Wir unterscheiden folgende drei Schritte im Design paralleler Algorithmen:

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Wir unterscheiden folgende drei Schritte im Design paralleler Algorithmen:"

Transkript

1 1 Parallele Algorithmen Grundlagen Parallele Algorithmen Grundlagen Wir unterscheiden folgende drei Schritte im Design paralleler Algorithmen: Dekomposition eines Problems in unabhängige Teilaufgaben. Dies identifiziert die maximal mögliche Parallelität. Kontrolle der Granularität um Rechenaufwand und Kommunikation auszubalancieren. Abbilden der Prozesse auf Prozessoren um die logische Kommunikationsstruktur möglichst gut auf die Maschinenstruktur abzustimmen. 1.1 Zerlegung Viele Algorithmen sind an spezielle Datenstrukturen gebunden. Gewisse Operationen müssen für jedes Datenobjekt ausgeführt werden. Beispiel: Matrix-Addition C = A + B oder Triangulation j i a ij t j Matrix Triangulation Datenabhängigkeiten Oft können Operationen nicht für alle Datenobjekte gleichzeitig ausgeführt werden. Beispiel: Gauß-Seidel/SOR-Iteration mit lexikographischer Nummerierung. Berechnungen werden auf einem Gitter durchgeführt, wobei die Berechnung am Punkt (i, j) vom Ergebnis der Punkte (i 1, j) und (i, j 1) abhängt. Gitterpunkt (0, 0) hat keine Abhängigkeiten. Nur Punkte auf der Diagonalen i + j = const können gleichzeitig berechnet werden. Datenabhängigkeiten machen die Datenzerlegung wesentlich komplizierter. 1

2 j i Erhöhen der möglichen Parallelität Manche Algorithmen kann man modifizieren, um eine höhere Datenunabhängigkeit zu erhalten. Durch eine andere Nummerierung der Unbekannten, kann der Parallelisierungsgrad des Gauß-Seidel/SOR Verfahrens erhöht werden: Jeder Punkt im Gebiet bekommt eine Farbe zugeordnet, so dass zwei Nachbarn niemals die gleiche Farbe haben. Für strukturierte Gitter sind zwei Farben ausreichend (red/black). Die Unbekannten einer Farbe werden zuerst nummeriert, dann die der nächsten Farbe... Red-Black-Sortierung Die Gleichungen aller Unbekannten mit gleicher Farbe sind unabhängig von einander. Für strukturierte Gitter, erhalten wir eine Matrix der Form ( ) DR F A = E Obwohl eine solche Matrixumformung keinen Einfluss auf die Konvergenz von Krylov-Raum- Verfahren (z.b. CG oder GMRes) haben, beeinflusst sie die Konvergenzrate von Relaxationsverfahren. D B 2

3 Irreguläre Probleme Bei manchen Problemen kann man die Zerlegung nicht a priori festlegen. Beispiel: Berechnung des Integrals einer Funktion f(x) durch adaptive Quadratur. Die Wahl der Intervalle hängt von der Funktion f ab und ergibt sich erst während der Berechnung durch Auswertung von Fehlerschätzern. f(x) 1.2 Agglomeration Agglomeration und Granularität 3

4 Die Zerlegung zeigt die maximale Parallelität auf. Meist ist es nicht sinnvoll, diese wirklich zu nutzen ( ein Datenobjekt pro Prozess), da der Kommunikationsaufwand dann zu groß wird. Daher: Man ordnet einem Prozess mehrere Teilaufgaben zu und fasst die Kommunikation für all Teilaufgaben in möglichst wenigen Nachrichten zusammen. Dies nennt man Agglomeration. Die Anzahl der zu sendenden Nachrichten wird reduziert. Als Granularität eines parallelen Algorithmus bezeichnet man das Verhältnis granularity = Agglomeration reduziert die Granularität. number of messages computation time Beispiel: Gitterbasierte Berechnungen Jedem Prozess wird eine Menge von Gitterpunkten zugewiesen. In iterativen Verfahren wird oft der Wert an jedem Knoten, sowie die seiner Nachbarn benötigt. Wenn keine Datenabhängigkeiten (siehe Gauß Seidel) bestehen, können alle Modifikationen gleichzeitig durchgeführt werden. Beispiel 2D Gitter: Ein Prozess mit N Gitterpunkten muss O(N) Operationen durchführen. Mit der der gewählten Partitionierung muss er lediglich 4 N Randwerte kommunizieren. Das Verhältnis von Kommunikations- und Berechnungsaufwand ist daher O(N 1/2 ) und wird beliebig klein für wachsendes N. Dies nennt man Oberfläche-zu-Volumen-Effekt. Process Π 1.3 Abbilden der Prozesse auf Prozessoren Abbilden der Prozesse auf Prozessoren Die Menge Π der Prozesse bildet einen ungerichteten Graph G Π = (Π, K). Zwei Prozesse sind verbundet, wenn sie kommunizieren. Die Menge P der Prozessoren bildet mit dem Kommunikationsnetzwerk (Hypercube, Feld,... ) ebenfalls einen Graph G P = (P, N). Annahme Π = P. 4

