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1 Information Systems Engineering Seminar Algorithmische Prüfung der Planarität eines Graphen Marcel Stüttgen, FH AACHEN UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES 1

2 Planarität - Definition Ein Graph heißt planar dargestellt, wenn er ohne Kantenkreuzungen in der Ebene dargestellt werden kann. Ein Graph ist planar, wenn er planar dargestellt werden kann. FH AACHEN UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES 2

3 Planaritätstest - zeichnerische Lösung kein guter Ansatz, da nur für kleine Graphen durchführbar (N=100? N=1000? N=10000?,...) - Die Visualisierung eines Graphen im Allgemeinen ist ein nicht-triviales Problem! Die planare Darstellung eines Graphen (falls sie existiert) ist sozusagen ein Spezialfall unter allen anderen möglichen Darstellungen. - Es können mehrere planare Darstellungen eines Graphen existieren. - Algorithmen, die auf einer gegebenen Darstellung eines Graphen aufsetzen (z.b. gut bekannte und schnelle Line- Intersection-Algorithmen), sind daher z.b. keine gute Wahl. FH AACHEN UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES 3

4 Planaritätstest - Bessere Wahl sind Algorithmen, die unabhängig von der Darstellung des Graphen sind. Auswahl existierender Algorithmen: Algorithmus von Demoucron, Malgrange und Pertuiset (194) Algorithmus von Lempel, Even und Cederbaum (197) Algorithmus von Hopcroft und Tarjan (1974) Algorithmus von Shih und Hsu (1999) Algorithmus von Boyer und Myrvold (2004) Algorithmus von Fraysseix, Rosenstiehl und Mendez (200) FH AACHEN UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES 4

5 Planaritätstest - Bessere Wahl sind Algorithmen, die unabhängig von der Darstellung des Graphen sind. Auswahl existierender Algorithmen: Algorithmus von Demoucron, Malgrange und Pertuiset (194) Algorithmus von Lempel, Even und Cederbaum (197) Algorithmus von Hopcroft und Tarjan (1974) Algorithmus von Shih und Hsu (1999) Algorithmus von Boyer und Myrvold (2004) Algorithmus von Fraysseix, Rosenstiehl und Mendez (200) FH AACHEN UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES 5

6 und Pertuiset Eingabe: 2-fach zusammenhängender Graph G Ausgabe: planare Einbettung von G oder nicht planar Idee: Beginne mit einem beliebigen Kreis G' aus G (Ein Kreis ist immer planar). Betrachte nun die dadurch entstehenden sogenannten Fragmente, und versuche G' zu erweitern, indem Teile der Fragmente in Flächen von G' eingebettet werden, so dass G' aber planar bleibt. FH AACHEN UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES

7 und Pertuiset Fragment Für einen gegebenen Subgraphen G' = (V', E') von G definieren wir ein Fragment von G' in Bezug auf G als einen Subgraph S = (Vs, Es) von G, wobei S eine Zusammenhangskomponente von G \ G' mit allen Kanten und Knoten von G zwischen S und G' ist. FH AACHEN UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES 7

8 und Pertuiset Fragment G FH AACHEN UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES 8

9 und Pertuiset Fragment G' FH AACHEN UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES 9

10 und Pertuiset Fragment S1 S G' FH AACHEN UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES 10

11 und Pertuiset Kontaktknoten Den Knoten v eines Fragmentes S nennt man Kontaktknoten, wenn v Vs und v V', er also sowohl zum Fragment S als auch zum Subgraphen G' gehört. FH AACHEN UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES 11

12 und Pertuiset Kontaktknoten S1 S G' FH AACHEN UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES 12

13 und Pertuiset Kontaktknoten S1 S G' FH AACHEN UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES 13

14 und Pertuiset alpha-weg Ein α-weg ist ein Weg innerhalb eines Fragmentes, der zwei Kontaktknoten miteinander verbindet. Diese zwei Kontaktknoten sind Anfang und Ende des Pfades, und gleichzeit auch die einzigen Kontaktknoten entlang dieses Pfades. FH AACHEN UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES 14

15 und Pertuiset alpha-weg S S2 FH AACHEN UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES 15

16 und Pertuiset zulässige Fläche Eine zulässige Fläche eines Fragmentes S ist eine Fläche von G', die alle Kontaktknoten von S enthält. Die Menge aller zulässigen Flächen wird dabei mit F (S) = {u, v, w,...}, u, v, w V notiert, und enthält alle Knoten, die die Fläche einschließen. F (S) = {, u, v, w,...} bezeichnet dabei die äußere Fläche. FH AACHEN UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES 1

17 und Pertuiset zulässige Fläche 9 10 F1 (S1) = {, 1, 2, 3, 4, 5,, 7, 8} F2 (S1) = {1, 2, 3, 4, 5,, 7, 8} S G' FH AACHEN UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES 17

18 und Pertuiset Algorithmus 1. Wähle einen beliebigen Kreis aus G. Dieser Kreis ist ein planarer Graph G', planar eingebettet in die Ebene. 2. Berechne alle Flächen von G'. 3. Berechne die Menge alle Fragmente von G' bezogen auf G. 4. Ist die Menge aller Fragmente leer, so ist G' = G, und G ist planar eingebettet. Ende. 5. Berechne für jedes Fragment die Menge seiner zulässigen Flächen.. Gibt es ein Fragment, für das keine zulässige Fläche existiert kann G nicht planar eingebettet werden. Ende. 7. Gibt es ein Fragment S, für das nur eine einzige zulässige Fläche existiert, gehe zu Wähle ein Fragment S. 9. Wähle einen α-weg aus S und bette ihn in eine zulässige Fläche von S ein. Gehe zu 2. FH AACHEN UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES 18

19 und Pertuiset Beispiel G FH AACHEN UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES 19

20 und Pertuiset Beispiel S1 S G' FH AACHEN UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES 20

21 und Pertuiset Beispiel S1 8 7 G' F1 (S1) = {, 1, 2, 3, 4, 5,, 7, 8} F2 (S1) = {1, 2, 3, 4, 5,, 7, 8} Wähle alpha-weg FH AACHEN UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES 21

22 und Pertuiset Beispiel S1_1 S1_2 8 7 G' F1 (S1_1) = {1, 9, 10, 4, 3, 2} F1 (S1_2) = {1, 9, 10, 4, 3, 2} Wähle S1_1 und alpha-weg 9-2 FH AACHEN UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES 22

23 und Pertuiset Beispiel S1_2 8 7 G' F1 (S1_2) = {2, 9, 10, 4, 3} Wähle S1_2 und alpha-weg 10-3 FH AACHEN UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES 23

24 und Pertuiset Beispiel S2 8 7 G' F1 (S2) = {1, 2, 3, 4, 5,, 7, 8} Wähle alpha-weg FH AACHEN UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES 24

25 und Pertuiset Beispiel S2_ G' F1 (S2_1) = {3, 4, 5,, 11} Wähle alpha-weg 5-11 FH AACHEN UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES 25

26 und Pertuiset Beispiel G' Algorithmus Ende FH AACHEN UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES 2

27 Information Systems Engineering Seminar Vielen Dank für die Aufmerksamkeit! Fragen!? FH AACHEN UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES 27

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