Die Verbindung von Linearer Programmierung und Graphentheorie

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1 Die Verbindung von Linearer Programmierung und Graphentheorie Definition 5.9. Ein kombinatorisches Optimierungsproblem entspricht einem LP, bei dem statt der Vorzeichenbedingungen x i 0 Bedingungen der Form x i {0, 1} gegeben sind. Beispiel 5.7. [Rucksack-Problem] Gegeben sind n Gegenstände mit Nutzen p i Gewicht w i Zulässiges Gesamtgewicht C Einf ührung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 188

2 Gesucht: Auswahl der Gegenstände, so daß der Nutzen maximiert wird unter Einhaltung des zulässigen Gesamtgewichts. Maximiere unter den Nebenbedingungen F(x) = n p i x i i=1 n w i x i C i=1 x i {0, 1} Die bisher von uns betrachteten Probleme der Graphentheorie sind kombinatorische Optimierungsprobleme: Existenz von Wegen, kürzester Weg, Hamiltonkreis, TSP, Minimalgerüst Einf ührung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 189

3 Beispiel 5.8. Gegeben sei ein gerichteter Graph G = (V, A) mit einer nichtnegativen Kantenbewertung c. Die Ermittlung eines kürzesten Weges zwischen zwei Knoten s und t können wir als kombinatorisches Optimierungsproblem auffassen. Minimiere F(x) = unter den Nebenbedingungen (s,w) A (v,w) A (v,t) A c vw x vw x sw = 1 x vt = 1 Einf ührung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 190

4 x vu (v,u) A (u,w) A x uw = 0 für u V \ {s, t} x vw {0, 1} für (v, w) A Einf ührung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 191

5 LP-Relaxation Wir können versuchen, ein kombinatorisches Optimierungsproblem mit dem Simplex-Algorithmus zu lösen, denn mit 0 x i 1 statt x i {0, 1} erhalten wir wieder ein LP. Man nennt dieses LP die LP-Relaxation des kombinatorischen Optimierungsproblems. Problem: Die Basisvariablen einer optimalen Lösung des relaxierten Problems sind i.d.r. nicht ganzzahlig. Beispiel 5.9. Wir betrachten ein Rucksack-Problem mit Kapazität C = 9 und den folgenden Nutzen- und Gewichtswerten: Einf ührung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 192

6 i p i w i Die LP-Relaxation eines Rucksack-Problems lässt sich leicht mit einem Greedy-Algorithmus lösen, wenn wir die Gegenstände absteigend nach spezifischem Nutzen sortieren, d.h. p 1 w 1 p 2 w 2 p n w n Wir selektieren die Gegenstände in dieser Reihenfolge, bis wir zu einem Gegenstand kommen, der nicht mehr vollständig in den Rucksack passt. Dieser wird anteilig aufgenommen, alle übrigen Gegenstände nicht. Einf ührung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 193

7 Für das Beispiel ergibt sich: x 1 = x 2 = 1 x 3 = C w 1 w 2 w 3 = 2 3 x 4 = = x 7 = 0 Der optimale Zielfunktionswert (Gesamtnutzen) ist = 49 3 Damit ist 16 = 49 eine obere Schranke für eine optimale Lösung 3 des Rucksackproblems. Einf ührung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 194

8 Unimodularität Definition Eine quadratische ganzzahlige Matrix B ist unimodular gdw. wenn für die Determinate dieser Matrix gilt: det B = 1 oder det B = 1 Eine (nicht notwendig quadratische) Matrix A heißt total unimodular gdw. jede quadratische nichtsinguläre Teilmatrix von A unimodular ist, d.h. für jede quadratische Teilmatrix A von A gilt: det A = 1 oder det A = 0 oder det A = 1 Satz 5.4. Ist die Matrix A eines LP total unimodular und ist der Vektor b ganzzahlig, dann sind alle Basislösungen des LP ganzzahlig. Einf ührung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 195

9 Konsequenz: Wenn A total unimodular ist, ist die optimale Lösung der LP- Relaxation auch eine Lösung für das kombinatorische Optimierungsproblem. Bemerkungen: Im nächsten Kapitel werden wir Zuordnungsprobleme kennenlernen, die auf einer wichtigen Graphklasse zu total unimodularen Matrizen A führen. Wir können solche Probleme dann prinzipiell mit linearer Programmierung lösen. Einf ührung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 196

10 Lineare Programming ist eine recht allgemeine Methode. Die Graphentheorie dagegen liefert für eine Vielzahl von Problemen spezielle Algorithmen, die für diese Probleme der linearen Optimierung überlegen sind. Daher ist es für die Modellierung wichtig, daß Sie in der Lage sind, eine graphentheoretische Struktur im Modell zu entdecken und nach Möglichkeit auch auszunutzen. Für harte kombinatorische Optimierungsprobleme liefert die Lineare Optimierung Verfahren zur Berechung von guten unteren bzw. oberen Schranken. In Verbindung mit anderen algorithmischen Techniken ist es so gelungen, in den letzten Jahren die Grenzen für eine optimale Lösbarkeit deutlich zu verschieben. Beispiel TSP: 1977: 120, 2004: Einf ührung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 197

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