5 Welcher Prozess ist von welchem Prozessor auszuführen? Im allgemeinen soll die Abbildung so aussehen, dass die kommunizierende Prozesse auf möglichst (nahe) benachbarte Prozessoren abgebildet werden. Dieses Optimierungsproblem bezeichnet man als Graphabbildungsproblem und ist leider N P vollständig. In cut-through Netzwerken ist die Übertragungszeit fast entfernungsunabhängig, daher ist das Problem der Prozessplatzierung heute weniger relevant. Wenn jedoch viele Prozesse gleichzeitig miteinander kommunizieren (was aber durchaus häufig vorkommt!), ist eine gute Positionierung immernoch wichtig. 1.4 Lastverteilung Lastverteilung: Statische Aufteilung Bin Packing Am Anfang sind alle Prozessoren leer. Knoten werden nacheinander auf den Prozessor gepackt, der am wenigsten Arbeit hat. Funktioniert auch dynamisch, wenn während des Rechenvorganges neue Arbeit entsteht. Recursive Bisection Es wird die zusätzliche Annahme gemacht, daß die Knoten eine Position im Raum besitzen. Der Raum wird jetzt so zerteilt, daß in den Teilen etwa gleich viel Arbeit besteht. Dieses Vorgehen wird dann rekursiv auf die entstandenen Teilräume angewandt. same amount of work 5

Grundlagen paralleler Algorithmen

Grundlagen paralleler Algorithmen Grundlagen paralleler Algorithmen Stefan Lang Interdisziplinäres Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen Universität Heidelberg INF 368, Raum 53 D-6910 Heidelberg phone: 061/54-864 email: Stefan.Lang@iwr.uni-heidelberg.de

Mehr

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen Kapitel 2 Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen In diesem Abschnitt sollen im wesentlichen Verfahren zur Bestimmung des Minimums von nichtglatten Funktionen in einer Variablen im Detail vorgestellt

Mehr

Babeș-Bolyai Universität Cluj Napoca Fakultät für Mathematik und Informatik Grundlagen der Programmierung MLG5005. Paradigmen im Algorithmenentwurf

Babeș-Bolyai Universität Cluj Napoca Fakultät für Mathematik und Informatik Grundlagen der Programmierung MLG5005. Paradigmen im Algorithmenentwurf Babeș-Bolyai Universität Cluj Napoca Fakultät für Mathematik und Informatik Grundlagen der Programmierung MLG5005 Paradigmen im Algorithmenentwurf Problemlösen Problem definieren Algorithmus entwerfen

Mehr

Seminarvortag zum Thema Virtual Private Network Design im Rahmen des Seminars Network Design an der Universität Paderborn

Seminarvortag zum Thema Virtual Private Network Design im Rahmen des Seminars Network Design an der Universität Paderborn Seminarvortag zum Thema Virtual Private Network Design im Rahmen des Seminars Network Design an der Universität Paderborn Ein 5.55-Approximationsalgorithmus für das VPND-Problem Lars Schäfers Inhalt Einführung:

Mehr

2.5. VERBINDUNGSNETZWERKE GESTALTUNGSKRITERIEN DER NETZWERKE TOPOLOGIE ALS GRAPH. Vorlesung 5 TOPOLOGIE: DEFINITIONEN : Sei G = (V, E) ein Graph mit:

2.5. VERBINDUNGSNETZWERKE GESTALTUNGSKRITERIEN DER NETZWERKE TOPOLOGIE ALS GRAPH. Vorlesung 5 TOPOLOGIE: DEFINITIONEN : Sei G = (V, E) ein Graph mit: Vorlesung 5.5. VERBINDUNGSNETZWERKE Kommunikation zwischen den einzelnen Komponenten eines arallelrechners wird i.d.r. über ein Netzwerk organisiert. Dabei unterscheidet man zwei Klassen der Rechner: TOOLOGIE:

Mehr

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt - 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +

Mehr

Kevin Caldwell. 18.April 2012

Kevin Caldwell. 18.April 2012 im Rahmen des Proseminars Numerische Lineare Algebra von Prof.Dr.Sven Beuchler 18.April 2012 Gliederung 1 2 3 Mathematische Beschreibung von naturwissenschaftlich-technischen Problemstellungen führt häufig

Mehr

Vgl. Oestereich Kap 2.7 Seiten 134-147

Vgl. Oestereich Kap 2.7 Seiten 134-147 Vgl. Oestereich Kap 2.7 Seiten 134-147 1 Sequenzdiagramme beschreiben die Kommunikation/Interaktion zwischen den Objekten (bzw. verschiedenen Rollen) eines Szenarios. Es wird beschrieben, welche Objekte

Mehr

Teil II. Nichtlineare Optimierung

Teil II. Nichtlineare Optimierung Teil II Nichtlineare Optimierung 60 Kapitel 1 Einleitung In diesem Abschnitt wird die Optimierung von Funktionen min {f(x)} x Ω betrachtet, wobei Ω R n eine abgeschlossene Menge und f : Ω R eine gegebene

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen 2

Algorithmen und Datenstrukturen 2 Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2007 4. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Traversierung Durchlaufen eines Graphen, bei

Mehr

Lernmaterial für die Fernuni Hagen effizient und prüfungsnah

Lernmaterial für die Fernuni Hagen effizient und prüfungsnah Lernmaterial für die Fernuni Hagen effizient und prüfungsnah www.schema-f-hagen.de Sie erhalten hier einen Einblick in die Dokumente Aufgaben und Lösungen sowie Erläuterungen Beim Kauf erhalten Sie zudem

Mehr

Das Briefträgerproblem

Das Briefträgerproblem Das Briefträgerproblem Paul Tabatabai 30. Dezember 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Problemstellung und Modellierung 2 1.1 Problem................................ 2 1.2 Modellierung.............................

