Rente = laufende Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten (periodisch) wiederkehren Rentenperiode = Zeitabstand zwischen zwei Rentenzahlungen

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1 entenrechnung Definition: ente = laufende Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten (periodisch) wiederkehren entenperiode = Zeitabstand zwischen zwei entenzahlungen Finanzmathematisch sind zwei Gesichtspunkte von Interesse: (A) Die entenbeträge werden auf ein Konto mit Zinseszins eingezahlt. (B) Die entenzahlungen erfolgen aus einem Kapital, das auf Zinseszins angelegt ist. Bemerkung zum Vergleich von (A) und (B): echnet man in beiden Fällen (A) und (B) mit dem gleichen Aufzinsfaktor q, und der gleichen ente, so müssen sich zu jedem Zeitpunkt n die Kontostände von (A) und (B) zum Kapital Kq n aufsummieren, wobei K das Anfangskapital in (B) ist. Vereinbarung: Es werden ausschließlich konstante enten und durchgehend zinseszinsliche Verzinsung betrachtet (d.h. wir können annehmen, dass entenperiode = Zinsperiode).

2 2 Konstante nachschüssige enten Der entenbetrag wird am Ende der entenperiode bezahlt. Bezeichnung:... konstanter entenbetrag 0... Barwert der nachschüssigen ente n... Laufzeit der ente (in Jahren) n... nachschüssiger entenendwert, d.h. Wert von n nachschüssigen enteneinzahlungen nach der n-ten entenperiode i... Zinssatz q q = 1 + i K... Kapital, aus dem die entenzahlung erfolgt K n... Kapital, das nach n Jahren noch vorhanden ist Satz: Werden die (jährlich) konstanten entenbeträge nachschüssig auf ein Konto mit (jährlichem) Zinssatz i eingezahlt, so ergibt sich folgender entenendwert nach n entenperioden: n = qn 1 (2.1) Erfolgt die entenzahlung dagegen aus einem Kapital K, so hat das Kapital nach n entenperioden noch einen Wert von Bemerkung: K n = Kq n qn 1 = Kq n n (2.2) Addiert man die Gleichungen (2.1.) und (2.2), so erhält man K n + n = Kq n

3 3 Zum Beweis: (A) 0 1 n 1 2 n 2 3 n 3 entenbeträge n 2 2 n 1 1 n 0 Zinstermine Laufzeit in Zinsperioden q n 1 q n 2 q n 3 q 2 q Wert der Zahlungen nach n Jahren Folglich gilt für den nachschüssigen entenendwert: n = q n 1 + q n 2 + q n q 2 + q + = n 1 k=0 q k = qn 1

4 4 Im Fall (B) ergibt sich die Fragestellung: Wird das Kapital verbraucht? Wenn ja, wann? 1. Fall: Das Kapital wird nicht verbraucht = ewige ente (Bezeichnung: e ) Das ist der Fall für Ki, d.h. ausgezahlte ente Zinsen für das (Anfangs-)Kapital = K K 1 K 2 K 3 Eine maximale ewige ente emax erhält man für: K n = K für alle n N. = Es werden gerade nur die Zinsen ausgezahlt. 2. Fall: emax = Ki (2.3) Das Kapital wird im Laufe der Zeit verbraucht, d.h. der entenbetrag muss über dem Zinsertrag liegen. = > Ki ( K(1 + i)) Frage: Wann ist das Kapital verbraucht? = Gesucht n so, dass K n = 0 0 = Kq n qn 1 = Kqn n Kq n = qn 1 = n (2.4) umstellen der Gleichung nach n (später)

