Die Verbindung von Linearer Programmierung und Graphentheorie

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Die Verbindung von Linearer Programmierung und Graphentheorie"

Transkript

1 Die Verbindung von Linearer Programmierung und Graphentheorie Definition 5.9. Ein kombinatorisches Optimierungsproblem entspricht einem LP, bei dem statt der Vorzeichenbedingungen x i 0 Bedingungen der Form x i {0, 1} gegeben sind. Beispiel 5.7. [Rucksack-Problem] Gegeben sind n Gegenstände mit Nutzen p i Gewicht w i Zulässiges Gesamtgewicht C Einf ührung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 188

2 Gesucht: Auswahl der Gegenstände, so daß der Nutzen maximiert wird unter Einhaltung des zulässigen Gesamtgewichts. Maximiere unter den Nebenbedingungen F(x) = n p i x i i=1 n w i x i C i=1 x i {0, 1} Die bisher von uns betrachteten Probleme der Graphentheorie sind kombinatorische Optimierungsprobleme: Existenz von Wegen, kürzester Weg, Hamiltonkreis, TSP, Minimalgerüst Einf ührung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 189

3 Beispiel 5.8. Gegeben sei ein gerichteter Graph G = (V, A) mit einer nichtnegativen Kantenbewertung c. Die Ermittlung eines kürzesten Weges zwischen zwei Knoten s und t können wir als kombinatorisches Optimierungsproblem auffassen. Minimiere F(x) = unter den Nebenbedingungen (s,w) A (v,w) A (v,t) A c vw x vw x sw = 1 x vt = 1 Einf ührung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 190

4 x vu (v,u) A (u,w) A x uw = 0 für u V \ {s, t} x vw {0, 1} für (v, w) A Einf ührung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 191

5 LP-Relaxation Wir können versuchen, ein kombinatorisches Optimierungsproblem mit dem Simplex-Algorithmus zu lösen, denn mit 0 x i 1 statt x i {0, 1} erhalten wir wieder ein LP. Man nennt dieses LP die LP-Relaxation des kombinatorischen Optimierungsproblems. Problem: Die Basisvariablen einer optimalen Lösung des relaxierten Problems sind i.d.r. nicht ganzzahlig. Beispiel 5.9. Wir betrachten ein Rucksack-Problem mit Kapazität C = 9 und den folgenden Nutzen- und Gewichtswerten: Einf ührung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 192

6 i p i w i Die LP-Relaxation eines Rucksack-Problems lässt sich leicht mit einem Greedy-Algorithmus lösen, wenn wir die Gegenstände absteigend nach spezifischem Nutzen sortieren, d.h. p 1 w 1 p 2 w 2 p n w n Wir selektieren die Gegenstände in dieser Reihenfolge, bis wir zu einem Gegenstand kommen, der nicht mehr vollständig in den Rucksack passt. Dieser wird anteilig aufgenommen, alle übrigen Gegenstände nicht. Einf ührung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 193

7 Für das Beispiel ergibt sich: x 1 = x 2 = 1 x 3 = C w 1 w 2 w 3 = 2 3 x 4 = = x 7 = 0 Der optimale Zielfunktionswert (Gesamtnutzen) ist = 49 3 Damit ist 16 = 49 eine obere Schranke für eine optimale Lösung 3 des Rucksackproblems. Einf ührung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 194

8 Unimodularität Definition Eine quadratische ganzzahlige Matrix B ist unimodular gdw. wenn für die Determinate dieser Matrix gilt: det B = 1 oder det B = 1 Eine (nicht notwendig quadratische) Matrix A heißt total unimodular gdw. jede quadratische nichtsinguläre Teilmatrix von A unimodular ist, d.h. für jede quadratische Teilmatrix A von A gilt: det A = 1 oder det A = 0 oder det A = 1 Satz 5.4. Ist die Matrix A eines LP total unimodular und ist der Vektor b ganzzahlig, dann sind alle Basislösungen des LP ganzzahlig. Einf ührung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 195

9 Konsequenz: Wenn A total unimodular ist, ist die optimale Lösung der LP- Relaxation auch eine Lösung für das kombinatorische Optimierungsproblem. Bemerkungen: Im nächsten Kapitel werden wir Zuordnungsprobleme kennenlernen, die auf einer wichtigen Graphklasse zu total unimodularen Matrizen A führen. Wir können solche Probleme dann prinzipiell mit linearer Programmierung lösen. Einf ührung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 196

10 Lineare Programming ist eine recht allgemeine Methode. Die Graphentheorie dagegen liefert für eine Vielzahl von Problemen spezielle Algorithmen, die für diese Probleme der linearen Optimierung überlegen sind. Daher ist es für die Modellierung wichtig, daß Sie in der Lage sind, eine graphentheoretische Struktur im Modell zu entdecken und nach Möglichkeit auch auszunutzen. Für harte kombinatorische Optimierungsprobleme liefert die Lineare Optimierung Verfahren zur Berechung von guten unteren bzw. oberen Schranken. In Verbindung mit anderen algorithmischen Techniken ist es so gelungen, in den letzten Jahren die Grenzen für eine optimale Lösbarkeit deutlich zu verschieben. Beispiel TSP: 1977: 120, 2004: Einf ührung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 197

4. Dynamische Optimierung

4. Dynamische Optimierung 4. Dynamische Optimierung Allgemeine Form dynamischer Optimierungsprobleme 4. Dynamische Optimierung Die dynamische Optimierung (DO) betrachtet Entscheidungsprobleme als eine Folge voneinander abhängiger

Mehr

Einführung. Kapitel 1. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester 2015 14 / 298

