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2 b) Bestimmen Sie den maximalen Gewinn für den Fall, dass die Produktions- und Absatzmenge von Gut Q doppelt so groß ist wie die Produktions- und Absatzmenge von Gut P. Bearbeiten Sie diese Fragestellung mit der Methode von Lagrange. Lösung zu Aufgabe 2 a) G x (x, y) = 4x + 50 y G y (x, y) = 2y + 15 x G xx (x, y) = 4 G yy (x, y) = 2 G xy (x, y) = 1 Notwendige Bedingung: I 0 = 4x + 50 y II 0 = 2y + 15 x 2 I 0 = 8x y II 0 = 2y + 15 x 2 I II 0 = 7x + 85 x = I 0 = d.h. (12,1; 1,4) ist eine mögliche Extremstelle Hinreichende Bedingung: D(x, y) = ( 4) ( 2) ( 1) 2 = 7 > immer 0 G xx (x, y) = 4 < immer 0 d.h. (12,1; 1,4) globales Maximum G(12,1; 1,4) = 265, ,3 d.h. der maximale Gewinn beträgt 265,3 GE. b) NB: y = 2x 2x y = 0 L(x, y, λ) = 2x 2 y x + 15y xy 50 + λ(2x y) L x (x, y, λ) = 4x + 50 y + 2λ L xx (x, y, λ) = 4 L y (x, y, λ) = 2y + 15 x λ L yy (x, y, λ) = 2 L λ (x, y, λ) = 2x y L xy (x, y, λ) = 1 Notwendige Bedingung: 1. Lösungsweg: I 0 = 4x + 50 y + 2λ II 0 = 2y + 15 x λ I + 2 II 0 = 6x 5y + 80 III 0 = 2x y y = 2x 0 = 6x 5 2x + 80 x = 5 y = 10 I 0 = λ λ = Lösungsweg: Gaußalgorithmus 2

3 Zeile x y λ Operation λ = 320 λ = y + 60 = 10 y = x = 50 x = 5 Hinreichende Bedingung: D(x; y; 10) = ( 4) ( 2) ( 1) 2 = 7 > immer 0 L xx (x; y; 10) = 4 < immer 0 d.h. G(x, y) hat in (5;10) ein glob. Max unter Berücksichtigung der Nebenbedingung. G(5; 10) = 150 d.h. der maximale Gewinn beträgt 150 GE. Aufgabe 3 Es soll die innerbetriebliche Leistungsverrechnung mit vier Hilfsbetrieben K 1, K 2, K 3, K 4 betrachtet werden, die ihre Leistungen an den Hauptbetrieb abgeben, sich aber auch wechselseitig mit Leistungen beliefern. Die Leistungsabgaben (in LE) an den Hauptbetrieb sowie die gegenseitigen Leistungsabgaben (in LE) der Hilfsbetriebe sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt: Empfänger Hauptbetrieb Lieferant K 1 K 2 K 3 K 4 K K K K Die Primärkosten (Kosten für Löhne, Material, Energie und Kapital) betragen für K 1 genau 100 GE, für K 2 und K 3 jeweils 600 GE und für K 4 genau 200 GE. a) Stellen Sie das Gleichungssystem zur Berechnung der innerbetrieblichen Verrechnungspreise auf. b) Berechnen Sie die innerbetrieblichen Verrechnungspreise. Lösung zu Aufgabe 3 v 1 = Bewertung in GE für eine in K 1 hergestellte LE 3

4 v 2 = Bewertung in GE für eine in K 2 hergestellte LE v 3 = Bewertung in GE für eine in K 3 hergestellte LE v 4 = Bewertung in GE für eine in K 4 hergestellte LE a) Kostengleichgewicht I ( )v 1 100v 2 200v 3 100v 4 = 100 II ( )v 2 50v 1 200v 3 100v 4 = 600 III ( )v 3 50v 1 100v 2 200v 4 = 600 IV ( )v 4 50v 1 50v 2 100v 3 = 200 b) Gaußalgorithmus Zeile v 1 v 2 v 3 v 4 Primärkosten Operation v 4 = v 4 = v = v 3 = v = v 2 = v = 100 v 1 = 6 Lösungsmenge des Gleichungssystems: IL = { } d.h. die innerbetrieblichen Verrechnungspreise betragen in K 1 genau 6 GE, in K 2 genau 4 GE, in K 3 genau 3 GE und in K 4 genau 1 GE. Aufgabe 4 Auf ein Konto erfolgte am bei 4% Jahreszins eine Einzahlung, so dass in den Jahren 2010 bis 2020 (einschließlich) vierteljährlich vorschüssig Euro 4