Mehr

Grundlagen der Parallelisierung

Grundlagen der Parallelisierung Grundlagen der Parallelisierung Philipp Kegel, Sergei Gorlatch AG Parallele und Verteilte Systeme Institut für Informatik Westfälische Wilhelms-Universität Münster 3. Juli 2009 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung

Mehr

Data Cube. Aggregation in SQL. Beispiel: Autoverkäufe. On-line Analytical Processing (OLAP) 1. Einführung. 2. Aggregation in SQL, GROUP BY

Data Cube. Aggregation in SQL. Beispiel: Autoverkäufe. On-line Analytical Processing (OLAP) 1. Einführung. 2. Aggregation in SQL, GROUP BY Data Cube On-line Analytical Processing (OLAP). Einführung Ziel: Auffinden interessanter Muster in großen Datenmengen 2. Aggregation in SQL, GROUP BY 3. Probleme mit GROUP BY 4. Der Cube-Operator! Formulierung

Mehr

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 $Id: jordan.tex,v.6 /6/7 8:5:3 hk Exp hk $ 5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform 5.4 Die Jordansche Normalform Wir hatten bereits erwähnt, dass eine n n

Mehr

Kürzeste Wege in Graphen. Maurice Duvigneau Otto-von-Guericke Universität Fakultät für Informatik

Kürzeste Wege in Graphen. Maurice Duvigneau Otto-von-Guericke Universität Fakultät für Informatik Kürzeste Wege in Graphen Maurice Duvigneau Otto-von-Guericke Universität Fakultät für Informatik Gliederung Einleitung Definitionen Algorithmus von Dijkstra Bellmann-Ford Algorithmus Floyd-Warshall Algorithmus

Mehr

Motivation. Motivation

Motivation. Motivation Vorlesung Modellierung nebenläufiger Systeme Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen Was sind nebenläufige Systeme? Ganz allgemein: Systeme, bei denen mehrere Komponenten/Prozesse nebenläufig arbeiten

Mehr

Algorithmische Mathematik

Algorithmische Mathematik Algorithmische Mathematik Wintersemester 2013 Prof. Dr. Marc Alexander Schweitzer und Dr. Einar Smith Patrick Diehl und Daniel Wissel Übungsblatt 6. Abgabe am 02.12.2013. Aufgabe 1. (Netzwerke und Definitionen)

Mehr

Paralleler Programmentwurf nach Foster

Paralleler Programmentwurf nach Foster Paralleler Programmentwurf nach Foster Die PCAM-Methode Partitionierung - ermittle maximale Parallelität Communication - ermittle Datenabhängigkeiten Agglomeration - erhöhe die Granularität der Aufgaben

Mehr

Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen

Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen 186.172 Algorithmen und Datenstrukturen 1 VL 4.0 Übungsblatt 4 für die Übung

Mehr

Lenstras Algorithmus für Faktorisierung

Lenstras Algorithmus für Faktorisierung Lenstras Algorithmus für Faktorisierung Bertil Nestorius 9 März 2010 1 Motivation Die schnelle Faktorisierung von Zahlen ist heutzutage ein sehr wichtigen Thema, zb gibt es in der Kryptographie viele weit

Mehr

Austausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen

Austausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen Austausch- bzw. Übergangsrozesse und Gleichgewichtsverteilungen Wir betrachten ein System mit verschiedenen Zuständen, zwischen denen ein Austausch stattfinden kann. Etwa soziale Schichten in einer Gesellschaft:

Mehr

6 Conways Chequerboard-Armee

6 Conways Chequerboard-Armee 6 Conways Chequerboard-Armee Spiele gehören zu den interessantesten Schöpfungen des menschlichen Geistes und die Analyse ihrer Struktur ist voller Abenteuer und Überraschungen. James R. Newman Es ist sehr

Mehr

Algorithmen & Komplexität

Algorithmen & Komplexität Algorithmen & Komplexität Angelika Steger Institut für Theoretische Informatik steger@inf.ethz.ch Kürzeste Pfade Problem Gegeben Netzwerk: Graph G = (V, E), Gewichtsfunktion w: E N Zwei Knoten: s, t Kantenzug/Weg

Mehr

Komplexitätstheorie Einführung und Überblick (Wiederholung)

Komplexitätstheorie Einführung und Überblick (Wiederholung) Literatur C. Papadimitriou UC Berkeley Zum Komplexitätsbegriff Strukturelle Komplexität Average Case Analyse Effiziente Algorithmen Logische Komplexität Beschreibungssprachen: SQL Kolmogorov Komplexität

Mehr

Modellieren in der Angewandten Geologie II. Sebastian Bauer

Modellieren in der Angewandten Geologie II. Sebastian Bauer Modellieren in der Angewandten Geologie II Geohydromodellierung Institut für Geowissenschaften Christian-Albrechts-Universität zu Kiel CAU 3-1 Die Finite Elemente Method (FEM) ist eine sehr allgemeine

Mehr

1 topologisches Sortieren

1 topologisches Sortieren Wolfgang Hönig / Andreas Ecke WS 09/0 topologisches Sortieren. Überblick. Solange noch Knoten vorhanden: a) Suche Knoten v, zu dem keine Kante führt (Falls nicht vorhanden keine topologische Sortierung

Mehr

Programmiertechnik II

Programmiertechnik II Analyse von Algorithmen Algorithmenentwurf Algorithmen sind oft Teil einer größeren Anwendung operieren auf Daten der Anwendung, sollen aber unabhängig von konkreten Typen sein Darstellung der Algorithmen

Mehr

8.2 Invertierbare Matrizen

8.2 Invertierbare Matrizen 38 8.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen

Mehr

SOA verspielt - rekursive BPEL Prozesse

SOA verspielt - rekursive BPEL Prozesse SOA verspielt - rekursive BPEL Prozesse Guido Neander MT AG Ratingen Schlüsselworte SOA, BPEL, rekursive Programmierung, Development, Deployment Einleitung Bei komplexen Problemstellungen (z. B. Aufgaben

Mehr

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume?