Einführung. Kapitel 1. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester 2015 14 / 298 Kapitel 1 Einführung Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester 2015 14 / 298 Inhalt Inhalt 1 Einführung Was ist Operations Research? Planungsprozess im OR Peter Becker (H-BRS) Operations

Mehr

2. Repräsentationen von Graphen in Computern

2. Repräsentationen von Graphen in Computern 2. Repräsentationen von Graphen in Computern Kapitelinhalt 2. Repräsentationen von Graphen in Computern Matrizen- und Listendarstellung von Graphen Berechnung der Anzahl der verschiedenen Kantenzüge zwischen

Mehr

OPERATIONS-RESEARCH (OR)

OPERATIONS-RESEARCH (OR) OPERATIONS-RESEARCH (OR) Man versteht darunter die Anwendung mathematischer Methoden und Modelle zur Vorbereitung optimaler Entscheidungen bei einem Unternehmen. Andere deutsche und englische Bezeichnungen:

Mehr

3. Grundlagen der Linearen Programmierung

3. Grundlagen der Linearen Programmierung 3. Grundlagen der linearen Programmierung Inhalt 3. Grundlagen der Linearen Programmierung Lineares Programm Grafische Lösung linearer Programme Normalform Geometrie linearer Programme Basislösungen Operations

Mehr

Dynamische Optimierung. Kapitel 4. Dynamische Optimierung. Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2014/15 160 / 206

Dynamische Optimierung. Kapitel 4. Dynamische Optimierung. Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2014/15 160 / 206 Kapitel 4 Dynamische Optimierung Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2014/15 160 / 206 Inhalt Inhalt 4 Dynamische Optimierung Allgemeiner Ansatz und Beispiele Stochastische dynamische

Mehr

Modelle, Verfahren, Software, Anwendungen

Modelle, Verfahren, Software, Anwendungen Leena Suhl»TaTeb Mellouli Optimierungssysteme Modelle, Verfahren, Software, Anwendungen 3., korrigierte und aktualisierte Auflage ^ Springer Gabler Inhaltsverzeichnis Einleitung 1 1 Optimierungssysteme

Mehr

Approximationsalgorithmen: Klassiker I. Kombinatorische Optimierung Absolute Gütegarantie Graph-Coloring Clique Relative Gütegarantie Scheduling

Approximationsalgorithmen: Klassiker I. Kombinatorische Optimierung Absolute Gütegarantie Graph-Coloring Clique Relative Gütegarantie Scheduling Approximationsalgorithmen: Klassiker I Kombinatorische Optimierung Absolute Gütegarantie Graph-Coloring Clique Relative Gütegarantie Scheduling VO Approximationsalgorithmen WiSe 2011/12 Markus Chimani

Mehr

Anwendungen der Wirtschaftsmathematik und deren Einsatz im Schulunterricht

Anwendungen der Wirtschaftsmathematik und deren Einsatz im Schulunterricht Anwendungen der Wirtschaftsmathematik und deren Einsatz im Schulunterricht Beispiele wirtschaftsmathematischer Modellierung Lehrerfortbildung, Speyer, Juni 2004-1- Beispiele wirtschaftsmathematischer Modellierung

Mehr

Das Linear Ordering Problem Exakte Lösungsverfahren. für NP-schwierige. VO Algorithm Engineering

Das Linear Ordering Problem Exakte Lösungsverfahren. für NP-schwierige. VO Algorithm Engineering Das Linear Ordering Problem Exakte Lösungsverfahren VO Algorithm Engineering für NP-schwierige Professor Dr. Petra Mutzel kombinatorische Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 Optimierungsprobleme

Mehr

6. Flüsse und Zuordnungen

6. Flüsse und Zuordnungen 6. Flüsse und Zuordnungen In diesem Kapitel werden Bewertungen von Kanten als maximale Kapazitäten interpretiert, die über solch eine Kante pro Zeiteinheit transportiert werden können. Wir können uns einen

Mehr

Lineare Optimierung Ergänzungskurs

Lineare Optimierung Ergänzungskurs Lineare Optimierung Ergänzungskurs Wintersemester 2015/16 Julia Lange, M.Sc. Literatur Werner, F.; Sotskov, Y.N. (2006): Mathematics of Economics and Business; Routledge; London Bemerkungen Diese Unterlagen

Mehr

Lineare Programmierung

Lineare Programmierung Lineare Programmierung WS 2003/04 Rolle der Linearen Programmierung für das TSP 1954: Dantzig, Fulkerson & Johnson lösen das TSP für 49 US-Städte (ca. 6.2 10 60 mögliche Touren) 1998: 13.509 Städte in

Mehr

Inhaltsverzeichnis. Vorwort... V. Symbolverzeichnis... XIII

Inhaltsverzeichnis. Vorwort... V. Symbolverzeichnis... XIII Inhaltsverzeichnis Vorwort................................................................. V Symbolverzeichnis...................................................... XIII Kapitel 1: Einführung......................................................

Mehr

Periodische Fahrpläne und Kreise in Graphen

Periodische Fahrpläne und Kreise in Graphen Periodische Fahrpläne und Kreise in Graphen Vorlesung Algorithmentechnik WS 2009/10 Dorothea Wagner Karlsruher Institut für Technologie Eisenbahnoptimierungsprozess 1 Anforderungserhebung Netzwerkentwurf

Mehr

Optimalitätskriterien

Optimalitätskriterien Kapitel 4 Optimalitätskriterien Als Optimalitätskriterien bezeichnet man notwendige oder hinreichende Bedingungen dafür, dass ein x 0 Ω R n Lösung eines Optimierungsproblems ist. Diese Kriterien besitzen

Mehr

Entscheidungsbäume. Definition Entscheidungsbaum. Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen?