5 abgehoben werden können. a) Wie hoch war die Einzahlung am ? b) Unerwartet müssen am von diesem Konto Euro abgehoben werden. Dafür entfallen die vierteljährlichen vorschüssigen Entnahmen im Jahr Wie hoch fallen jetzt die vierteljährlichen vorschüssigen Entnahmen in den Jahren 2016 bis 2020 (einschließlich) aus? Lösung zu Aufgabe 4 a) K 0 = 2000(4 + 2,5 0,04) 1, = ,34 0,04 1,0413 d.h. die Einzahlung betrug ,34 Euro. b) R 0 = ,34 1, (4 + 2,5 0,04) 1, , , , = ,95 1, = ,95 = r J 1, ,04 1 1,04 5 r J = ,95 4, = 5 549, ,402 = r Q (4 + 2,5 0,04) r Q = 5 509,402 = 1 353,513 4,1 d.h. die Entnahmen betragen 1 353,51 Euro. Aufgabe 5 Bei der Produktion seines wichtigsten Gutes geht ein Unternehmen für die Kosten in Abhängigkeit der Produktionsmenge x von folgender Funktion aus: K(x) = 3x 3 30x x ; x [0; 20] a) Bestimmen Sie das Betriebsminimum, d.h. die Produktionsmenge mit den minimalen variablen Stückkosten (minimalen durchschnittlichen variablen Kosten). b) Zeigen Sie, dass die Stückkosten (durchschnittlichen Gesamtkosten) bei einer Produktionsmenge von acht Mengeneinheiten minimal sind; d.h. dass bei einer Produktionsmenge von acht Mengeneinheiten das Betriebsoptimum angenommen wird. Lösung zu Aufgabe 5 a) variable Stückkosten k v (x) = K v(x) = 3x 2 30x x k v(x) = 6x 30 k v(x) = 6 Notwendige Bedingung 0 = 6x 30 x = 5 Hinreichende Bedingung k v(x) = 6 > immer 0 d.h. x = 5 glob. Min. 5

6 d.h. werden von dem Gut fünf ME hergestellt, so sind die variablen Stückkosten minimal. b) Stückkosten k(x) = K(x) x k (x) = 6x x 2 k (x) = x 3 Notwendige Bedingung k (8) = = 0 Hinreichende Bedingung = 3x 2 30x x k (x) = x 3 > immer 0; da x (0; 20] d.h. x = 8 glob Min d.h. werden acht ME hergestellt, so sind die Stückkosten minimal. Aufgabe 6 Ein Schuldner hat bei relativer gemischter Verzinsung mit 6% Jahreszinsen folgende Zahlungsverpflichtungen: ˆ = am ˆ = am ˆ = am Statt diesen Zahlungsverpflichtungen möchte der Schuldner a) seine Schuld mit einer einmaligen Zahlung am zurückzahlen. Wie hoch ist der einmalige Rückzahlungsbetrag? Bewertungsstichtag ist der b) = am zurückzahlen und nach vier Jahren die verbleibende Restschuld. Wie hoch ist der Rückzahlungsbetrag nach vier Jahren? Bewertungsstichtag ist der c) die gesamte Schuld in drei gleich großen Beträgen am , am und am zurückzahlen. Wie hoch werden diese Rückzahlungsbeträge sein? Bewertungsstichtag ist der Lösung zu Aufgabe a) = , , ,87 = ,90 0,06 1,063 1, d.h. die Rückzahlung beträgt ,90 =. b) Schulden = Rückzahlungen ,90 = x x = ,25 1,064 d.h. die Rückzahlung nach vier Jahren beträgt ,25 =. 6

7 c) Schulden = Rückzahlungen x ,90 = 1,06 + x 1,06 2 (1 + 6 x 1,06 12 ( ,06) ,90 = 0,9434x + 0,8641x + 0,8272x ,90 = 2,6347x x = ,05 d.h. die einheitliche Rückzahlung beträgt jeweils ,05 =. Aufgabe 7 Ein Darlehen über = wird von einer Bank zu folgenden Konditionen zur Verfügung gestellt: Auszahlung: 100% Darlehnszins: 9% p.a. Tilgungsart: Prozentannuitätentilgung Erster Tilgungsbetrag: 1% der aufgenommenen Schuld Tilgungsfreie Jahre: das erste Jahr nach Darlehnsaufnahme a) Stellen Sie den Tilgungsplan für die ersten beiden Jahre auf. b) Wie viele Prozent-Annuitäten können in voller Höhe geleistet werden? c) Wie hoch ist die Restzahlung ein Jahr nach Zahlung der letzten vollen Annuität? d) Nach wie vielen Jahren liegt die Restschuld erstmals unter =? Lösung zu Aufgabe 7 A = (0,09 + 0,01) = a) Jahr Zinsen Tilgung Annuität Restschuld b) n = ln [ ,09] = 26,71904 ln 1,09 d.h. es sind 26 volle Prozent-Annuitäten zu leisten. c) K 26 = , , = ,12 0, ,12 1,09 = ,33 Die Restzahlung beträgt ,33. = d) 1.Lösungsweg: 7

8 = ,09 k ,09k 1 0,09 0, = ,09 k ,09 k = ,09 k = ,09 k ( 5 000) 3,7 = 1,09 k k = ln 3,7 ln 1,09 k = 15,18 d.h. nach 16 Tilgungs-Jahren d.h. nach 16+1=17 Jahren 2. Lösungsweg: n = ln [ ,09] = 11,53723 ln 1,09 26, ,53723 = 15,

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