5 5 Zur Barwertberechnung im Falle (A): Aus der Definition des Barwertes folgt: 0 q n = n (2.5) Daraus ergibt sich mit Gleichung (2.1) der Barwert in Abhängigkeit vom entenbetrag, n und q: 0 = q n 1 q n () Gleichung (2.6) entspricht der Gleichung (2.4). (2.6) Es gilt also: K n = K q n qn 1 Kapital aufgebraucht: K n = 0, dann gilt: K q n = qn 1, und K = qn 1 q n () Endwert der ente, vgl. (2.1) Barwert der ente, vgl. (2.6) Folgerung: Der Wert einer Zusage, über n Jahre die ente zu zahlen, ist gleichwertig zur sofortigen Zahlung des Betrages K (= 0 ). Legt man diesen Betrag K zum Zinssatz i auf einem Konto an, so kann man von diesem Konto exakt die n enten der Höhe abheben. Danach ist das Konto leer. Wir werden daher nicht mehr zwischen K und 0 unterscheiden.

6 6 Beispiel: Wieviel muss man 30 Jahre lang jährlich nachschüssig einzahlen, damit man anschließend 20 Jahre lang eine jährlich nachschüssige ente in Höhe von e erhält? (Sowohl in der Ansparphase als auch in der Auszahlphase sei i = 6%.) Lösung: gegeben: n 1 = 30, n 2 = 20, A = , i = 6% gesucht: A A A A Den Kapitalwert bestimmen, aus dem die entenzahlungen über die 20 Jahre bezahlt werden können. Abzinsung mittels Formel (2.6): K 0... Kapital, das zu Beginn der 20 Auszahljahre vorliegen muss: K 0 = A q 20 1 q 20 () = , , , 06 = , Dieser Wert K 0 muss Endwert der Einzahlungen sein. (2.1): = K 0 q 30 1 = K 0 0, 06 1, = 3.481, 97.

7 7 Die Auflösung nach n (A) Frage: Wie lange muss man jährlich nachschüssig einen Betrag einzahlen, um nach n Jahren über einen vorgegebenen Kapitalwert n verfügen zu können ( i sei bekannt)? (B) Frage: Wann erfolgt die letzte nachschüssige entenzahlung der Höhe aus einem Kapital 0, das mit dem Zinssatz i verzinst wird? Prüfen, ob > 0 i! (sonst Aufgabe sinnlos)

8 8 Die Auflösung nach q Die Frage nach dem in der entenformel verwendeten Zinssatz ist die Frage nach dem internen Zinssatz des entenstromes. (A) n (2.1) = qn 1 = n () = (q n 1) = q n n q + n = 0 (B) 0 (2.6) = qn 1 q n () = 0 q n () = q n = 0 q n+1 ( 0 + )q n + = 0 i.a. nicht nach q auflösbar, Berechnung iterativ Newton Verfahren

9 9 Bei m unterjährlichen Zahlungen: konformer Zinssatz: q m = m q, q m m = q i m = m entenendwert nach n Jahren: n = q m n m 1 q m 1 = qn 1 i m (2.7) entenendwert nach einem Jahr: 1 = qm m 1 q m 1 = q m 1 = i i m (2.8) = jährlich nachschüssige Ersatzrente

10 10 Konstante vorschüssige enten entenbetrag wird am Anfang der entenperiode gezahlt Bemerkung: n... vorschüssiger entenendwert Vergleich von nachschüssigen und vorschüssigen enten: (A) n 1 n 0 nachschüssig Zinstermine vorschüssig Daraus erkennt man, dass die Anzahl der entenzahlungen in beiden Modellen gleich groß ist. Bei der vorschüssigen enteneinzahlung erfolgen die enteneinzahlungen nur genau eine Zinsperiode früher, das heißt: jede Einzahlung wird genau eine Periode länger verzinst als bei der nachschüssigen enteneinzahlung. Also gilt folgender Satz: Für den vorschüssigen entenendwert n nach n Jahren einer jährlich vorschüssigen konstanten ente, die auf ein Konto mit Zinssatz i eingezahlt wird, gilt: n = q n = q qn 1 Für den Barwert dieser ente 0 erhalten wir (mit 0q n = n) 0 = n q n = qn 1 q n 1 () (2.9) (2.10)

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