Entscheidungsbäume. Definition Entscheidungsbaum. Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen? Entscheidungsbäume Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen? Definition Entscheidungsbaum Sei T ein Binärbaum und A = {a 1,..., a n } eine zu sortierenden Menge. T ist ein Entscheidungsbaum

Mehr

Operations Research II

Operations Research II Operations Research II Einführung in die kombinatorische Optimierung Prof. Dr. Peter Becker Fachbereich Informatik Hochschule Bonn-Rhein-Sieg Wintersemester 2015/16 Peter Becker (H-BRS) Operations Research

Mehr

Probleme aus NP und die polynomielle Reduktion

Probleme aus NP und die polynomielle Reduktion Probleme aus NP und die polynomielle Reduktion Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität RWTH Aachen 15. Dezember 2009 Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit

Mehr

Teil II Optimierung. Peter Buchholz 2016. Modellgestützte Analyse und Optimierung Kap. 9 Einführung Optimierung

Teil II Optimierung. Peter Buchholz 2016. Modellgestützte Analyse und Optimierung Kap. 9 Einführung Optimierung Teil II Optimierung Gliederung 9 Einführung, Klassifizierung und Grundlagen 10 Lineare Optimierung 11 Ganzzahlige und kombinatorische Optimierung 12 Dynamische Optimierung Literatur: zu 10-12: Neumann,

Mehr

Unimodularität. Kapitel 1. Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2015/16 11 / 206

Unimodularität. Kapitel 1. Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2015/16 11 / 206 Kapitel 1 Unimodularität Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2015/16 11 / 206 Inhalt 1 Unimodularität Total unimodulare Matrizen Inzidenzmatrix Optimierungsprobleme auf Graphen Peter

Mehr

Bestimmung einer ersten

Bestimmung einer ersten Kapitel 6 Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung Ein Problem, was man für die Durchführung der Simplexmethode lösen muss, ist die Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung. Wie gut das geht,

Mehr

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg : Gliederung 7 Folgen und Reihen 8 Finanzmathematik 9 Reelle Funktionen 10 Differenzieren 1 11 Differenzieren 2 12 Integration

Mehr

13 Java 4 - Entwurfsmuster am Beispiel des Rucksackproblems

13 Java 4 - Entwurfsmuster am Beispiel des Rucksackproblems 13 Java 4 - Entwurfsmuster am Beispiel des Rucksackproblems 13.1 Modellierung des Rucksackproblems 13.2 Lösung mit Greedy-Algorithmus 13.3 Lösung mit Backtracking 13.4 Lösung mit Dynamischer Programmierung

Mehr

Operations Research. Flüsse in Netzwerken. Flüsse in Netzwerken. Unimodularität. Rainer Schrader. 2. Juli Gliederung.

Operations Research. Flüsse in Netzwerken. Flüsse in Netzwerken. Unimodularität. Rainer Schrader. 2. Juli Gliederung. Operations Research Rainer Schrader Flüsse in Netzwerken Zentrum für Angewandte Informatik Köln 2. Juli 2007 1 / 53 2 / 53 Flüsse in Netzwerken Unimodularität Gliederung Netzwerke und Flüsse bipartite

Mehr

Lineare Programmierung

Lineare Programmierung Seminar: Intelligente Algorithmen Stefan Kopp, Alfred Kranstedt, Nadine Leßmann Lineare Programmierung Frank Schönmann WS 2003/04 Inhaltsverzeichnis 1 Motivation 3 2 Lineare Programmierung (LP) 4 2.1 Einführendes

Mehr

NP-Vollständigkeit. Krautgartner Martin (9920077) Markgraf Waldomir (9921041) Rattensberger Martin (9921846) Rieder Caroline (0020984)

NP-Vollständigkeit. Krautgartner Martin (9920077) Markgraf Waldomir (9921041) Rattensberger Martin (9921846) Rieder Caroline (0020984) NP-Vollständigkeit Krautgartner Martin (9920077) Markgraf Waldomir (9921041) Rattensberger Martin (9921846) Rieder Caroline (0020984) 0 Übersicht: Einleitung Einteilung in Klassen Die Klassen P und NP

Mehr

Lineare Programmierung. Beispiel: Wahlkampf. Beispiel: Wahlkampf. Mathematische Schreibweise. Lineares Programm. Datenstrukturen & Algorithmen

Lineare Programmierung. Beispiel: Wahlkampf. Beispiel: Wahlkampf. Mathematische Schreibweise. Lineares Programm. Datenstrukturen & Algorithmen Datenstrukturen & Algorithmen Einführung Standard- und Schlupfformen Simplex Algorithmus Matthias Zwicker Universität Bern Frühling 2009 2 Beispiel: Wahlkampf Ziel: mit möglichst wenig Werbung eine gewisse

Mehr

Maximizing the Spread of Influence through a Social Network

Maximizing the Spread of Influence through a Social Network 1 / 26 Maximizing the Spread of Influence through a Social Network 19.06.2007 / Thomas Wener TU-Darmstadt Seminar aus Data und Web Mining bei Prof. Fürnkranz 2 / 26 Gliederung Einleitung 1 Einleitung 2

Mehr

Schranken für zulässige Lösungen

Schranken für zulässige Lösungen Schranken für zulässige Lösungen Satz 5.9 Gegeben seien primales und duales LP gemäß der asymmetrischen Form der Dualität. Wenn x eine zulässige Lösung des primalen Programms und u eine zulässige Lösung

Mehr

Kapitel 6: Graphalgorithmen Gliederung

Kapitel 6: Graphalgorithmen Gliederung Gliederung 1. Grundlagen 2. Zahlentheoretische Algorithmen 3. Sortierverfahren 4. Ausgewählte Datenstrukturen 5. Dynamisches Programmieren 6. Graphalgorithmen 7. String-Matching 8. Kombinatorische Algorithmen

