Numerische Mathematik I 4. Nichtlineare Gleichungen und Gleichungssysteme 4.1 Wo treten nichtlineare Gleichungen auf?

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1 Numerische Mathematik I 4. Nichtlineare Gleichungen und Gleichungssysteme 4.1 Wo treten nichtlineare Gleichungen auf? Andreas Rieder UNIVERSITÄT KARLSRUHE (TH) Institut für Wissenschaftliches Rechnen und Mathematische Modellbildung und Institut für Angewandte und Numerische Mathematik c Andreas Rieder, Numerische Mathematik I, Sommersemester 07 p.1/10

2 4.1.1 Rendite einer Anleihe Wenn Staaten oder private Unternehmen einen größeren Geldbetrag für Investitionen benötigen, können sie eine Anleihe (engl. Bond) am Finanzmarkt plazieren. Damit nimmt der Schuldner (Herausgeber) einen Kredit bei mehreren Tausend Anlegern auf, indem der Kreditbetrag in kleine Anteile gestückelt wird. Der Schuldner verpflichtet sich, den Nennbetrag des Anteils nach der vereinbarten Laufzeit zu tilgen. Darüber hinaus zahlt der Schuldner dem Gläubiger (Käufer der Anleihe) in regelmäßigen Abständen, dem Zinstermin, einen Zins (Entgelt) für das zur Verfügung gestellte Geld. Die Höhe des Zinses wird bei der Emmission vereinbart und bezieht sich auf den Nennbetrag des Anteils. Folgende Rechte sind in einer Anleihe verbrieft: Recht auf Verzinsung in Höhe des Kupons (Zins), Recht auf Rückzahlung des Nennwerts zum Fälligkeitstermin, Vorrangige Rückzahlung gegenüber Aktionären im Konkursfall. Anleihen werden auch als Renten, Obligationen oder Inhaberschuldverschreibungen bezeichnet. Anleihen werden wie andere Wertpapiere an der Börse (Rentenmarkt) gehandelt und unterliegen daher Kursschwankungen. c Andreas Rieder, Numerische Mathematik I, Sommersemester 07 p.2/10

3 Kurse einiger Rentenpapiere vom 25. April 2005 Quelle: c Andreas Rieder, Numerische Mathematik I, Sommersemester 07 p.3/10

4 Beispiel Wir betrachten folgendes Szenario: Ein fiktives Unternehmen gibt eine Anleihe von 300 Mill.Euro aus. Die Laufzeit der Anleihe beträgt 10 Jahre zum Zinssatz von 9.25% p.a. Die Ausgabe der Anteile in Höhe von 1000 erfolgt zum Kurs von 99%, d.h. ein Anteil kostet 990. Der Käufer eines Anteils erhält während der Laufzeit 10 Zinszahlungen (Kuponzahlungen) à sowie 1000 Tilgung nach Verfall der Anleihe. Insgesamt erhält ein Käufer also 1925 /Anteil. Die Bank, über die wir Anteile der Anleihen erwerben wollen, macht uns ein anderes Angebot. Sie bietet an, unser Kapital 10 Jahre lang anzulegen mit einem Zinssatz von 9.35% p.a. Dieser nominale Zinssatz ist höher als der Nominalzins der Anleihe, ist das Bankangebot daher das bessere? Zur Beantwortung dieser Frage müssen wir ausrechnen, welchen Betrag wir nach 10 Jahren in unserem Depot vorfinden (ohne Depotgebühren). Das Endkapital beim Angebot der Bank beläuft sich auf 990 ( ) 10 = Damit scheint das Bankangebot das deutlich bessere zu sein. c Andreas Rieder, Numerische Mathematik I, Sommersemester 07 p.4/10