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de WS 2013/14 Isomorphie Zwei Graphen (V 1, E 1 ) und (V

Mehr

Binäre lineare Optimierung mit K*BMDs p.1/42

Binäre lineare Optimierung mit K*BMDs p.1/42 Binäre lineare Optimierung mit K*BMDs Ralf Wimmer wimmer@informatik.uni-freiburg.de Institut für Informatik Albert-Ludwigs-Universität Freiburg Binäre lineare Optimierung mit K*BMDs p.1/42 Grundlagen Binäre

Mehr

Informatik 11 Kapitel 2 - Rekursive Datenstrukturen

Informatik 11 Kapitel 2 - Rekursive Datenstrukturen Fachschaft Informatik Informatik 11 Kapitel 2 - Rekursive Datenstrukturen Michael Steinhuber König-Karlmann-Gymnasium Altötting 15. Januar 2016 Folie 1/77 Inhaltsverzeichnis I 1 Datenstruktur Schlange

Mehr

19 Folgen. Grenzwerte. Stetigkeit

19 Folgen. Grenzwerte. Stetigkeit 19 Folgen. Grenzwerte. Stetigkeit Jörn Loviscach Versionsstand: 27. Dezember 2014, 16:35 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen beim Ansehen der Videos: http://www.j3l7h.de/videos.html

Mehr

4 Affine Koordinatensysteme

4 Affine Koordinatensysteme 4 Affine Koordinatensysteme Sei X φ ein affiner Raum und seien p,, p r X Definition: Nach ( c ist der Durchschnitt aller affinen Unterräume Z X, welche die Menge {p,,p r } umfassen, selbst ein affiner

Mehr

Literatur. Dominating Set (DS) Dominating Sets in Sensornetzen. Problem Minimum Dominating Set (MDS)

Literatur. Dominating Set (DS) Dominating Sets in Sensornetzen. Problem Minimum Dominating Set (MDS) Dominating Set 59 Literatur Dominating Set Grundlagen 60 Dominating Set (DS) M. V. Marathe, H. Breu, H.B. Hunt III, S. S. Ravi, and D. J. Rosenkrantz: Simple Heuristics for Unit Disk Graphs. Networks 25,

Mehr

4 Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen)

4 Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen) Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen) Greedy-Algorithmen werden oft für die exakte oder approximative Lösung von Optimierungsproblemen verwendet. Typischerweise konstruiert ein Greedy-Algorithmus eine

Mehr

16. All Pairs Shortest Path (ASPS)

16. All Pairs Shortest Path (ASPS) . All Pairs Shortest Path (ASPS) All Pairs Shortest Path (APSP): Eingabe: Gewichteter Graph G=(V,E) Ausgabe: Für jedes Paar von Knoten u,v V die Distanz von u nach v sowie einen kürzesten Weg a b c d e

Mehr

Optimieren unter Nebenbedingungen

Optimieren unter Nebenbedingungen Optimieren unter Nebenbedingungen Hier sucht man die lokalen Extrema einer Funktion f(x 1,, x n ) unter der Nebenbedingung dass g(x 1,, x n ) = 0 gilt Die Funktion f heißt Zielfunktion Beispiel: Gesucht

Mehr

Routing Algorithmen. Begriffe, Definitionen

Routing Algorithmen. Begriffe, Definitionen Begriffe, Definitionen Routing (aus der Informatik) Wegewahl oder Verkehrslenkung bezeichnet in der Telekommunikation das Festlegen von Wegen für Nachrichtenströme bei der Nachrichtenübermittlung über

Mehr

Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand Vorlesung für den Bereich Diplom/Master Informatik

Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand Vorlesung für den Bereich Diplom/Master Informatik Vorlesung für den Bereich Diplom/Master Informatik Dozent: Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke PARALLELES RECHNEN INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, FAKULTÄT FÜR INFORMATIK KIT Universität des Landes

Mehr

Parallele und verteilte Programmierung

Parallele und verteilte Programmierung Thomas Rauber Gudula Rünger Parallele und verteilte Programmierung Mit 165 Abbildungen und 17 Tabellen Jp Springer Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung 1 Teil I. Architektur 2. Architektur von Parallelrechnern

Mehr

Seminar Werkzeuggestütze. tze Softwareprüfung. fung. Slicing. Sebastian Meyer

Seminar Werkzeuggestütze. tze Softwareprüfung. fung. Slicing. Sebastian Meyer Seminar Werkzeuggestütze tze Softwareprüfung fung Slicing Sebastian Meyer Überblick Einführung und Begriffe Static Slicing Dynamic Slicing Erweiterte Slicing-Techniken Fazit 2 Was ist Slicing?? (I) Program

Mehr

Graphen: Datenstrukturen und Algorithmen

Graphen: Datenstrukturen und Algorithmen Graphen: Datenstrukturen und Algorithmen Ein Graph G = (V, E) wird durch die Knotenmenge V und die Kantenmenge E repräsentiert. G ist ungerichtet, wenn wir keinen Start- und Zielpunkt der Kanten auszeichnen.