Mehr

Optimierung für Nichtmathematiker

Optimierung für Nichtmathematiker Optimierung für Nichtmathematiker Typische Prüfungsfragen Die folgenden Fragen dienen lediglich der Orientierung und müssen nicht den tatsächlichen Prüfungsfragen entsprechen. Auch Erkenntnisse aus den

Mehr

Abschlussarbeit. Anwendung und Untersuchung von Path-Packing in der Lagerlogistik. von Alexander Büchel

Abschlussarbeit. Anwendung und Untersuchung von Path-Packing in der Lagerlogistik. von Alexander Büchel Hochschule Bonn-Rhein-Sieg University of Applied Sciences Fachbereich Informatik Department of Computer Science Abschlussarbeit im Studiengang Master of Science in Computer Science Anwendung und Untersuchung

Mehr

Vorlesung Einführung in die Mathematische Optimierung (Wintersemester 2013/14)

Vorlesung Einführung in die Mathematische Optimierung (Wintersemester 2013/14) 1 Vorlesung Einführung in die Mathematische Optimierung (Wintersemester 2013/14) Einleitung Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 11. Oktober 2013) 2 Kommunikationsnetzwerke...

Mehr

Datenstrukturen und Algorithmen. Christian Sohler FG Algorithmen & Komplexität

Datenstrukturen und Algorithmen. Christian Sohler FG Algorithmen & Komplexität Datenstrukturen und Algorithmen Christian Sohler FG Algorithmen & Komplexität 1 Clustering: Partitioniere Objektmenge in Gruppen(Cluster), so dass sich Objekte in einer Gruppe ähnlich sind und Objekte

Mehr

Der Simplex-Algorithmus

Der Simplex-Algorithmus 5 Lineare Programmierung Simplex-Algorithmus Der Simplex-Algorithmus Standardverfahren zur Lösung von LPs, von G B Dantzig entwickelt Grundidee: Versuche ausgehend von einer Startecke mit einer Ausgangsbasis

Mehr

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen Dr. Nico Düvelmeyer Freitag, 1. Juli 2011 1: 1 [1,1] Inhaltsübersicht für heute 1 Einführung und Wiederholung Beispiel

Mehr

Babeș-Bolyai Universität Cluj Napoca Fakultät für Mathematik und Informatik Grundlagen der Programmierung MLG5005. Paradigmen im Algorithmenentwurf

Babeș-Bolyai Universität Cluj Napoca Fakultät für Mathematik und Informatik Grundlagen der Programmierung MLG5005. Paradigmen im Algorithmenentwurf Babeș-Bolyai Universität Cluj Napoca Fakultät für Mathematik und Informatik Grundlagen der Programmierung MLG5005 Paradigmen im Algorithmenentwurf Problemlösen Problem definieren Algorithmus entwerfen

Mehr

Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Universität Augsburg OPTIMIERUNG II. Aufgaben und Lösungen

Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Universität Augsburg OPTIMIERUNG II. Aufgaben und Lösungen Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Universität Augsburg OPTIMIERUNG II Aufgaben und Lösungen SS 2005 Aufgaben Aufgabe 41 Ein Betrieb stellt zwei Produkte P 1 und P 2 her, die die

Mehr

Diskrete Optimierung

Diskrete Optimierung Diskrete Optimierung Mi 10-12, C118, Sand Dr. Stephanie Reifferscheid Universität Tübingen, WSI 12. Oktober 2011 Dr. Stephanie Reifferscheid Diskrete Optimierung 12. Oktober 2011 1 / 17 Technisches Erreichbarkeit

Mehr

6. Flüsse in Netzwerken Berechnung maximaler Flüsse. dann berechnet der Markierungsalgorithmus für beliebige Kapazitätsfunktionen

6. Flüsse in Netzwerken Berechnung maximaler Flüsse. dann berechnet der Markierungsalgorithmus für beliebige Kapazitätsfunktionen 6. Flüsse in Netzwerken Berechnung maximaler Flüsse Satz 6.4. Ersetzt man in Algorithmus 6.1 den Schritt 2 durch 2a. Wähle den Knoten, der zuerst in eingefügt wurde. Setze. dann berechnet der arkierungsalgorithmus

Mehr

Logistik: Rundreisen und Touren

Logistik: Rundreisen und Touren Logistik: Rundreisen und Touren 2008 AGI-Information Management Consultants May be used for personal purporses only or by libraries associated to dandelon.com network. Von Universitätsprofessor Dr. Wolfgang

Mehr

Optimierung. Optimierung. Vorlesung 7 Lineare Programmierung II. 2013 Thomas Brox, Fabian Kuhn

Optimierung. Optimierung. Vorlesung 7 Lineare Programmierung II. 2013 Thomas Brox, Fabian Kuhn Optimierung Vorlesung 7 Lineare Programmierung II 1 Lineare Programme Lineares Programm: Lineare Zielfunktion Lineare Nebenbedingungen (Gleichungen oder Ungleichungen) Spezialfall der konvexen Optimierung

Mehr

Leibniz Universität Hannover Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät Institut für Produktionswirtschaft Prof. Dr. Stefan Helber

Leibniz Universität Hannover Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät Institut für Produktionswirtschaft Prof. Dr. Stefan Helber Leibniz Universität Hannover Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät Institut für Produktionswirtschaft Prof. Dr. Stefan Helber Sitzplatznr.: Wiederholungsklausur zur Vorlesung Operations Research im Wintersemester

