2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen

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1 2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen V und V seien Vektorräume über einem Körper K. Hom K (V, V ) bezeichnet die Menge der K linearen Abbildungen von V nach V. Wir machen Hom K (V, V ) zu einem Vektorraum. Seien F, G Hom K (V, V ) und λ K. Addition: F + G ist die Abbildung F + G : V V mit v F (v) + G(v) Skalare Multiplikation: λf ist die Abbildung λf : V V, v λ F (v) (2.1) emerkung: F + G und λ F sind wieder K linear. eweis: Zeige, dass F + G linear ist. (Analoge Rechnung für λf ) (F + G)(v + w) = F (v + w) + G(v + w) = F (v) + F (w) + G(v) + G(w) = (F (v) + G(v)) + (F (w) + G(w)) = (F + G)(v) + (F + G)(w) (F + G)(µv) = F (µv) + G(µv) = µf (v) + µg(v) = µ((f + G)(v)) Damit ist innerhalb von Hom K (V, V ) eine Addition und eine Skalarmultiplikation erklärt. (2.2) Satz: (Hom K (V, V ); +, ) ist ein K Vektorraum. eweis: Die Nullabbildung O(v) := 0 für alle v V ist offenbar ein neutrales Element bzgl. der Addition. Das Negative von F ist die Abbildung ( F )(v) := F (v). Offenbar ist F + ( F ) = 0 Abbildung. Noch zu zeigen wäre: F + G = G + F, (F + G) + H = F + (G + H) 1 H = H, λ(µh) = (λµ)h, λ(f + G) = λf + λg, (λ + µ)h = λh + µh) Zeige stellvertretend, dass (F + G) + H = F + (G + H): Für v V ist ((F + G) + H)(v) = (F + G)(v) + H(v) = (F (v) + G(v)) + H(v) = = F (v) + (G(v) + H(v)) = F (v) + ((G + H)(v)) = (F + (G + H))(v). 1

2 Zusammenhang zwischen Matrizen und linearen Abbildungen 1) Spezialfall: V = K n, V = K m Nach 1 induziert jede m n Matrix A eine lineare Abbildung L A : K n K m, x A x Dabei gilt: L A (e j ) = A e j = j te Spalte von A ist das ild des j-te Einheitsvektors e j unter L A, j = 1,..., n. Sei umgekehrt F Hom K (K n, K m ). etrachte die Matrix M F := (F (e 1 ),..., F (e n )), deren Spalten die ilder der Einheitsvektoren unter der Abbildung F sind. Insbesondere gilt für F = L A : M LA = A nach obiger Ausführung. Nach 1.2 ist eine lineare Abbildung durch die ilder der asisvektoren e 1,..., e n bestimmt. Wegen M F e j = j te Spalte von M F = F (e j ) folgt M F v = F (v) für alle v K n, d.h. L MF = F. Insgesamt hat sich ergeben: die Abbildungen L : M(m n, K) Hom K (K n, K m ), A L A, und M : Hom K (K n, K m ) M(m n, K), F M F sind zueinander invers. 2) Allgemeiner Fall: Seien V und V endliche Vektorräume mit asen = (v 1,..., v n ) und = (w 1,..., w m ). F : V V sei eine lineare Abbildung. Wir schreiben F (v j ) V als Linearkombination F (v j ) = a 1j w a mj w m von, j = 1,..., n. Die Matrix a 11 a a 1n M (F ) = a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn mit den Spalten a 1j a 2j. a mj, j = 1,..., n heißt darstellende Matrix von F bezüglich der asen und. 2

3 Ist speziell V = K n, V = K m und sind und die kanonischen asen = (e 1,..., e n ), = (e 1,..., e m ) von K n bzw. K m, so ist F (e j ) = a 1j e a mj e m = M (F ) = (F (e 1),..., F (e n )) = M F a 1j. a mj Wir wollen nun M (F ) noch etwas anders beschreiben: Nach 1 gibt es genau einen Isomorphismus x 1 Es ist φ. x n und φ : K n V mit φ (e j ) = v j, j = 1,..., n = φ (x 1 e x n e n ) = x 1 v x n v n φ heißt Koordinatenisomorphismus von V bzgl. der asis. Schreibt man v V als Linearkombination v = x 1 v x n v n, so ist somit. φ 1 x 1 x n = (v). Dieser Vektor wird Koordinaten n Tupel von v bezüglich der asis genannt. eschreibung von M (F) m.h. von φ und φ : Sei Dann ist für j = 1,..., n F := φ 1 F φ : K n K m F (e j ) = F (φ 1 (v j)) = φ 1 (F (v j )) = F (v j ) = a 1j w a mj w m, d.h. M (F ) = (a ij) = ( F (e 1 ),..., F (e n )) = M F a 1j. a mj, wenn eispiel: Sei V = V der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad 3. Dann ist neben = (v 1, v 2, v 3, v 4 ) = (1, t, t 2, t 3 ) auch = (w 1, w 2, w 3, w 4 ) = (1, t 1, (t 1) 2, (t 1) 3 ) eine asis von V (Übungsaufgabe.) 3

