Schranken für zulässige Lösungen

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1 Schranken für zulässige Lösungen Satz 5.9 Gegeben seien primales und duales LP gemäß der asymmetrischen Form der Dualität. Wenn x eine zulässige Lösung des primalen Programms und u eine zulässige Lösung des dualen Programms ist, dann gilt: Beweis. c T x apple b T u c T x apple (A T u) T x = u T Ax = u T b = b T u Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

2 Folgerung 5.10 Gilt c T x = b T u,dannistx eine optimale Lösung des primalen LP und u eine optimale Lösung des dualen LP. Bemerkungen: Satz 5.9 gilt analog für alle zueinander dualen Probleme: Ist das primale Problem ein Maximierungsproblem, dann gilt stets ansonsten c T x apple b T u c T x b T u Dementsprechend gilt natürlich auch Folgerung 5.10 für alle zueinander dualen Probleme. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

3 Dualitätstheorem der linearen Programmierung Satz 5.11 Gegeben seien ein primales LP (max) und das zugehörige duale LP (min). Dann gilt: Besitzt sowohl das primale LP als auch das duale LP eine zulässige Lösung x bzw. u, so haben beide LPs auch optimale Lösungen x bzw. u und es gilt: z max = c T x = b T u = Z min Ist die Zielfunktion des primalen LP nicht nach oben beschränkt, dann hat das duale LP keine zulässige Lösung. Ist die Zielfunktion des dualen LP nicht nach unten beschränk, dann hat das primale LP keine zulässige Lösung. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

4 Spezialfall: Max-Flow-Min-Cut-Theorem Aus der Vorlesung Graphentheorie kennen wir das Max-Flow-Min-Cut-Theorem: In einem Flussnetzwerk ist der Wert (f ) eines Maximalflusses f gleich der Kapazität c(a S ) eines minimalen Schnittes A S. Dies ist ein Spezialfall des Dualitätstheorems Jeder trennende Schnitt hat eine Kapazität dem Wert eines Maximalflusses. Umgekehrt ist der Wert eines beliebiges Flusses stets apple der Kapazität eines minimalen Schnittes. In den Optima tre en sich die Werte: Das Maximalflussproblem und das Problem der Bestimmung eines minimalen Schnittes sind zueinander dual. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

5 Charakterisierung optimaler Lösungen Satz 5.12 Gegeben seien primales und duales LP in asymmetrischer Form. Eine zulässige Lösung x des primalen LP und eine zulässige Lösung u des dualen LP sind genau dann optimal, wenn gilt: x j > 0 ) (a j ) T u = mx a ij u i = c j i=1 Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

6 Beweis. Für die x und u gilt nach Satz 5.9: 0 apple b T u x T c = x T A T u x T c = x T (A T u c) Sind x und u jeweils optimal, dann gilt nach dem Dualitätstheorem = 0. Also muss für x j > 0 gelten, dass die j-te Komponente des Vektors A T u c gleich 0 ist. Umgekehrt folgt aus x j > 0 ) (a j ) T u = mx a ij u i = c j i=1 dass gilt x T (A T u c) =0 und damit b T u = c T x.alsosindx und u nach dem Dualitätstheorem optimal. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

7 Satz vom Komplementären Schlupf Satz 5.13 Gegeben seien primales und duales LP in symmetrischer Form. Durch Einführen von m Schlupfvariablen x n+1, x n+2,...,x n+m für das primale LP und n Schlupfvariablen u m+1, u m+2,...,u m+n für das duale LP gegen die LPs über in die Normalform. Eine zulässige Lösung x des primalen LP und eine zulässige Lösung u des dualen LP sind genau dann optimal, wenn gilt: x i u m+i =0für i =1,...,n und u j x n+j =0für j =1,...,m Bemerkung: Die Strukturvariablen des primalen LP korrespondieren mit den Schlupfvariablen des dualen LP und umgekehrt. Ist für die optimale Lösung des primalen LP x i > 0, so ist u m+i = 0. Analog gilt: u j > 0impliziertx n+j = 0. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

8 Beweis. Wir betrachten die LPs Dualität max u.d.n. z = c T x Ax apple b x 0 und min Z = b T u u.d.n. A T u c u 0 Wir führen Vektoren x 0 =(x n+1,...,x n+m )undu 0 =(u m+1,...,u n+m )an Schlupfvariablen ein. max u.d.n. z = c T x Ax + Ex 0 = b x, x 0 0 und min Z = b T u u.d.n. A T u Eu 0 = c u, u 0 0 Hieraus folgt (Ax + Ex 0 ) T u = b T u (A T u Eu 0 ) T x = c T x Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

9 Fortsetzung Beweis. Mit Satz 5.9 ergibt sich (x T A T + x 0 T )u (u T A u 0 T )x T 0 Nach dem Dualitätstheorem sind nun x, x 0, u, u 0 optimale Lösungen der beiden zueinander dualen LPs genau dann, wenn gilt: (x T A T + x 0 T )u (u T A u 0 T )x T =0 bzw. x 0 T u + u 0T x =0 Wegen den Vorzeichenbedingungen entspricht dies genau dem Satz vom komplementären Schlupf. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

10 Beispiel zum komplementären Schlupf Beispiel 5.14 Das Problem aus Beispiel 4.6 haben wir bereits mit dem primalen Simplexalgorithmus gelöst. + siehe Endtableau Das zugehörige duale Problem haben wir in Beispiel 5.6 formuliert. + siehe LP Wir lösen dieses LP mit dem dualen Simplexalgorithmus. 1. Tableau: BV u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 Z c u u Z Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

11 Fortsetzung Beispiel. 2. Tableau: BV u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 Z c u u 3 2/5 4/ /60 0 2/3 Z Tableau: BV u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 Z c u 2 5/ / /12 u 3 14/ /30 1/60 0 1/3 Z Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

12 Fortsetzung Beispiel. Wir vergleichen die beiden Endtableaus: primales Programm Strukturvariablen Schlupfvariablen BV x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 z b x /3 14/ x /24 1/ x / z /12 1/ Wert der Wert der Schlupfvariablen Strukturvariablen duales Programm Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

13 Fortsetzung Beispiel. duales Programm Strukturvariablen Schlupfvariablen BV u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 Z c u 2 5/ / /12 u 3 14/ /30 1/60 0 1/3 Z Wert der Wert der Schlupfvariablen Strukturvariablen primales Programm Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

14 Interpretation: komplementärer Schlupf Die Variablen des dualen LP entsprechen Bewertungsfaktoren bzw. Preisen für die Maschinenzeiten, die so festzulegen sind, dass der Gesemtwert aller Maschinenzeiten möglichst klein ist: min b T u, die Kosten für die Erzeugung der einzelnen Produkte mindestens gleich den mit diesen Produkten erzielten Gewinnen sind: A T u Eu 0 = c und die Werte für die Maschinenzeiten nicht negativ sind: u 0. Bei optimaler Planung stimmen Gesamtgewinn der Produktion und Gesamtkosten für die Maschinenzeiten überein, die Zielfunktionswerte von primalem und dualem LP sind gleich. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

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