Mehr

15. Elementare Graphalgorithmen

15. Elementare Graphalgorithmen Graphen sind eine der wichtigste Modellierungskonzepte der Informatik Graphalgorithmen bilden die Grundlage vieler Algorithmen in der Praxis Zunächst kurze Wiederholung von Graphen. Dann Darstellungen

Mehr

Mustererkennung mit Baumautomaten

Mustererkennung mit Baumautomaten Mustererkennung mit Baumautomaten Eine Ausarbeitung von Gisse Alvarado für das Seminar Mustererkennung mit syntaktischen und graphbasierten Methoden bei Prof. Dr. W. Kurth/ Th. Mangoldt Cottbus 2006 Inhalt

Mehr

Ohne Mathematik undenkbar!

Ohne Mathematik undenkbar! Die tägliche - Suche: Ohne Mathematik undenkbar! Dipl.-Wirt.Math. Jan Maruhn FB IV - Mathematik Universität Trier 29. März 2006 29. März 2006 Seite 1 Gliederung Einleitung und Motivation Das Internet als

Mehr

Universität des Saarlandes

Universität des Saarlandes Universität des Saarlandes FR 6.2 Informatik Prof. Dr. Kurt Mehlhorn WiSe 2015/2016 Übungen zu Ideen der Informatik http://www.mpi-inf.mpg.de/departments/algorithms-complexity/teaching/winter15/ideen/

Mehr

5 Interpolation und Approximation

5 Interpolation und Approximation 5 Interpolation und Approximation Problemstellung: Es soll eine Funktion f(x) approximiert werden, von der die Funktionswerte nur an diskreten Stellen bekannt sind. 5. Das Interpolationspolynom y y = P(x)

Mehr

Guten Morgen und Willkommen zur Saalübung!

Guten Morgen und Willkommen zur Saalübung! Guten Morgen und Willkommen zur Saalübung! 1 Wie gewinnt man ein Spiel? Was ist ein Spiel? 2 Verschiedene Spiele Schach, Tic-Tac-Toe, Go Memory Backgammon Poker Nim, Käsekästchen... 3 Einschränkungen Zwei

Mehr

ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2

ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2 ADS: Algorithmen und Datenstrukturen Der Tragödie IV. Theyl Peter F. Stadler & Konstantin Klemm Bioinformatics Group, Dept. of Computer Science & Interdisciplinary Center for Bioinformatics, University

Mehr

Abitur - Grundkurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 2002. Gebiet G1 - Analysis

Abitur - Grundkurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 2002. Gebiet G1 - Analysis Abitur - Grundkurs Mathematik Sachsen-Anhalt Gebiet G - Analsis Aufgabe.. Der Graph einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades mit einer Funktionsgleichung der Form f a b c d a,b,c,d, R schneidet die

Mehr

Clustering (hierarchische Algorithmen)

Clustering (hierarchische Algorithmen) Clustering (hierarchische Algorithmen) Hauptseminar Kommunikation in drahtlosen Sensornetzen WS 2006/07 Benjamin Mies 1 Übersicht Clustering Allgemein Clustering in Sensornetzen Clusterheads Cluster basiertes

Mehr

Traveling Salesman Problem (TSP)

Traveling Salesman Problem (TSP) Traveling Salesman Problem (TSP) Das Traveling Salesman Problem (TSP) ist ein bekanntes Optimierungsproblem. Ein Handlungsreisender soll in einer Rundreise (auch Tour genannt) n vorgegebene Städte besuchen.

Mehr

Optimierung. Optimierung. Vorlesung 2 Optimierung ohne Nebenbedingungen Gradientenverfahren. 2013 Thomas Brox, Fabian Kuhn

Optimierung. Optimierung. Vorlesung 2 Optimierung ohne Nebenbedingungen Gradientenverfahren. 2013 Thomas Brox, Fabian Kuhn Optimierung Vorlesung 2 Optimierung ohne Nebenbedingungen Gradientenverfahren 1 Minimierung ohne Nebenbedingung Ein Optimierungsproblem besteht aus einer zulässigen Menge und einer Zielfunktion Minimum

Mehr

1. Einfach verkettete Liste unsortiert 2. Einfach verkettete Liste sortiert 3. Doppelt verkettete Liste sortiert

1. Einfach verkettete Liste unsortiert 2. Einfach verkettete Liste sortiert 3. Doppelt verkettete Liste sortiert Inhalt Einführung 1. Arrays 1. Array unsortiert 2. Array sortiert 3. Heap 2. Listen 1. Einfach verkettete Liste unsortiert 2. Einfach verkettete Liste sortiert 3. Doppelt verkettete Liste sortiert 3. Bäume

Mehr

Datenstrukturen & Algorithmen

Datenstrukturen & Algorithmen Datenstrukturen & Algorithmen Matthias Zwicker Universität Bern Frühling 2010 Übersicht Binäre Suchbäume Einführung und Begriffe Binäre Suchbäume 2 Binäre Suchbäume Datenstruktur für dynamische Mengen

Mehr

Computer Vision: 3D-Geometrie. D. Schlesinger () Computer Vision: 3D-Geometrie 1 / 17

Computer Vision: 3D-Geometrie. D. Schlesinger () Computer Vision: 3D-Geometrie 1 / 17 Computer Vision: 3D-Geometrie D. Schlesinger () Computer Vision: 3D-Geometrie 1 / 17 Lochkamera Modell C Projektionszentrum, Optische Achse, Bildebene, P Hauptpunkt (optische Achse kreuzt die Bildebene),

Mehr

Binäre Bäume Darstellung und Traversierung

Binäre Bäume Darstellung und Traversierung Binäre Bäume Darstellung und Traversierung Name Frank Bollwig Matrikel-Nr. 2770085 E-Mail fb641378@inf.tu-dresden.de Datum 15. November 2001 0. Vorbemerkungen... 3 1. Terminologie binärer Bäume... 4 2.