5 Beispiel (fortgesetzt) Ganz so einfach liegt der Fall nun doch nicht; denn die Geldbeträge fließen uns zu unterschiedlichen Zeiten zu. Zahlungen können nur verglichen werden, wenn sie sich auf denselben Zeitpunkt beziehen. Wählen wir nämlich die Anleihe, so erhalten wir bereits nach einem Jahr eine Kuponzahlung in Höhe von Diese Kuponzahlung können wir nun für 9 Jahre anlegen. Für die Kuponzahlung nach zwei Jahren steht uns eine Anlagezeitraum von 8 Jahren zur Verfügung usw. Nehmen wir an, wir können alle Kuponzahlungen im verbleibenden Anlagezeitraum mit dem Zinssatz 9.35% p.a. der Bank anlegen, dann haben wir ein Endkapital in Höhe von i=0 ( ) i = = Damit erhalten wir ein um 9 höheres Endkapital, wenn wir die Anleihe kaufen und die Kuponzahlungen immer wieder anlegen. c Andreas Rieder, Numerische Mathematik I, Sommersemester 07 p.5/10

6 Rendite und Renditegleichung I Erhöhen wir den Bankzinssatz weiter, dann erhalten wir einen Zinssatz, bei dem beide Anlageformen dasselbe Endkapital nach 10 Jahren erwirtschaften. Dieser Grenzzinssatz heißt die Rendite oder der Effektivzins der Anleihe. Für unser Beispiel ist die Rendite 9.41%. Verschiedene Geldanlagen lassen sich nur über die Rendite und nicht über den Nominalzins vergleichen. Wir halten fest: Die Rendite einer Anleihe ist der jährliche Zinssatz r, bei dem der Kauf der Anleihe mit Verzinsung der Kuponzahlungen zum Zinssatz r über die Restlaufzeit denselben Ertrag erzielt wie die Verzinsung des Kaufpreises der Anleihe zum Zinssatz r über die Gesamtlaufzeit. Wir haben folgende Gleichung für die Rendite r in % (1 + r) Laufzeit Kurswert = Zinszahlung (1 + r)laufzeit 1 r + Rückzahlung. c Andreas Rieder, Numerische Mathematik I, Sommersemester 07 p.6/10

7 Rendite und Renditegleichung II Die Renditegleichung kann im allg. nicht explizit nach r aufgelöst werden. Wir müssen also numerisch eine Nullstelle des Polynoms P(x) = (1+x) Laufzeit Kurswert Zinszahlung (1 + x)laufzeit 1 x Rückzahlung finden. c Andreas Rieder, Numerische Mathematik I, Sommersemester 07 p.7/10

8 Bemerkungen zur Rendite Unsere Definition der Rendite geht davon aus, daß die Anleihe genau zum Zinstermin gekauft wird. Ist dies nicht der Fall, was die Regel sein wird, dann kommen zum Kurswert noch die Stückzinsen hinzu, die der Käufer zu zahlen hat. Die Stückzinsen sind ein Anteil der nächsten Zinszahlung, der proportional ist zur Zeit zwischen Kauftermin und letztem Zinstermin. In der Renditegleichung muß nun anstelle des Kurswertes die Summe von Kurswert und Stückzinsen stehen. Außerdem ist die Laufzeit dann eine rationale Zahl, womit P auch kein Polynom mehr ist. Diese Präzisierungen änderen jedoch nichts am Charakter der Renditegleichung. Weitergehende Informationen finden Sie in M. Adelmeyer, E. Warmuth: Finanzmathematik für Einsteiger, Vieweg, c Andreas Rieder, Numerische Mathematik I, Sommersemester 07 p.8/10

9 4.1.2 Impedanztomographie Strom I i Spannung U k σ(x) D Elektroden E j, j = 1,...,p div(σ u) = 0 in D, u + z j σ n u = U j auf E j σ n u = 0 auf D \ j E j. σ n u ds = I j E j F : σ U = (U 1,...,U p ) R p für ein festes Strommuster I R p Modifikation: l verschiedene Strommuster werden angelegt, d.h. F : σ U R p l für I R p l Finde zu gemessenem Ũ ein σ = σ(x) mit F(σ) = Ũ. c Andreas Rieder, Numerische Mathematik I, Sommersemester 07 p.9/10

10 Numerisches Beispiel 64 Elektroden und 64 Strommuster, 1% Rauschen c Andreas Rieder, Numerische Mathematik I, Sommersemester 07 p.10/10