Extrema von Funktionen in zwei Variablen

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1 Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Extrema von Funktionen in zwei Variablen Literatur: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen, Band 1, 17. Auflage, Sankt Gallen, Verlag Wilhelm Surbir Seiten

2 1 Einführung Zwei ökonomomische Prinzipien: 1. Maximiere den Erfolg bei gegebenen Mitteln. Erreiche einen gegebenen Erfolg mit minimalen Mitteln Allgemeines Vorgehen am Beispiel (Eindim.) Ökonomisches Problem: Wieviele Stück eines Gutes soll meine Firma produzieren, um maximalen Profit zu erreichen? Mathematische Modellierung: Kostenfunktion K(x), Erlösfunktion E(x) und Profitfunktion P(x) = E(x) K(x) Lösung des Problems: Maximiere die Funktion P(x) Grundlegende Begriffe Gegeben sei eine Funktion z = f(x, y) in zwei Variablen. Wie auch für Funktionen in einer Variablen ist es oft wichtig, lokale und globale Extremstellen (und auch Sattelpunkte) von f zu finden und deren Typ zu identifizieren. Wir unterscheiden zwei Typen von Extremwertaufgaben: Extremwertprobleme (ohne Nebenbedingungen) und Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen: zusätzlich zur Funktion z = f(x, y) gibt es hier weitere Bedingungen an die Variablen x und y. Diese Bedingungen sollen stets Form einer (oder mehrerer) Gleichung(en) annehmen, also φ(x, y) =. Zunächst wollen wir einige wichtige Begriffe einführen. Ein Punkt (x, y ) heisst dann stationärer Punkt von f, falls dort beide partiellen Ableitungen verschwinden Der Punkt (x, y ) heisst lokales Maximum von f in der Menge S, wenn f(x, y) f(x, y ) für alle Paare (x, y) in S gilt, die hinreichend nahe an an (x, y ) liegen. Der Punkt (x, y ) heisst lokales Minimum von f in der Menge S, wenn f(x, y) f(x, y ) für alle Paare (x, y) in S gilt, die hinreichend nahe an an (x, y ) liegen. Ein stationärer Punkt (x, y ) von f, der weder ein lokales Maximum noch ein lokales Minimum ist, wird als Sattelpunkt bezeichnet.

3 3 Aufgabe 1.1 Wir betrachten die Funktion z = f(x, y) = x 4xy + y auf der Menge S = [ 3, 3] [ 3, 3]. Bestimmen Sie durch Rechnung die stationären Punkte von f in S. Kann man an der Skizze die globalen Extremwerte und Sattelpunkte ablesen? Es gilt f x (, ) = f y (, ) = 4 y 3 1 x 1 3

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5 5 Lokale Extrema und Sattelpunkte auf Mengen ohne Randpunkte Sei f eine Funktion, die auf einer Menge S definiert ist, die keine Randpunkte enthält. Das wichtigste Beispiel ist hier natürlich S = R und wir wollen in diesem Abschnitt voraussetzen, dass die gegebenen Funktionen auf ganz R definiert sind. Die in diesem Abschnitt gemachten Aussagen treffen nur auf innere Punkte (x, y ) des Definitionsbereichs S von f zu. 1. Eine notwendige Bedingung für die Existenz eines lokalen Maximums oder Minimums im Punkt (x, y ) ist eine horizontale Tangentialebene, d.h. in diesem Punkt müssen beide partiellen Ableitungen verschwinden: f x (x, y ) = und f y (x, y ) =. Diese Bedingung ist aber nicht hinreichend! Beispiele: Wir betrachten das Rotationsparaboloid z = f(x, y) = 8 x y. Die Funktion hat im Punkt (, ) ein Maximum und tatsächlich gilt: f x (, ) = x (,) = f y (, ) = y (,) = x 1 y x 1 y 3

6 6 Wir betrachten das hyperbolische Paraboloid z = f(x, y) = y x. Die Funktion hat im Punkt (, ) einen Sattelpunkt, also kein lokales Extrema, und es gilt f x (, ) = x (,) = f y (, ) = y (,) =. y y x x

