Linearen Gleichungssysteme Anwendungsaufgaben

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1 Linearen Gleichungssysteme Anwendungsaufgaben Lb S. 166 Nr.9 Im Jugendherbergsverzeichnis ist angegeben, dass in der Jugendherberge in Eulenburg 145 Jugendliche in 35 Zimmern übernachten können. Es gibt nur Dreibett- und Fünfbettzimmer. Wie viele Dreibettzimmer und wie viele Fünfbettzimmer hat diese Jugendherberge? 1. Aufgaben, die mit Gleichungssystemen gelöst werden können erkennt man oft daran, dass mehrere Größen gesucht sind. 2. Lies den Text genau! Welche Größen sind gesucht? Welche Aussagen werden zu diesen Größen gemacht? 3. Lege für die gesuchten Größen Variablen mit sinnvollen Namen fest und notiere Dir ihre Bedeutung. 4. Formuliere die Aussagen mithilfe der Variablen in Form von Gleichungen. 5. Löse das entstandene Gleichungssystem. 6. Führe eine Probe am Text durch und formuliere den Antwortsatz.

2 Linearen Gleichungssysteme Anwendungsaufgaben Lb S. 166 Nr.9 Im Jugendherbergsverzeichnis ist angegeben, dass in der Jugendherberge in Eulenburg 145 Jugendliche in 35 Zimmern übernachten können. Es gibt nur Dreibett- und Fünfbettzimmer. Wie viele Dreibettzimmer und wie viele Fünfbettzimmer hat diese Jugendherberge? Die Anzahlen der Dreibett- und Fünfbettzimmer sind gesucht. Festlegen der Variablen d Anzahl der Dreibettzimmer f Anzahl der Fünfbettzimmer Es gibt 35 Zimmer, wobei nur Drei- und Fünfbettzimmer vorhanden sind. Die Anzahlen dieser Zimmer müssen also zusammen 35 ergeben. 1.Gleichung: d f =35 Es können 145 Jugendliche übernachten. Da die Aufgabe jugendfrei ist und Deutschland nicht unbedingt als Dritte-Welt- Land gilt, liegt wohl jeder Jugendliche in einem eigenen Bett. Insgesamt sind es deshalb wohl 145 Betten. Bettenanzahl der Dreibettzimmer 3 d 2.Gleichung : 3 d 5 f =145 Bettenanzahl der Fünfbettzimmer 5 f

3 d f =35 3d 5f=145 d f =35 3 3d 5f=145 3d 3f= 105 3d 5f= 145 2f= 40 : 2 f = 20 d f =35 d 20=35 20 d=15 Probe am Text: Laut Berechnung gibt es 15 Dreibettzimmer und 20 Fünfbettzimmer. Insgesamt sind das 35 Zimmer. (w.a.) In den Dreibettzimmern befinden sich damit 3*15=30 Betten und in den Fünfbettzimmern 5*20=100 Betten. Insgesamt sind es also =145 Betten für 145 Jugendliche. (w.a.) L= { d=15 ; f =20 } Antwort: Die Jugendherberge Eulenburg hat 15 Dreibettzimmer und 20 Fünfbettzimmer.

4 Eine weitere Möglichkeit die Gleichungen zu finden, ist die Durchführung einer Scheinprobe mit zwei geratenen Werten für dir gesuchten Größen, die danach durch Variablen ersetzt werden. Herr Mönter hat zwei Kredite über eine Gesamtsumme von aufgenommen. Für den einen Kredit muss er 6% Zinsen im Jahr zahlen, für den anderen Kredit beträgt der Zinssatz 10%. Am Ende des ersten Jahres muss er insgesamt 8200 Zinsen zahlen. Wie hoch sind die Kreditsummen der beiden Kredite jeweils? Herr Mönter musste die Gesamtsumme offensichtlich aufteilen, da nicht die gesamte Summe zu den günstigeren Kreditbedingungen mit 6% Zinsen finanziert werden konnte. Bei der Scheinprobe probieren wir nun einfach mit zwei (vermuteten) Ergebnissen aus, ob sie die Bedingungen der Aufgabe erfüllen.

5 Herr Mönter hat zwei Kredite über eine Gesamtsumme von aufgenommen. Für den einen Kredit muss er 6% Zinsen im Jahr zahlen, für den anderen Kredit beträgt der Zinssatz 10%. Am Ende des ersten Jahres muss er insgesamt 8200 Zinsen zahlen. Wie hoch sind die Kreditsummen der beiden Kredite jeweils? Wir nehmen nun einfach folgendes an: 1. Der Kredit zu 6% besitzt eine Höhe von Der Kredit zu 10% besitzt eine Höhe von Wir machen jetzt die Probe am Text. 1. Aussage: Beträgt die Gesamtsumme ? = ? falsche Aussage 2. Aussage: Die Zinsen betragen 8200? 6% von % von = 8200? falsche Aussage! 10 Die beiden Werte und sind offensichtlich falsch, wir ersetzen die beiden Werte jetzt durch die Variablen S (Kreditsumme zu 6%) und Z (Kreditsumme zu 10%).

6 = ? falsche Aussage S Z = = 8200? falsche Aussage! S 1 Z = S 1 S Z= Z=8200 S Kreditsumme in Euro zu 6 Z Kreditsumme in Euro zu 10 ClassPad Main/GS x y= x 1 10 y=8200 x, y x=95000, y=25000

7 Lb S.166 Nr.10 Lb S.166 Nr.11

8 Lb S.166 Nr.10 1.Variablen definieren z Anzahl der 20 Scheine f Anzahl der 50 Scheine 2.Gleichungen formulieren Die Anzahl der 50er ist doppelt sohoch wie die der 20er. f =2 z Die Scheine haben zusammen einen Wert von f 20 z =600 Wert der 50er Wert der 20er 3.Gleichungssystem lösen f =2z 50f 20z=600

9 f =2z 50f 20z= z 20z= z 20z= z=600 :120 z=5 f =2 5=10 f =10 In der Kasse befinden sich fünf 20 -Scheine und zehn 50 -Scheine.

10 Lb S.166 Nr.11 1.Variablen definieren v Alter desvaters jetzt s Alter des Sohnes jetzt 2.Gleichungen formulieren Vater nd Sohn sind jetzt zusammen 70Jahre alt. v s=70 Vor fünf Jahren war der Vater v 5 dreimal so alt wie der Sohn vor fünf Jahren s 5. v 5 = 3 s 5 Alter des Vaters Alter des Shnes 3.Gleichungssystem lösen v s=70 v 5=3 s 5

11 v s=70 v 5=3 s 5 v s=70 s v=70 s 70 s 5=3 s 5 Kl. 70 s 5=3s 15 Zsf 65 s=3s 15 s 65=4s =4s : 4 s=20 v=70 20=50 v=50 Der Vater ist heute 50 und der Sohn 20 Jahre alt.

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