eine Vektorfunktion ist glatt bzw. eine C -Funktion, falls alle Koordinatenfunktionen es sind. 2.3 Vektorfunktionen mit zwei Variablen Allgemeiner kann man Vektorfunktionen zweier reeller Variablen betrachten: Ist U R 2 eine Teilmenge des R 2, so wird durch die Vorschrift x : U R 3, 1, u 2 ) x 1, u 2 ) = (x 1 1, u 2 ), x 2 1, u 2 ), x 3 1, u 2 )) eine Vektorfunktion mit 2 Variablen definiert. Beispiele Die Ebene E := {a + s b + t c : s, t R} ist Bild der Vektorfunktion x : R 2 R 3, (s, t) x(s, t) := a + s b + t c. Für r > 0 beschreibt die Vektorfunktion x : [0, 2π] [0, π] R 3, eine Sphäre vom Radius r. (ϕ, θ) x(ϕ, θ) := (r cos ϕ sin θ, r sin ϕ sin θ, r cos θ) Im Folgenden sei U R 2, f : U R eine reellwertige Funktion sowie x : U R 3 eine Vektorfunktion mit 2 Variablen. Analog zu Definition 2.1 können für f Grenzwert und Stetigkeit definiert werden. 8

9 Definition 2.4. Ist u 0 U, so heißt f 0 R Grenzwert von f für u gegen u 0, falls lim f) f 0 = 0. u u 0 In diesem Fall schreiben wir f 0 := lim u u0 f). f heißt stetig an der Stelle u = u 0, falls lim u u0 f) = f 0 ). f heißt stetig, falls f für alle u U stetig ist. Eine Vektorfunktion ist stetig genau dann, wenn alle Koordinatenfunktionen es sind. Fixiert man in f 1, u 2 ) eine der beiden Variablen, so erhält man jeweils eine Funktion, die nur von einer Variablen abhängt. Definition 2.5. f heißt partiell differenzierbar nach u 1 bzw. u 2 an der Stelle u 0 = 1 0, u2 0 ) U, falls folgender Grenzwert existiert: f u 1 0 ) = f u 1 f 1 0 0) := lim + h, u2 0 ) f1 0, u2 0 ) h 0 h f u 2 0 ) = f u 2 f 1 0 0) := lim, u2 0 + h) f1 0, u2 0 ). h 0 h bzw. In diesem Fall heißt f u k 0 ) die partielle Ableitung von f nach u k an der Stelle u 0 (für k = 1, 2). f heißt partiell differenzierbar, falls f für alle u U partiell differenzierbar nach beiden Variablen ist. f heißt zweimal partiell differenzierbar in u 0 U, wenn alle zweiten partiellen Ableitungen 2 f f u i u k = u i, i, k = 1, 2, 3 uk von f existieren. Analog werden partielle Ableitungen höherer Ordnung definiert. f heißt glatt oder C -Funktion, falls alle partiellen Ableitungen beliebig hoher Ordnung existieren. Definition 2.6. Eine Vektorfunktion x : U R 3, u x) = (x 1 ), x 2 ), x 3 )) heißt partiell differenzierbar oder glatt, wenn alle Koordinatenfunktionen es sind. In diesem Falle ist die partielle Ableitung nach u k (für k = 1, 2) an der Stelle u 0 U gegeben durch x u k 0 ) = ( x 1 u k 0), x 2 u k 0), x 3 u k 0) ). Die Jacobi-Matrix von x in u 0 ist definiert durch ( x1 ) x u J x 0 ) := 1 0 ) 2 x u 1 0 ) 3 u 1 0 ). x 1 x u 2 0 ) 2 x u 2 0 ) 3 u 2 0 ) 9

10 Wir erinnern an die verallgemeinerte Kettenregel für die Differentiation zusammengesetzter Funktionen: Proposition 2.7. Sind ϕ 1, ϕ 2 : I R R differenzierbare Funktionen, x : U R 3 eine Vektorfunktion mit stetigen partiellen Ableitungen und (ϕ 1 (I), ϕ 2 (I)) U, so ist die Vektorfunktion x (ϕ 1, ϕ 2 ) : I R 3, t x(ϕ 1 (t), ϕ 2 (t)) differenzierbar. Die Ableitung an der Stelle t 0 I ist gegeben durch wobei u 0 = (ϕ 1 (t 0 ), ϕ 2 (t 0 )). d x(ϕ 1 (t), ϕ 2 (t)) = x dt u 1 0 ) ϕ t=t0 1(t 0 ) + x u 2 0 ) ϕ 2(t 0 ), Außerdem gilt folgender für die Flächentheorie wichtiger Satz 2.8 (Umkehrsatz für Vektorfunktionen). Ist x : U R 3 glatt, u 0 U mit Rang ( J x 0 ) ) = 2, so existiert eine Umgebung W U von u 0 sodass x : W R 3 injektiv ist. Insbesondere existiert die Umkehrabbildung x(w ) R 3 W, die ebenfalls glatt ist. In der Vorlesung verwenden wir die Konvention 2.9. Die Formulierung x ist differenzierbar bedeutet, dass x partielle Ableitungen beliebig hoher Ordnung besitzt. 10

u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u.

u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u. Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Prof. Dr. C. Hesse PD Dr. P. H. Lesky Dipl. Math. D. Zimmermann Msc. J. Köllner FAQ 3 Höhere Mathematik I 4..03 el, kyb, mecha, phys Vektorräume Vektorräume

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