7 7. Für die Existenz eines lokalen Extremas an der Stelle (x, y ) ist zu fordern, dass die durch die Koordinatenachsen definierten Flächenkurven ind der Nähe des Punktes (x, y ) konkav (bzw. konvex) sind: (x, y ) lokales Maximum: f x (x, y ) =, f y (x, y ) = und f xx (x, y ) <, f yy (x, y ) < (x, y ) lokales Minimum: f x (x, y ) =, f y (x, y ) = und f xx (x, y ) >, f yy (x, y ) > Aber auch diese Bedingung ist nicht hinreichend! Beispiele: Wir betrachten wieder das hyperbolische Paraboloid z = f(x, y) = y x. Es gilt f x (, ) = x (,) = f y (, ) = y (,) = f xx (, ) = < f yy (, ) = > also hat die Funktion im Nullpunkt keine Extremstelle. y y x x

8 8 Wir betrachten die Funktion z = f(x, y) = x 4xy + y. Diese hat im Nullpunkt einen Sattel, aber es gilt f x (, ) = x 4y (,) = f y (, ) = y 4x (,) = f xx (, ) = > f yy (, ) = >. Unsere Kriterien genügen also noch nicht, um zwischen Extrema und Sattelpunkten zu unterscheiden. Insbesondere ist zu erkennen, dass es nicht genügt nur die Flächenkurvenanstiege in x- und y- Richtung zu untersuchen, auch die Zwischenrichtungen spielen eine Rolle. 4 4 y y 3 1 x x 3 4 y x

9 9 Letzendlich kommt man zu folgenden Resultaten: Satz.1 Maximum Minimum Sattelpunkt notwendige Bedingung f x = f y = f x = f y = f x = f y = hinreichende Bedingung f xx <, f yy < f xx >, f yy > f xx f yy f xy > f xx f yy f xy > f xx f yy f xy < Das notwendige Kriterium für das Vorliegen eines lokalen Extremwertes kann direkt auf Funktionen in mehreren Variablen verallgemeinert werden. Satz. Sei f eine Funktion in n reellen Variablen. Dann verschwinden in einem lokalen Extremalpunkt alle n partiellen Ableitungen.

10 Aufgabe.1 Bestimmen Sie die Extrema der Funktion f(x, y) = x + y + xy + x y. 1

11 Hausaufgabe.1 Bestimmen Sie die Extrema der Funktion f(x, y) = sin(x) cos(x) im Bereich x π, y π. 11

12 1 Hausaufgabe. Die Nachfragefunktionen für zwei Güter und die Kostenfunktion seien gegeben durch q 1 = 4 p 1 + p q = 13 + p 1 p C = q 1 + q 1 q + q. Für welche Menge (q 1, q ) erziehlt die Herstellerfirma den grössten Profit?

13 13 Aufgabe. Bestimmen Sie alle lokalen Extrema, deren Typ und alle Sattelpunkte der Funktion f(x, y) = 3x y + 4y 3 3x 1y + 1.

14 14 Aufgabe.3 Bestimmen Sie alle lokalen Extrema, deren Typ und alle Sattelpunkte der Funktion f(x, y) = x 4 + y 4 x y.

15 15 3 Globale Extrema Die Funktion f sei auf der abgeschlossenen und beschränkten Menge S definiert. Eine Menge S R heisst beschränkt, wenn sie ganz in einem Kreis enthalten ist. Aufgabe 3.1 Welche der folgenden Mengen sind beschränkt? 1. R. [, 1] 3. [, 1] (1, ) 4. { (x, y) R x + y 1 } 5. { (x, y) R x 1 }

16 16 Eine Menge S heisst abgeschlossen, wenn sie alle ihre Randpunkte enthält. abgeschlossen nicht abgeschlossen (nicht offen) nicht abgeschlossen (offen) Aufgabe 3. Welche der folgenden Mengen sind abgeschlossen? 1. [, 1). [, 1] (, 1) 3. { (x, y) R x + y 1 } 4. { (x, y) R x + y < 1 }

17 17 Satz 3.1 (Auffinden der (globalen) Extrema) Sei f eine differenzierbare Funktion auf der abgeschlossenen und beschränkten Menge S R. Wir suchen alle (globalen) Extrema von f auf S. Algorithmus: (I) Bestimmen Sie alle stationären Punkte von S im Inneren von S. (II) Bestimmen Sie den grössten und den kleinsten Wert von f auf dem Rand von S und die zugehörigen Punkte. Wenn es angebracht ist, den Rand in mehrere Teilstücke zu zerlegen, so bestimmen Sie den grössten und den kleinsten Wert auf jedem Teilstück. (III) Berechnen Sie die Werte der Funktion in allen Punkten, die Sie in (I) und (II) gefunden haben. Der grösste Funktionswert ist das (globale) Maximum von f auf S. Der kleinste Funktionswert ist das (globale) Minimum von f auf S.