Mehr

Optimierung I. Dr. Ulf Lorenz F2.413

Optimierung I. Dr. Ulf Lorenz F2.413 Optimierung I Dr. Ulf Lorenz F2.413 flulo@upb.de Organisation Dozent: Dr. Ulf Lorenz F2.413 Fürstenallee 11 email: flulo@upb.de WWW: http://www.upb.de/cs/flulo (hier auch aktuelle Infos + Ü-Zettel) Vorlesungen:

Mehr

Kapitel 5. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

Kapitel 5. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298 Kapitel 5 Dualität Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester 2014 241 / 298 Inhalt 5 Dualität Dualitätssätze Zweiphasen-Simplexalgorithmus Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester

Mehr

Zugeordneter bipartiter Graph

Zugeordneter bipartiter Graph Zugeordneter bipartiter Graph Für ein Transportproblem sei A = {A 1,...,A m } die Menge der Fabriken und B = {B 1,...,B n } sei die Menge der Warenhäuser. Wir ordnen nun einem Transportproblem einen bipartiten

Mehr

Diplomprüfung. Operations Research I WS 2007/2008 (4 Punkte)

Diplomprüfung. Operations Research I WS 2007/2008 (4 Punkte) Dr. Jörg Kalcsics 11.0.008 Diplomprüfung (Wiederholungsprüfung gem. NPO) Operations Research I WS 007/008 ( Punkte) Vorbemerkung: Zugelassene Hilfsmittel: nicht programmierbarer Taschenrechner. Beginnen

Mehr

Technische Universität Berlin. Institut für Geodäsie und Geoinformationstechnik. Fachgebiet Photogrammetrie und Kartographie.

Technische Universität Berlin. Institut für Geodäsie und Geoinformationstechnik. Fachgebiet Photogrammetrie und Kartographie. Technische Universität Berlin Institut für Geodäsie und Geoinformationstechnik Fachgebiet Photogrammetrie und Kartographie Diplomarbeit Methoden zur Routenoptimierung in Geo-Informationssystemen am Beispiel

Mehr

Alles zu seiner Zeit Projektplanung heute

Alles zu seiner Zeit Projektplanung heute Alles zu seiner Zeit Projektplanung heute Nicole Megow Matheon Überblick Projektplanung Planen mit Graphentheorie Maschinenscheduling Ein 1 Mio. $ Problem Schwere & leichte Probleme? Zeitplanungsprobleme?

Mehr

Überblick. TSP Vergleich der Lösungen. Das Travelling Salesman Problem. Nearest-Neighbor Heuristik für TSP

Überblick. TSP Vergleich der Lösungen. Das Travelling Salesman Problem. Nearest-Neighbor Heuristik für TSP Kap..1 Heuristiken Kap.. Approximative Algorithmen und Gütegarantien Professor Dr. Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 Fakultät für Informatik, TU Dortmund 3. VO DAP SS 008 14. Juli 009 Überblick

Mehr

Kap. 7.1 Heuristiken Kap. 7.2 Approximative Algorithmen und Gütegarantien

Kap. 7.1 Heuristiken Kap. 7.2 Approximative Algorithmen und Gütegarantien Kap. 7.1 Heuristiken Kap. 7.2 Approximative Algorithmen und Gütegarantien Professor Dr. Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 Fakultät für Informatik, TU Dortmund 23. VO DAP2 SS 2008 14. Juli 2009

Mehr

Scheduling und Lineare ProgrammierungNach J. K. Lenstra, D. B. Shmoys und É.

Scheduling und Lineare ProgrammierungNach J. K. Lenstra, D. B. Shmoys und É. Scheduling und Lineare ProgrammierungNach J. K. Lenstra, D. B. Shmoys und É. Tardos Janick Martinez Esturo jmartine@techfak.uni-bielefeld.de xx.08.2007 Sommerakademie Görlitz Arbeitsgruppe 5 Gliederung

Mehr

KAPITEL 6 GANZZAHLIGE OPTIMIERUNG UND VOLLSTÄNDIG UNIMODULARE MATRIZEN

KAPITEL 6 GANZZAHLIGE OPTIMIERUNG UND VOLLSTÄNDIG UNIMODULARE MATRIZEN KPITEL 6 GNZZHLIGE OPTIMIERUNG UND VOLLSTÄNDIG UNIMODULRE MTRIZEN F. VLLENTIN,. GUNDERT. Ganzzahlige lineare Programme Viele Optimierungsprobleme des Operations Research lassen sich als ganzzahlige lineare

Mehr

Approximationsklassen für Optimierungsprobleme

Approximationsklassen für Optimierungsprobleme Approximationsklassen für Optimierungsprobleme Matthias Erbar 19. September 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Approximationsalgorithmen mit garantierter Güte 2 2.1 Terminologie......................................

Mehr

Klausur Algorithmen und Datenstrukturen II 29. Juli 2013

Klausur Algorithmen und Datenstrukturen II 29. Juli 2013 Technische Universität Braunschweig Sommersemester 2013 Institut für Betriebssysteme und Rechnerverbund Abteilung Algorithmik Prof. Dr. Sándor P. Fekete Stephan Friedrichs Klausur Algorithmen und Datenstrukturen

Mehr

Prüfung: Produktion, Logistik und Operations Research SS 2009. Prüfungsbogen. Vom Klausurteilnehmer auszufüllen!