Mehr

Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie

Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie Der binäre Rang, der symplektische Graph, die Spektralzerlegung und rationale Funktionen Vortrag am 24.01.2012 Heike Farkas 0410052 Inhaltsverzeichnis

Mehr

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte 50. Mathematik-Olympiade. Stufe (Regionalrunde) Klasse 3 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 503 Lösung 0 Punkte Es seien

Mehr

Grundlagen der Programmierung 2. Parallele Verarbeitung

Grundlagen der Programmierung 2. Parallele Verarbeitung Grundlagen der Programmierung 2 Parallele Verarbeitung Prof. Dr. Manfred Schmidt-Schauÿ Künstliche Intelligenz und Softwaretechnologie 27. Mai 2009 Parallele Algorithmen und Ressourcenbedarf Themen: Nebenläufigkeit,

Mehr

Entscheidungsbäume. Definition Entscheidungsbaum. Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen?

Entscheidungsbäume. Definition Entscheidungsbaum. Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen? Entscheidungsbäume Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen? Definition Entscheidungsbaum Sei T ein Binärbaum und A = {a 1,..., a n } eine zu sortierenden Menge. T ist ein Entscheidungsbaum

Mehr

A2.3 Lineare Gleichungssysteme

A2.3 Lineare Gleichungssysteme A2.3 Lineare Gleichungssysteme Schnittpunkte von Graphen Bereits weiter oben wurden die Schnittpunkte von Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen besprochen. Wenn sich zwei Geraden schneiden, dann müssen

Mehr

Programmierung Paralleler Prozesse

Programmierung Paralleler Prozesse Vorlesung Programmierung Paralleler Prozesse Prof. Dr. Klaus Hering Sommersemester 2007 HTWK Leipzig, FB IMN Sortierproblem Gegeben: Menge M mit einer Ordnungsrelation (etwa Menge der reellen Zahlen) Folge

Mehr

Bestimmung einer ersten

Bestimmung einer ersten Kapitel 6 Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung Ein Problem, was man für die Durchführung der Simplexmethode lösen muss, ist die Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung. Wie gut das geht,

Mehr

Grundlagen verteilter Systeme

Grundlagen verteilter Systeme Universität Augsburg Institut für Informatik Prof. Dr. Bernhard Bauer Stephan Roser Viviane Schöbel Wintersemester 07/08 Übungsblatt 5 08.01.08 Grundlagen verteilter Systeme Lösungsvorschlag Aufgabe 1:

Mehr

Programmierung 2. Dynamische Programmierung. Sebastian Hack. Klaas Boesche. Sommersemester 2012. hack@cs.uni-saarland.de. boesche@cs.uni-saarland.

Programmierung 2. Dynamische Programmierung. Sebastian Hack. Klaas Boesche. Sommersemester 2012. hack@cs.uni-saarland.de. boesche@cs.uni-saarland. 1 Programmierung 2 Dynamische Programmierung Sebastian Hack hack@cs.uni-saarland.de Klaas Boesche boesche@cs.uni-saarland.de Sommersemester 2012 2 Übersicht Stammt aus den Zeiten als mit Programmierung

Mehr

3 Quellencodierung. 3.1 Einleitung

3 Quellencodierung. 3.1 Einleitung Source coding is what Alice uses to save money on her telephone bills. It is usually used for data compression, in other words, to make messages shorter. John Gordon 3 Quellencodierung 3. Einleitung Im

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Eines der am häufigsten auftretenden Standardprobleme der angewandten Mathematik ist das Lösen linearer Gleichungssysteme, etwa zur Netzwerkberechnung in der Elektrotechnik oder

Mehr

Forms Composer. Document Producer 1. Document Producer

Forms Composer. Document Producer 1. Document Producer 1 Die Lexmark Version 3.0 kombiniert die E-Formular-Designer- Software mit einer E-Formular-Serveranwendung. Sie können jetzt individuell angepaßte Formulare erstellen und diese mit Skripts kombinieren,

Mehr

Iterative Lösung Linearer Gleichungssysteme

Iterative Lösung Linearer Gleichungssysteme Iterative Lösung Linearer Gleichungssysteme E. Olszewski, H. Röck, M. Watzl 1. Jänner 00 E. Olszewski, H. Röck, M. Watzl: WAP (WS 01/0) 1 Vorwort C.F.Gauß in einem Brief vom 6.1.18 an Gerling:

Mehr

Bericht vom 1. Leipziger Seminar am 25. November 2006

Bericht vom 1. Leipziger Seminar am 25. November 2006 Bericht vom 1. Leipziger Seminar am 25. November 2006 Das Wythoff-Nim-Spiel Wir wollen uns ein Spiel für zwei Personen ansehen, welches sich W.A.Wythoff 1907 ausgedacht hat: Vor den Spielern liegen zwei

