SS 2014 Torsten Schreiber

Transkript

1 SS 2014 Torsten Schreiber 239

2 Diese Lücken sollten nicht auch bei Ihnen vorhanden sein: Durch die wird ein Zahlungsstrom beschrieben, der zur Rückführung eines geliehenen Geldbetrags dient. Der zu zahlende Betrag ist die, die zum einen aus den zu zahlenden und der zugehörigen besteht. Die Zahlungen können innerhalb einer definierten Zeitperiode - oder auch geleistet werden Die Tilgungsrate kann auf drei Arten erfolgen:, unregelmäßig oder. Innerhalb der jährlichen bleibt die Tilgungsrate konstant, d.h. sie wird aufgrund der und der Laufzeit mittels festgelegt. Der zu zahlende Betrag ergibt sich demzufolge durch der auf die Dauer der Rückzahlung anfallenden und der Tilgungsrate. Handelt es sich um eine exakte ( ) Annuitätentilgung, so kann der zu zahlende Betrag durch die bestimmt werden. Dabei entspricht die Rentenrate der und die dem Rentenbarwert entspricht. Die jährlichen Tilgungen ergeben sich aufgrund der in Abhängigkeit von der Tilgungsrate, wobei diese mittels der umgestellten berechnet werden kann. Die entspricht in diesem Fall dem Rentenendwert. SS 2014 Torsten Schreiber 240

3 Themen, die Sie nach dieser Veranstaltung kennen sollten: Aufgaben zu den behandelten Themen vom ? Worin liegt der Nachteil bei der exakten Annuitätentilgung? Was bedeutet die prozentuale Annuitätentilgung? Was ändert sich bei den bisherigen Formeln? Wie funktioniert eine unterjährige Annuitätentilgung? Welche Arten gibt es zur Anrechnung der Tilgungen? Wie erstellt man den Tilgungsplan? Aufgaben und Übungen zu den benannten Themen. SS 2014 Torsten Schreiber 241

4 AUFGABEN TILGUNGSRECHNUNG: 1) Eine Summe von Euro wird zu Jahresbeginn zu 8% ausgeliehen. Sie soll in 20 Jahren durch nachschüssige Ratentilgung zurückbezahlt werden? a) Erstellen Sie den Tilgungsplan für die ersten 5 Jahre. b) Wie groß ist die Annuität im 10. und 15. Jahr? 2) Ein Darlehen von Euro soll innerhalb von 15 Jahren mit einem Prozentsatz von 6% getilgt werden. a) Bestimmen Sie die jährlichen Annuitäten b) Berechnen Sie die Tilgungsraten im 8. und 12. Jahr. c) Wie groß ist die Restschuld im 10. Jahr? d) Erstellen Sie einen Tilgungsplan für die ersten 5 Jahre? SS 2014 Torsten Schreiber 242

5 PROZENTANNUITÄTEN: Im Fall der exakten Annuitäten kommt es für gewöhnlich zu sehr krummen Beträgen und dadurch bedingt zu einer Restschuld am Ende der Laufzeit. Mittels der Prozentannuitäten können die krummen Beträge durch einen festen Prozentwert des Schuldbetrages vermieden werden. Den Rest der im letzten Jahr noch vorhanden ist, wird mittels der Schlusszahlung getilgt. Statt der Laufzeit nwird dann die Annuität Ain der Form angegeben, wobei den Nominalzinssatz des Kredits und den Tilgungssatz beschreibt. Die Tilgung beträgt p% zuzüglich ersparter Zinsen. SS 2014 Torsten Schreiber 243

6 Es gelten folgende Zusammenhänge: Schuldenstand: S k = RS k q Tilgung: Zinsen: SS 2014 Torsten Schreiber 244

7 AUFGABEN PROZENTUALE ANNUITÄTENTILGUNG(GANZJÄHRIG): Ein Kredit von Euro soll bei 8% Zins p.a. durch gleiche jährlich nachschüssige Annuitäten zu 7% getilgt werden. (zzgl. einer Abschlusszahlung im letzten Jahr) a) Wie hoch sind die zu zahlenden Annuitäten? b) Wie viele Jahre dauert die Tilgung? c) Wie hoch ist die Restschuld zu Beginn des 5. bzw. 7. Jahres? d) Wie hoch ist die Abschlusszahlung, wenn sie ein Jahr nach der letzten vollen Annuität geleistet wird? e) Erstellen Sie den Tilgungsplan für die ersten 3 Jahre. SS 2014 Torsten Schreiber 245