Prüfung: Produktion, Logistik und Operations Research SS 2009. Prüfungsbogen. Vom Klausurteilnehmer auszufüllen! Klausur: 1122 1 von 12 Prüfung: Produktion, Logistik und Operations Research SS 29 Prüfer: Prof. Dr. Karl Inderfurth Prüfungsbogen Vom Klausurteilnehmer auszufüllen! Name, Vorname : Fakultät : Matrikelnummer

Mehr

S=[n] Menge von Veranstaltungen J S kompatibel mit maximaler Größe J

S=[n] Menge von Veranstaltungen J S kompatibel mit maximaler Größe J Greedy-Strategie Definition Paradigma Greedy Der Greedy-Ansatz verwendet die Strategie 1 Top-down Auswahl: Bestimme in jedem Schritt eine lokal optimale Lösung, so dass man eine global optimale Lösung

Mehr

Eulerweg, Eulerkreis. Das Königsberger Brückenproblem. Definition 3.1. Ein Weg, der jede Kante von G genau einmal

Eulerweg, Eulerkreis. Das Königsberger Brückenproblem. Definition 3.1. Ein Weg, der jede Kante von G genau einmal 3. Kreis- und Wegeprobleme Kapitelübersicht 3. Kreis- und Wegeprobleme Eulerweg, Eulerkreis Charakterisierung von eulerschen Graphen Bestimmung von eulerschen Wegen und Kreisen Hamiltonsche Graphen Definition

Mehr

Aufgabenblatt 6 zur Lehrveranstaltung Quantitative Methoden der Betriebswirtschaftslehre I Frühjahrssemester 2015

Aufgabenblatt 6 zur Lehrveranstaltung Quantitative Methoden der Betriebswirtschaftslehre I Frühjahrssemester 2015 Universität Bern Bern, den. März Professur für Quantitative Methoden der BWL Schützenmattstr., Bern Prof. Dr. Norbert Trautmann, Oliver Strub E-Mail: oliver.strub@pqm.unibe.ch Aufgabenblatt 6 zur Lehrveranstaltung

Mehr

4. Kreis- und Wegeprobleme Abstände in Graphen

4. Kreis- und Wegeprobleme Abstände in Graphen 4. Kreis- und Wegeprobleme Abstände in Graphen Abstände in Graphen Definition 4.4. Es sei G = (V,E) ein Graph. Der Abstand d(v,w) zweier Knoten v,w V ist die minimale Länge eines Weges von v nach w. Falls

Mehr

Lineare Programmierung (2)

Lineare Programmierung (2) Inhalt Rückblick Motivation - linearen Programmierung Flussprobleme Multiple Warenflüsse Fortsetzung Simplex Algorithmus Initialisierung Fundamentalsatz der linearen Programmierung schwache Dualität Dualität

Mehr

Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Kapitel 5

Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Kapitel 5 Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Kapitel 5 Ü5.1: Die entsprechende Bellman sche Funktionalgleichung kann angegeben werden als: Vct (, ) = max qt D { r rt t ( min{ q t, c} ) min{ q t, c} Vc ( min{ q t,

Mehr

Aufgabenkomplex 5: Hauptachsentransformation, Lineare Optimierung, Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen

Aufgabenkomplex 5: Hauptachsentransformation, Lineare Optimierung, Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen Aufgabenkomplex 5: Hauptachsentransformation, Lineare Optimierung, Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen 1. Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen zunächst die kritischen Stellen und entscheiden

Mehr

ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2

ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2 ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2 Teil 5 Prof. Peter F. Stadler & Dr. Christian Höner zu Siederdissen Bioinformatik/IZBI Institut für Informatik & Interdisziplinäres Zentrum für Bioinformatik Universität

Mehr

Literatur. Dominating Set (DS) Dominating Sets in Sensornetzen. Problem Minimum Dominating Set (MDS)

Literatur. Dominating Set (DS) Dominating Sets in Sensornetzen. Problem Minimum Dominating Set (MDS) Dominating Set 59 Literatur Dominating Set Grundlagen 60 Dominating Set (DS) M. V. Marathe, H. Breu, H.B. Hunt III, S. S. Ravi, and D. J. Rosenkrantz: Simple Heuristics for Unit Disk Graphs. Networks 25,

Mehr

Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen - Einführung in die Theorie, Numerische Methoden und Anwendungen

Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen - Einführung in die Theorie, Numerische Methoden und Anwendungen Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen - Einführung in die Theorie, Numerische Methoden und Anwendungen Dr. Abebe Geletu Ilmenau University of Technology Department of Simulation and Optimal Processes

Mehr

Optimierung für Nichtmathematiker (für Master) Vorlesung: Christoph Helmberg Übung: Anja Lau

Optimierung für Nichtmathematiker (für Master) Vorlesung: Christoph Helmberg Übung: Anja Lau Optimierung für Nichtmathematiker (für Master) Vorlesung: Christoph Helmberg Übung: Anja Lau Ziele: Einführung in richtige Einordnung von Optimierungsproblemen Modellierungstechniken praktische Umsetzung

Mehr

Diskrete Optimierung (Einführung zur Vorlesung)

Diskrete Optimierung (Einführung zur Vorlesung) Diskrete Optimierung (Einführung zur Vorlesung) Christoph Helmberg : [,] Inhaltsübersicht Diskrete Optimierung. Das Heiratsproblem (ungerichtete Graphen).2 Ganzzahligkeit von Polyedern ( und gerichtete

Mehr

3. Schnittebenenverfahren

3. Schnittebenenverfahren 3. Schnittebenenverfahren Themen 3. Schnittebenenverfahren Ganzzahlige lineare Programmierung Schnittebenenverfahren Konstruktion von Schnittebenen Auswahl von Schnittrestriktionen Operations Research

Mehr

LINGO: Eine kleine Einführung

LINGO: Eine kleine Einführung LINGO: Eine kleine Einführung Jun.-Prof.Dr. T. Nieberg Lineare und Ganzzahlige Optimierung, WS 2009/10 LINDO/LINGO ist ein Software-Paket, mit dessen Hilfe (ganzzahlige) lineare Programme schnell und einfach