Mehr

25.09.2014. Zeit bedeutet eine Abwägung von Skalierbarkeit und Konsistenz

25.09.2014. Zeit bedeutet eine Abwägung von Skalierbarkeit und Konsistenz 1 2 Dies ist ein Vortrag über Zeit in verteilten Anwendungen Wir betrachten die diskrete "Anwendungszeit" in der nebenläufige Aktivitäten auftreten Aktivitäten in einer hochgradig skalierbaren (verteilten)

Mehr

Algorithmen & Datenstrukturen 1. Klausur

Algorithmen & Datenstrukturen 1. Klausur Algorithmen & Datenstrukturen 1. Klausur 7. Juli 2010 Name Matrikelnummer Aufgabe mögliche Punkte erreichte Punkte 1 35 2 30 3 30 4 15 5 40 6 30 Gesamt 180 1 Seite 2 von 14 Aufgabe 1) Programm Analyse

Mehr

Information Systems Engineering Seminar

Information Systems Engineering Seminar Information Systems Engineering Seminar Algorithmische Prüfung der Planarität eines Graphen Marcel Stüttgen, 22.10.2012 FH AACHEN UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES 1 Planarität - Definition Ein Graph heißt

Mehr

Verkürzung von Entwurfszeiten

Verkürzung von Entwurfszeiten Verkürzung von Entwurfszeiten durch Matlab-basiertes HPC R. Fink, S. Pawletta Übersicht aktuelle Situation im ingenieurtechnischen Bereich Multi-SCEs als Konzept zur Verkürzung von Entwurfszeiten Realisierung

Mehr

Objektorientierter Software-Entwurf Grundlagen 1 1. Analyse Design Implementierung. Frühe Phasen durch Informationssystemanalyse abgedeckt

Objektorientierter Software-Entwurf Grundlagen 1 1. Analyse Design Implementierung. Frühe Phasen durch Informationssystemanalyse abgedeckt Objektorientierter Software-Entwurf Grundlagen 1 1 Einordnung der Veranstaltung Analyse Design Implementierung Slide 1 Informationssystemanalyse Objektorientierter Software-Entwurf Frühe Phasen durch Informationssystemanalyse

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Einheit 3: Alphabete (und Relationen, Funktionen, Aussagenlogik) Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Oktober 2008 1/18 Überblick Alphabete ASCII Unicode

Mehr

Alignment-Verfahren zum Vergleich biologischer Sequenzen

Alignment-Verfahren zum Vergleich biologischer Sequenzen zum Vergleich biologischer Sequenzen Hans-Joachim Böckenhauer Dennis Komm Volkshochschule Zürich. April Ein biologisches Problem Fragestellung Finde eine Methode zum Vergleich von DNA-Molekülen oder Proteinen

Mehr

Definition Ein gerichteter Graph G = (V, E) ist ein Graph von geordneten Paaren (u, v) mit u V und v V.

Definition Ein gerichteter Graph G = (V, E) ist ein Graph von geordneten Paaren (u, v) mit u V und v V. Kapitel 4 Graphenalgorithmen 4.1 Definitionen Definition 4.1.1. Der Graph G = (V, E) ist über die beiden Mengen V und E definiert, wobei V die Menge der Knoten und E die Menge der Kanten in dem Graph ist.

Mehr

Untersuchung der Auswahl der Hauptfreiheitsgrade zum Import eines Modells von ANSYS nach SIMPACK

Untersuchung der Auswahl der Hauptfreiheitsgrade zum Import eines Modells von ANSYS nach SIMPACK IMW - Institutsmitteilung Nr. 35 (2010) 103 Untersuchung der Auswahl der Hauptfreiheitsgrade zum Import eines Modells von ANSYS nach SIMPACK M. Leng; Z. Liang Die Auswahl der Hauptfreiheitsgrade spielt

Mehr

Motivation Kenngrößen von Graphen Modelle. Small Worlds. in Vorlesung Semantische Suche in P2P-Netzwerken. Florian Holz

Motivation Kenngrößen von Graphen Modelle. Small Worlds. in Vorlesung Semantische Suche in P2P-Netzwerken. Florian Holz Small Worlds in Vorlesung Florian Holz 14.06.2005 in Vorlesung Small Worlds Florian Holz bekannte Arten der Vernetzung zur Zusammenarbeit (Graphen) regelmäßige, z.b. parallele Hardwarestrukturen vollständige

Mehr

Übersicht. Datenstrukturen und Algorithmen Vorlesung 5: Rekursionsgleichungen (K4) Übersicht. Binäre Suche. Joost-Pieter Katoen. 20.

Übersicht. Datenstrukturen und Algorithmen Vorlesung 5: Rekursionsgleichungen (K4) Übersicht. Binäre Suche. Joost-Pieter Katoen. 20. Übersicht Datenstrukturen und Algorithmen Vorlesung 5: (K4) Joost-Pieter Katoen Lehrstuhl für Informatik 2 Software Modeling and Verification Group http://www-i2.informatik.rwth-aachen.de/i2/dsal12/ 20.