4 f bezeichne die Ableitung von f V. Dann ist die Abbildung F : V V, f f + f linear: F (p + q) = p + q + (p + q) = p + q + p + q = F (p) + F (q), F (λp) = (λp) = λp = λf (p) für p, q V und λ R estimme A = M (F ): F (1) = 1 = 1 w w w 4, also ist (1, 0, 0, 0) t die 1. Spalte von A. F (t) = t + 1 = 1 (t 1) + 2 = 2 w w w w 4 und (2, 1, 0, 0) t ist die 2. Spalte von A. F (t 2 ) = t 2 + 2t = (t 1) 2 + 4(t 1) + 3 = 3w 1 + 4w w w 4 (3, 4, 1, 0) ist die 3. Spalte von A F (t 3 ) = t 3 + 3t 2 = (t 1) 3 + 6(t 1) 2 + 9(t 1) + 4 und (4, 9, 6, 1) t ist die 4. Spalte von A. Also ist M (F ) = (2.3) Satz: M : Hom K(V, V ) M(m n, K), F M (F ) ist ein Isomorphismus von Vektorräumen. Insbesondere ist nach (. ) dim Hom K (V, V ) = m n. eweis: Seien F, G : V V linear und F, G, F + G wie oben definiert. Da F (e j ) die j te Spalte von M (F ) ist, genügt für die Identität M (F + G) = M (F ) + M (G) zu zeigen, dass F + G(e j ) = F (e j ) + G(e j ) für j = 1,..., n F + G(e j ) = φ 1 (F + G) φ (e j ) = φ 1 ((F + G)(φ (e j )) = φ 1 (F (φ (e j )) + G(φ (e j ))) = φ 1 (F (φ (e j ))) + φ 1 = F (e j ) + G(e j ), da φ 1 4 (G(φ (e j ))) linear ist.

5 Analog zeigt man, dass M (λf ) = λm (F ). Damit ist M linear. Ist M (F ) die Nullmatrix, so ist F (e j ) = 0, j = 1,..., n, also φ 1 F φ = F = 0 und somit auch F = φ F φ 1 = 0. Also ist Kern M = 0 und M ist injektiv. Für A M(m n, K) sei F := φ L A φ 1. Dann ist F = L A und M (F ) = M F = M LA = A, also ist M surjektiv. (2.4) Satz: Verträglichkeit mit der Multiplikation) Seien V, V und V K Vektorräume der Dimensionen n, m, r mit asen,,. Dann gilt: Sind F : V V und G : V V linear, so ist M (G F ) = M (G) M (F ) eweis: M (G F ) = M G F mit G F = φ 1 (G F ) φ ; M (G) = M G, G = φ 1 G φ ; M (F ) = M F, F = φ 1 f φ. Es folgt G F = φ 1 G φ φ 1 F φ = G F. Also ist die j te Spalte von M G F = G F = G( (e j )) = G(M F e j ) = M G (M F e j ) = (M G M F ) e j = j te Spalte von M G M F für j = 1,..., n. Es folgt M (G F ) = M G F = M G M F = M (G) M (F ). Die Transformationsformel Seien = (v 1,..., v n ) und = (w 1,..., w n ) asen des Vektorraums V. Dann schreiben sich die w j in der Form w j = v j = n c ij v i ; j = 1,..., n, und entsprechend i=1 n c ijw i, j = 1,..., n i=1 M.a.W.: C = (c ij ) = M (id), C = (c ij) = M (id) C heißt Übergangsmatrix von nach. Nach (2.4) ist C C = M (id)m (id) = M (id) = E n, also C = C 1. (2.5) Satz Sei F : V V linear. Dann gilt 5

6 a) M (F ) = C 1 M (F )C b) Ist F ein Isomorphismus, so ist M (F 1 ) = (M (F )) 1 eweis: a) M 2.4 (idf id) = M 2.4 (id)m (F id) = M (id) M (F ) M (id) = C 1 M (F )C b) E n = M (id) = M (F 1 F ) 2.4 = M (F 1 ) M (F ). (2.6) Korollar: Sei A M(n n, K) und = (v 1,..., v n ) eine asis des K n. C sei die Matrix mit den Spalten v 1,..., v n. Dann ist M (L A ) = C 1 AC eweis: A = M K K (L A) und C = M K (id). Also gilt nach 2.5 M (L A) = C 1 M K K (L A) = C 1 AC. (K = (e 1,..., e n ) die kanonische asis des K n.) Der Rang einer linearen Abbildung Seien V, V Vektorräume, dim V = n, dim V = m und, asen von V bzw. V. Problem: Wie sieht man der Matrix M (F ) an surjektiv ist?, ob F injektiv bzw. Genauer: Wie bestimmt man ild und Kern von F m.h. von M (F )? Definition: Der Rang von F ist Rang F := dim (ild F ). (2.7) emerkung: a) Genau dann ist F injektiv, wenn Rang F = dim V. b) Genau dann ist F surjektiv, wenn Rang F = dim V. eweis: a) Nach 1 ist dim V = Rang F + dim Kern F und F ist injektiv genau dann, wenn dim Kern F = 0. b) F ist surjektiv genau dann, wenn V = ild F, d.h. wenn dim V = Rang F. 6