Mehr

Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012

Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012 Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012 Kreisbasen, Matroide & Algorithmen INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und Algorithmen nationales

Mehr

Elemente der Analysis II

Elemente der Analysis II Elemente der Analysis II Kapitel 3: Lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 15. Mai 2009 1 / 35 3.1 Beispiel

Mehr

Operations Research. Vorlesungsskript

Operations Research. Vorlesungsskript Prof. Dr. Frank Werner Fakultät für Mathematik Institut für Mathematische Optimierung http://math.uni-magdeburg.de/ werner/or-ma.html Operations Research Vorlesungsskript (auszugsweise) Wintersemester

Mehr

Lange Nacht der Wissenschaft. Ein Klassiker. Die Mathematik der Kürzesten Wege

Lange Nacht der Wissenschaft. Ein Klassiker. Die Mathematik der Kürzesten Wege Lange Nacht der Wissenschaft Ein Klassiker Die Mathematik der Kürzesten Wege 09.06.2007 schlechte@zib.de Konrad-Zuse-Zentrum für Informationstechnik Berlin (ZIB) http://www.zib.de/schlechte 2 Überblick

Mehr

Quantitative Methoden in der Entscheidungsunterstützung. Anita Schöbel und Marie Schmidt

Quantitative Methoden in der Entscheidungsunterstützung. Anita Schöbel und Marie Schmidt Quantitative Methoden in der Entscheidungsunterstützung Anita Schöbel und Marie Schmidt 12. November 2009 Inhaltsverzeichnis 1 Vom Problem zum Modell 1 2 Lineare und ganzzahlige Programmierung 10 2.1 Lineare

Mehr

3.4 Exakte Verfahren für (Gemischt-) Ganzzahlige Optimierung

3.4 Exakte Verfahren für (Gemischt-) Ganzzahlige Optimierung 32KAPITEL 3. NP-SCHWIERIGE KOMBINATORISCHE OPTIMIERUNGSPROBLEME n Anzahl der Ungleichungen 3 8 4 20 5 40 6 910 7 87.472 8 >488.602.996 Tabelle 3.1: Anzahl der Ungleichungen des LOP-Polytops für n 8 3.4

Mehr

Bachelorarbeit. Vergleich von Ansätzen zur numerischen Lösung von MPCCs am Beispiel eines Mautproblems

Bachelorarbeit. Vergleich von Ansätzen zur numerischen Lösung von MPCCs am Beispiel eines Mautproblems Bachelorarbeit Vergleich von Ansätzen zur numerischen Lösung von MPCCs am Beispiel eines Mautproblems Vorgelegt an der Professur für Numerische Mathematik (Partielle Differentialgleichungen) von Prof.

Mehr

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Das Eigenwertproblem Sei A eine quadratische Matrix vom Typ m,m. Die Aufgabe, eine Zahl λ und einen dazugehörigen Vektor x zu finden, damit Ax = λx ist, nennt

Mehr

Optimierung I. 1 Einführung. Luise Blank. Wintersemester 2012/13. Universität Regensburg

Optimierung I. 1 Einführung. Luise Blank. Wintersemester 2012/13. Universität Regensburg Universität Regensburg Wintersemester 2012/13 1 Einführung Anwendungen Finanzwirtschaft: maximale Gewinnrate unter Beschränkungen an das Risiko; Portfolio von Investments Produktion: maximiere Gewinn bei

Mehr

Kapitel 4. Optimierungsalgorithmen. Technische Universität Wien. Gunnar Klau Technische Universität Wien. Institut für Computergraphik und Algorithmen

Kapitel 4. Optimierungsalgorithmen. Technische Universität Wien. Gunnar Klau Technische Universität Wien. Institut für Computergraphik und Algorithmen Kapitel 4 Optimierungsalgorithmen Gunnar Klau Institut für Computergraphik und Algorithmen 1 Gliederung Kombinatorische vs. Ganzzahlige Optimierung Exakte Verfahren Branch-and-Bound Schnittebenenverfahren

Mehr

Teil II. Nichtlineare Optimierung

Teil II. Nichtlineare Optimierung Teil II Nichtlineare Optimierung 60 Kapitel 1 Einleitung In diesem Abschnitt wird die Optimierung von Funktionen min {f(x)} x Ω betrachtet, wobei Ω R n eine abgeschlossene Menge und f : Ω R eine gegebene

Mehr

Optimierung mit Matlab

Optimierung mit Matlab Lehrstuhl Mathematik, insbesondere Numerische und Angewandte Mathematik Prof. Dr. L. Cromme Computerbasierte Mathematische Modellierung für Mathematiker, Wirtschaftsmathematiker, Informatiker im Wintersemester

Mehr

Einführung in das Operations Research

Einführung in das Operations Research S. Nickel, O. Stein, K.-H. Waldmann Einführung in das Operations Research Skript zur Vorlesung am Karlsruher Institut für Technologie Vorläufige Version, Stand: 11. März 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Kernkonzepte

Mehr

1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie

1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie Gliederung 1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. äume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie 4/5, olie 1 2014 Prof. Steffen Lange - HDa/bI

Mehr

Anmerkungen zur Übergangsprüfung

Anmerkungen zur Übergangsprüfung DM11 Slide 1 Anmerkungen zur Übergangsprüfung Aufgabeneingrenzung Aufgaben des folgenden Typs werden wegen ihres Schwierigkeitsgrads oder wegen eines ungeeigneten fachlichen Schwerpunkts in der Übergangsprüfung