Mehr

ZAHLEN-MAUERN UND -DREIECKE DURCH VERGLEICHEN UND PROBIEREN

ZAHLEN-MAUERN UND -DREIECKE DURCH VERGLEICHEN UND PROBIEREN ZAHLEN-MAUERN UND -DREIECKE DURCH VERGLEICHEN UND PROBIEREN Es geht um Zahlen-Mauern der Höhe 3 mit 3 Einträgen nur in den Ecken und der Spitze und Zahlen-Dreiecke mit 3 Eintägen aussen, innen leer. Die

Mehr

Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse

Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke Institut für Theoretische Informatik 1 KIT Henning Universität desmeyerhenke, Landes Baden-Württemberg Institutund für Theoretische

Mehr

Einführung in die Informatik I

Einführung in die Informatik I Einführung in die Informatik I Algorithmen und deren Programmierung Prof. Dr. Nikolaus Wulff Definition Algorithmus Ein Algorithmus ist eine präzise formulierte Handlungsanweisung zur Lösung einer gleichartigen

Mehr

1 Konzepte der Parallelverarbeitung

1 Konzepte der Parallelverarbeitung Parallelverarbeitung Folie 1-1 1 Konzepte der Parallelverarbeitung Erhöhung der Rechenleistung verbesserte Prozessorarchitekturen mit immer höheren Taktraten Vektorrechner Multiprozessorsysteme (Rechner

Mehr

Definition. Gnutella. Gnutella. Kriterien für P2P-Netzwerke. Gnutella = +

Definition. Gnutella. Gnutella. Kriterien für P2P-Netzwerke. Gnutella = + Definition Gnutella Ein -to--netzwerk ist ein Kommunikationsnetzwerk zwischen Rechnern, in dem jeder Teilnehmer sowohl Client als auch Server- Aufgaben durchführt. Beobachtung: Das Internet ist (eigentlich

Mehr

Kapiteltests zum Leitprogramm Binäre Suchbäume

Kapiteltests zum Leitprogramm Binäre Suchbäume Kapiteltests zum Leitprogramm Binäre Suchbäume Björn Steffen Timur Erdag überarbeitet von Christina Class Binäre Suchbäume Kapiteltests für das ETH-Leitprogramm Adressaten und Institutionen Das Leitprogramm

Mehr

Praktikum Planare Graphen

Praktikum Planare Graphen 1 Praktikum Planare Graphen Michael Baur, Martin Holzer, Steffen Mecke 10. November 2006 Einleitung Gliederung 2 Grundlagenwissen zu planaren Graphen Themenvorstellung Gruppeneinteilung Planare Graphen

Mehr

Matrizenoperationen mit FORTRAN

Matrizenoperationen mit FORTRAN Kapitel 2 Matrizenoperationen mit FORTRAN 21 Grundlagen Bei vielen Anwendungen müssen große zusammenhängende Datenmengen gespeichert und verarbeitet werden Deshalb ist es sinnvoll, diese Daten nicht als

Mehr

9.2 Invertierbare Matrizen

9.2 Invertierbare Matrizen 34 9.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen

Mehr

Mehrdimensionale Numerische Integration mittels hierarchischer Basen

Mehrdimensionale Numerische Integration mittels hierarchischer Basen Mehrdimensionale Numerische Integration mittels hierarchischer Basen JobSis 004 1 October 004 Darko Zikic zikic@cs.tum.edu institut für informatik technische universität münchen WAS? Hierarchische Basen

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der

Mehr

Übersicht. Datenstrukturen und Algorithmen. Übersicht. Divide-and-Conquer. Vorlesung 9: Quicksort (K7)

Übersicht. Datenstrukturen und Algorithmen. Übersicht. Divide-and-Conquer. Vorlesung 9: Quicksort (K7) Datenstrukturen und Algorithmen Vorlesung 9: (K7) Joost-Pieter Katoen Lehrstuhl für Informatik 2 Software Modeling and Verification Group http://www-i2.rwth-aachen.de/i2/dsal0/ Algorithmus 8. Mai 200 Joost-Pieter

Mehr

9.4 Binäre Suchbäume. Xiaoyi Jiang Informatik II Datenstrukturen und Algorithmen

9.4 Binäre Suchbäume. Xiaoyi Jiang Informatik II Datenstrukturen und Algorithmen 9.4 Binäre Suchbäume Erweiterung: Einfügen an der Wurzel Standardimplementierung: Der neue Schlüssel wird am Ende des Suchpfades angefügt (natürlich, weil zuerst festgestellt werden muss, ob der Schlüssel

Mehr

Datenbankmodelle 1. Das Entity-Relationship-Modell. Prof. Dr. Bernhard Schiefer 2-1

Datenbankmodelle 1. Das Entity-Relationship-Modell. Prof. Dr. Bernhard Schiefer 2-1 Datenbankmodelle 1 Das Entity-Relationship-Modell Prof. Dr. Bernhard Schiefer 2-1 Datenbankmodelle ER-Modell hierarchisches Modell Netzwerkmodell relationales Modell objektorientierte Modelle Prof. Dr.

Mehr

Programmieren in C. Rekursive Funktionen. Prof. Dr. Nikolaus Wulff

Programmieren in C. Rekursive Funktionen. Prof. Dr. Nikolaus Wulff Programmieren in C Rekursive Funktionen Prof. Dr. Nikolaus Wulff Rekursive Funktionen Jede C Funktion besitzt ihren eigenen lokalen Satz an Variablen. Dies bietet ganze neue Möglichkeiten Funktionen zu

Mehr

Das Dilemma des Einbrechers Wer die Wahl hat, hat die Qual!

Das Dilemma des Einbrechers Wer die Wahl hat, hat die Qual! Das Dilemma des Einbrechers Wer die Wahl hat, hat die Qual! 0kg 4000 Euro Luster 5,5 kg, 430.- Laptop 2,0 kg, 000.- Schatulle 3,2 kg, 800.- Uhr 3,5 kg, 70.- Schwert,5 kg, 850.- Bild 3,4 kg, 680.- Besteck

Mehr