18 Aufgabe 3.3 Bestimmen Sie (globalen) Extrema der Funktion f(x, y) = x + y + y 1 auf der Menge S = { (x, y) R x + y 1 } 18

19 19 4 Der Einhüllendensatz In vielen ökonomischen Problemen fällt auf, dass die zu optimierenden Funktionen nicht nur Variablen haben, über die zu maximieren oder minimieren ist, sondern auch (fest gegebene) Parameter wie z.b. Preise und Löhne. Obwohl diese Parameter meist als fest angenommen werden, kann man sich natürlich fragen, wie die berechneten Maxima bzw. Minima von der Wahl dieser Parameter abhängen. Beispiel: Nehmen wir an, dass eine Firma x Einheiten eines Gutes produziert und verkauft. Der Erlös ist dann eine Funktion des Preises p für eine Einheit des Gutes E(x) = p x und die Kosten seien durch die Kostenfunktion K(x) = x beschrieben. Hier ist p der Parameter. Der Gewinn wird dann durch die Funktion G(x) = G(x, p) = E(x) K(x) = p x x gegeben. Die Gewinnfunktion hat für x = p/ ein Maximum(prüfen Sie das nach!). Genau genommen ist x eine Funktion des Preises p, d.h. wir können x = x (p) = p/ schreiben. Auch der maximale Gewinn G = G (p) ist eine Funktion des Parameters p: G (p) = p x (x ) = p p p 4 = p 4.

20 Allgemein: Die Funktion f hänge von der (einzigen) Variablen x und einem Parameter p ab. Natürlich kann man p selbst als Variable betrachten und deshalb schreiben wir einfach f(x, p). In dieser Schreibweise ist ersichtlich, dass uns für die Untersuchung von f alle Möglichkeiten der Differentialrechnung für Funktionen in zwei Veränderlichen zur Verfügung stehen. Nun soll f bzgl. x maximiert (bzw. minimiert) werden und im Allgemeinen wird der Wert x, der f maximiert von p abhängen. Wir bezeichnen das durch x = x (p). Setzen wir x (p) in f(x, p) ein, so erhalten wir die so gemannte Optimalwertfunktion f (p) = f(x (p), p) Was geschieht mit dieser Funktion, wenn sich der Parameter p ändert? Mit der Kettenregel folgt: d dp f (p) = d dp f(x (p), p) = f 1 (x (p), p) dx (p) dp = f 1 (x (p), p) dx (p) dp + f (x (p), p) dp dp + f (x (p), p) Falls f nun ein (lokales) Extrema in einem inneren Punkt x (p) im Definitionsbereich der Variablen x hat, so gilt sicher f 1 (x (p), p) = und es folgt d dp f (p) = f (x (p), p)

21 1 Aufgabe 4.1 Überprüfen Sie diese Gleichung am vorhergehenden Beispiel. Warum,,Einhüllendensatz,,? Für feste Stückzahlen x betrachten wir die Kurven G = px x in der p-g-ebene y -1 p 1 - y -1 p

22 Diese Regel kann direkt verallgemeinert werden. Satz 4.1 Sei f(x,p) = f(x 1, x,...,x l, p 1, p,...,p m ) eine (stetig differenzierbare) Funktion, die von den Variablen x 1, x,...,x l und von den Parametern p 1, p,...,p m abhängt. Weiterhin seien wieder x (p) die Lösung des Maximierungsproblems f (p) = f(x (p),p) die Optimalwertfunktion. Dann gilt f p i (p) = f p i (x (p),p)

23 3 Aufgabe 4. Wir betrachten die Gewinnfunktion einer Firma G(K, A; p 1, p, p 3 ) = p 1 K 3/4 A 1/4 p K p 3 A wobei K und A Kapital- bzw. Arbeitsinput, p 1 der Stückpreis des produzierten Gutes und p und p 3 die Preise für Kapital und Arbeit sind. Was besagt der Einhüllendensatz, wenn Sie G bezüglich K und A maximieren?

24 4

25 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung Lokale Extrema und Sattelpunkte auf Mengen ohne Randpunkte 5 3 Globale Extrema 15 4 Der Einhüllendensatz 19

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