8 Lösungen: SS 2014 Torsten Schreiber 246

9 SS 2014 Torsten Schreiber 247

10 UNTERJÄHRIGE ANNUITÄTENTILGUNG: In der bisherigen Betrachtung wurden, wurden stets Zeiträume betrachtet, in denen die Zahlungen der Tilgung und Zinsen bzw. der Annuitäten zusammen gefallen sind. Unter einer unterjährigen Annuitätentilgung verstehen wir eine ganzjährige Verzinsung mit unterjährigen Tilgungsperioden: halbjährlich: m=2 vierteljährlich: m=4 monatlich: m=12 Demzufolge werden bei der unterjährigen Annuitätentilgung m(konstante) Annuitäten agezahlt, wobei die Zinsbelastung nur am Ende der Zinsperiode erfolgt. Während des Zinszeitraums nimmt also die Restschuld mit jeder Tilgung genau um aab. SS 2014 Torsten Schreiber 248

11 Für die Anrechnung der Tilgungen auf die Restschuld und somit auf die Zinsberechnung gibt es drei Möglichkeiten: a) sofortige Tilgungsverrechnung: Unterjährige Tilgungen werden sofort von der Restschuld abgezogen und die geringere Restschuld wird tag genau (mit einfacher Verzinsung) verzinst. b) Jährliche Tilgungsverrechnung: Unterjährige Tilgungen fließen auf ein unverzinsliches Tilgungskonto und obwohl die Tilgung geleistet wurde, werden die Zinsen weiterhin auf die Restschuld zu Beginn der Zinsperiode berechnet. c) Tilgungsrücklage: Unterjährige Tilgungen fließen auf ein mit dem Zinssatz pverzinsliches Tilgungskonto und zu einem definierten Zeitpunkt wird der angesammelte Betrag dem Kreditkonto gutgeschrieben. SS 2014 Torsten Schreiber 249

12 SOFORTIGE TILGUNGSVERRECHNUNG: Bei der sofortigen Tilgungsverrechnung verringert sich die zu verzinsende Restschuld mit jeder der m-1 Tilgungsleistungen. Für den am Ende der Zinsperiode zu zahlende Betrag sind die Art der Zinsberechnung (Beginn bzw. Anfang) besonders wichtig. Demzufolge ergibt sich als sogenannter konformer Jahreszins: SS 2014 Torsten Schreiber 250

13 Für die am Ende einer Zinsperiode vorhandene Schuld (Restschuld) erhalten wir mittels der konformen Ersatzannuität: Man erkennt, dass sich zuerst die Restschuld zu Beginn eines Jahres mittels Aufzinsungsfaktor qerhöht und anschließend durch die Ersatzannuität, die mittels einfacher Verzinsung der unterjährigen Annuität a berechnet wird, reduziert wird. Die Ersatzannuität berechnet sich dadurch mittels: SS 2014 Torsten Schreiber 251

14 Beispiel: Eine Schuld für einen neuen PKW von Euro soll durch eine halbjährige Annuitätentilgung bei sofortiger Tilgungsverrechnung getilgt werden. (Laufzeit beträgt 3 Jahre, Zinssatz von 10%). SS 2014 Torsten Schreiber 252

15 SS 2014 Torsten Schreiber 253

16 AUFGABEN ANNUITÄTENTILGUNG(UNTERJÄHRIG) I: Ein Bauherr hat eine Hypothek von Euro zu 8% Jahreszins aufgenommen, die 25 Jahre lang monatlich und vorschüssig durch konstante monatliche Annuitäten, die sofort zur Tilgung verwendet werden, zurückgezahlt werden muss. Wie hoch ist seine monatliche Belastung? Wie hoch ist die Restschuld nach 15 Jahren? SS 2014 Torsten Schreiber 254

17 SS 2014 Torsten Schreiber 255

18 AUFGABEN ANNUITÄTENTILGUNG(UNTERJÄHRIG) II: Ein Kredit von Euro soll bei jährlicher Verzinsung von 9% in zwei Jahren vierteljährlich und nachschüssig zu zahlenden konstante Annuitäten zurückgezahlt werden. Bei der Verzinsung sollen die unterjährig gezahlten Beträge berücksichtigt werden. Erstellen Sie den Tilgungsplan. SS 2014 Torsten Schreiber 256

19 SS 2014 Torsten Schreiber 257

20 Mit den folgenden Begriffen sollten Sie nun vertraut sein: sofortige Tilgungsverrechnung Tilgungszinssatz jährliche Tilgungsverrechnung Tilgungsperioden Nominalzins prozentuale Annuitätentilgung Tilgungsrücklagen Ersatzannuität konformer Jahreszins SS 2014 Torsten Schreiber 258

21 The END SS 2014 Torsten Schreiber 259