Mehr

Einführung in die Optimierung Sommersemester 2005. Anita Schöbel

Einführung in die Optimierung Sommersemester 2005. Anita Schöbel Einführung in die Optimierung Sommersemester 2005 Anita Schöbel 9. Juli 2010 Vorwort Das vorliegende Vorlesungsskript entstand aufgrund der Notizen der von mir im Sommersemester 2005 gehaltenen Vorlesung

Mehr

Einführung in die Lineare Optimierung

Einführung in die Lineare Optimierung Kapitel 2 Einführung in die Lineare Optimierung lineare Modelle der relevanten Umwelt werden wegen ihrer Einfachheit häufig gegenüber nichtlinearen Ansätzen vorgezogen, lineare Optimierungsprobleme können

Mehr

Daniel Borchmann. Sommerakademie Görlitz September 2007

Daniel Borchmann. Sommerakademie Görlitz September 2007 Einführung in Semidenite Programmierung Daniel Borchmann Sommerakademie Görlitz 2007 12. September 2007 1 Einleitung Lineare Optimierung Semidenite Optimierung 2 MAX-CUT MAX-BISECTION MAX-2SAT Einleitung

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2014/15 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Grundlegende 2 Grundlegende 3 Aussagenlogik 4 Lineare Algebra

Mehr

BERGISCHE UNIVERSITÄT WUPPERTAL FB B: SCHUMPETER SCHOOL OF BUSINESS AND ECONOMICS

BERGISCHE UNIVERSITÄT WUPPERTAL FB B: SCHUMPETER SCHOOL OF BUSINESS AND ECONOMICS Name: Vorname: Matrikel-Nr.: BERGISCHE UNIVERSITÄT WUPPERTAL FB B: SCHUMPETER SCHOOL OF BUSINESS AND ECONOMICS Prüfungsgebiet: MWiWi 1.6 Logistik- und Informationsmanagement Wirtschaftsinformatik Modul

Mehr

Approximations-Algorithmen

Approximations-Algorithmen Approximations-Algorithmen Institut für Computergraphik und Algorithmen Abteilung für Algorithmen und Datenstrukturen 186.102 Sommersemester 2004, 2h VU Motivation: Bereits viele einfache Optimierungsprobleme

Mehr

(Technisch: Setze alle Skalarprodukte der allgemeinen Lösung mit den Basisvektoren des Kerns gleich Null eindeutige leastsqares Lösung)

(Technisch: Setze alle Skalarprodukte der allgemeinen Lösung mit den Basisvektoren des Kerns gleich Null eindeutige leastsqares Lösung) Lineare Optimierung Unterbestimmte LGS und Optimierung Bei lösbaren unterbestimmten linearen Gleichungssystemen haben wir die Qual der Wahl in Abhängigkeit von den freien Parametern (Anzahl = Anzahl Unbekannte

Mehr

ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2

ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2 ADS: Algorithmen und Datenstrukturen Der Tragödie IV. Theyl Peter F. Stadler & Konstantin Klemm Bioinformatics Group, Dept. of Computer Science & Interdisciplinary Center for Bioinformatics, University

Mehr

Definitionen. b) Was bedeutet V ist die direkte Summe von U und W? V ist direkte Summe aus U und W, falls V = U + W und U W = {0}.

Definitionen. b) Was bedeutet V ist die direkte Summe von U und W? V ist direkte Summe aus U und W, falls V = U + W und U W = {0}. Technische Universität Berlin Wintersemester 7/8 Institut für Mathematik 9. April 8 Prof. Dr. Stefan Felsner Andrea Hoffkamp Lösungsskizzen zur Nachklausur zur Linearen Algebra I Aufgabe ++ Punkte Definieren

Mehr

Rechnerische Komplexität

Rechnerische Komplexität Proseminar Effiziente Algorithmen SS 2002 Rechnerische Komplexität Ulrike Krönert (34180) 0. Inhalt 1. Einführung 2. Algorithmen und Komplexität 2.1. Algorithmen 2.2. Laufzeitabschätzung 2.3. Polynomialzeit

Mehr

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen Kapitel 2 Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen In diesem Abschnitt sollen im wesentlichen Verfahren zur Bestimmung des Minimums von nichtglatten Funktionen in einer Variablen im Detail vorgestellt

Mehr

Übungsklausur. Bitte wählen Sie fünf Aufgaben aus! Aufgabe 1. Übungsklausur zu Mathematik I für BWL und VWL (WS 2008/09) PD Dr.

Übungsklausur. Bitte wählen Sie fünf Aufgaben aus! Aufgabe 1. Übungsklausur zu Mathematik I für BWL und VWL (WS 2008/09) PD Dr. Übungsklausur zu Mathematik I für BWL und VWL (WS 2008/09) PD Dr. Gert Zöller Übungsklausur Hilfsmittel: Taschenrechner, Formblatt mit Formeln. Lösungswege sind stets anzugeben. Die alleinige Angabe eines

Mehr

Dualitätssätze der linearen Optimierung

Dualitätssätze der linearen Optimierung Kapitel 9 Dualitätssätze der linearen Optimierung Sei z = c T x min! Ax = b 9.1 x 0 mit c, x R n, b R m, A R m n ein lineares Programm. Definition 9.1 Duales lineares Programm. Das lineare Programm z =

Mehr

3.2 Lineare Optimierung (Entscheidungen unter Sicherheit)

3.2 Lineare Optimierung (Entscheidungen unter Sicherheit) 3. Lineare Optimierung (Entscheidungen unter Sicherheit) Betrachtet wird hier der Fall Θ = (bzw. die Situation u(a, ϑ) bzw. l(a,ϑ) konstant in ϑ Θ für alle a A). Da hier keine Unsicherheit über die Umweltzustände

Mehr