7 Wenn man also Rang F kennt, so weiß man, ob F injektiv bzw. surjektiv ist. Diesen liest man an M (F ) ab: (2.8) Satz: Rang F = Rang M (F ). Insbesondere falls dim V = dim V : F ist ein Isomorphismus genau dann, wenn M (F ) invertierbar ist. eweis: Sei F = φ 1 F φ : K n K m. F (e j ) = j te Spalte von M (F ) und somit ild F = K F (e 1 ) K F (e n ) = SR(M (F )), also Rang F = Rang (M (F )) φ und φ sind Isomorphismen, φ, F = F φ. Also ist φ (ild F ) = F ( ild φ ) = F (V ) = ild F und φ ild : ild F ild F ist ein Isomorphismus, also F dim ild F = dim ild F. Es folgt Rang F = Rang F = Rang (M (F )). Wie bestimmt man eine asis von ild F? 1) estimme eine asis des Spaltenraum von A = M (F ) gemäß II, 3: ringe A t durch elementare Zeilenumformungen (vom Typ I und II) auf Zeilenstufenform = (b ji ) j=1,...,n i=1,...,m Seien b 1,..., b k die von Null verschiedenen Zeilen von. Dann ist (b t 1,..., b t k ) eine asis des Spaltenraums von A,. 2) estimme wie folgt aus (b 1, t,..., b t k ) eine asis von ild F : Wie oben gesehen: ild F = SR(A), also ist (b t 1,..., b t k ) eine asis von ild F. Ferner ist φ ild F : ild F ild F ein Isomorphismus. Es ist φ : K m V, y 1. y m b t j = y 1 w y m w m, also b j1. b jm b j1 w b jm w m 7

8 Somit ist die gesuchte asis von ild F ( m ) m b 1i w i,..., b ki w i i=1 Rechenbeispiel: Seien V und V R Vektorräume mit asen = (v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 ) bzw. = (w 1, w 2, w 3, w 4 ). F : V V sei die lineare Abbildung mit i=1 F (v 1 ) = w 1 2w 2 + 2w 3 + w 4 F (v 2 ) = 2w 2 + 3w 3 w 4 F (v 3 ) = w 1 4w 2 w 3 + 2w 4 F (v 4 ) = w 1 + w 2 + 7w 3 w 4 F (v 5 ) = w 1 + 5w 4 Die Koordinatenvektoren der ilder der Elemente von in ezug auf die asis sind die Spalten der Matrix A = M (F ). Also ist A = und At = Führe an A t elementare Zeilenumformungen durch: A t b 1 b 2 b 3 8

9 Gemäß des obigen Verfahrens bilden dann die drei Vektoren eine asis von ild F. φ (b t 1) = w 1 2w 2 + 2w 3 + w 4 φ (b t 2) = w 2 w 3 + 2w 4 φ (b t 3) = w 3 w 4 estimmung einer asis von Kern F aus A = M (F): Sei L A : K n K m, x Ax 1) estimme gemäß I.4 eine asis (v 1,..., v r ) des Lösungsraums Lös A = Kern L A des Gleichungssystems A x = 0. 2) Es ist F = φ L A φ 1, wobei φ folgt ( ) Kern F = φ (Kern L A ) eweis: Für x Kern F ist φ (L A φ 1 Wegen φ Isomorphismus ist dann auch L A (φ 1 und φ Isomorphismen sind. Es (x)) = 0. (x)) = 0 und y = φ 1 (x) Kern L A. Es folgt x = φ (y) φ (Kern L A ). Sei umgekehrt x φ (Kern L A ), also x = φ (y), y Kern L A. Es folgt F (x) = φ L A φ 1 (x) = φ (L A(y)) = φ (0) = 0 und x Kern F. Wegen ( ) ist dann (φ (v 1 ),..., φ (v r )) eine asis von Kern F. Rechenbeispiel: Sei F : V V wie oben. Nach obiger Rechnung ist A = M (F ) = Wir wissen schon, dass Rang f = Rang A = 3 (s.o.) und somit dim Kern F = dim V Rang F = 5 3 = 2. Wir wollen nach obigem Schema eine asis von Kern F berechnen. Dazu ist zunächst die Matrix A auf Zeilenstufenform zu bringen, um eine asis von Lös A zu bestimmen: A

10 Als freie Variable wählen wir x 3 und x 5 : x 3, x 5 = 1 : x 4 = 10, x 2 = 16, x 1 = 11 x 3 = 1, x 5 = 0 : x 4 = 0, x 2 = 1, x 1 = 1 Eine asis von Lös A: (( 11, 16, 0, 10, 1) t, ( 1, 1, 1, 0, 0) t ) Diese Vektoren sind nach obiger Ausführung die Koordinatenvektoren einer asis von Kern F bezüglich der asis = (v 1,..., v 5 ). Also bilden eine asis von Kern F. 11v 1 16v v 4 + v 5 und v 1 v 2 + v 3 10

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