Wenn der Druck aus der reibungsfreien Außenströmung aufgeprägt wird, dann gilt wegen der Bernoulli-Gleichung

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1 Wenn der Druck aus der reibungsfreien Außenströmung aufgeprägt wird, dann gilt wegen der Bernoulli-Gleichung ρ p ( x) + Uδ ( x) = const Damit kann die Druckänderung in Strömungsrichtung auch durch die Änderung der Strömungsgeschwindigkeit am Grenzschichtrand ausgedrückt werden. 1 dp du = Uδ ρ dx dx Alternativ zu (3.4b) kann man also schreiben: δ (3.5) u v U x y dx y u u duδ u + = δ +ν (3.6) 1

2 Nach dem Aufstellen der Grenzschichtgleichungen geht es nun um das Finden von Lösungen. Der einfachste Fall ist der einer ebenen Platte, die ohne Druckgradient angeströmt wird. U = U = const δ dp dx = 0 1 dp du = Uδ ρ dx dx δ Box 50: GS ZPG Folgende Randbedingungen sind aufzuprägen: ( 0 ) u x,y = U ( ) u x > 0,y = 0 = 0 (3.7a) (3.7b) ( ) v x > 0,y = 0 = 0 ( 0 0) (3.7c) u x =,y > = U (3.7d)

3 Unter diesen Randbedingungen müssen also die Grenzschichtgleichungen mit verschwindendem Druckgradient gelöst werden: u x v + = y 0 (3.7e) u u u u + v = ν x y y (3.7f) Dieses Problem wurde von Blasius (1908) gelöst. Der Lösungsweg folgt einem Ähnlichkeitsansatz. Die Grundidee besteht darin, auszuprobieren, ob man die partielle Differentialgleichung (3.7f) in eine gewöhnliche überführen kann, indem ein Zusammenhang zwischen x und y postuliert wird. 3

4 Wir können die Stromrichtung x und die wandnormale Richtung y durch ihre jeweiligen Längenskalen dimensionslos machen: x = x l Wie wir bereits gesehen haben, muß gelten: δ 1 ν = δ l Re U l l y y = δ D.h. die wandnormale Koordinate läßt sich auch dimensionslos machen durch y = y νl U 4

5 Box 51: GS ZPG 5

6 Als neue unabhängige Koordinate führen wir ein: y η= = x y x U ν (3.8) Findet man eine Lösung als Funktion von η, dann läßt sich die Lösung an einer beliebigen Stelle x wieder als Funktion von y ausdrücken. Die Lösungen sind selbstähnlich, da sie in η aufgetragen alle zusammenfallen. Nun haben wir x und y durch eine Variable ersetzt. Wie kann man u und v durch eine Variable ersetzen? Durch Ansatz der Stromfunktion ψ wird die Kontinuitätsgleichung exakt erfüllt. 6

7 Die Stromfunktion hat die Dimension dimensionslos gemacht werden. Man erhält also die dimensionslose Stromfunktion f ( ) m /s, kann also durch νxu ψ η = (3.9) ν xu Box 5: GS ZPG 7

8 Für die dimensionslose Geschwindigkeit in x Richtung erhält man also: u df = f = (3.10a) d η Für die dimensionslose Geschwindigkeit in x Richtung erhält man also: Box 53: GS ZPG 1 v = ( f η f ) (3.10b) 8

9 Diese Geschwindigkeiten eingesetzt in (3.7f) ergibt nach einigen Umformungen: f 1 + f f = 0 (3.11a) Mit den Randbedingungen ( ) u x > 0,y = 0 = 0 ( ) v x > 0,y = 0 = 0 ( 0 ) u x,y = U ( 0 0) u x =,y > = U f ( η= 0) = 0 f ( η= 0) = 0 f ( η ) = 1 f ( η ) = 1 (3.11b) (3.11c) (3.11d) (3.11e) 9

10 (3.11) ist ein nichtlineares gewöhnliches Randwertproblem und muß numerisch gelöst werden, z.b. mit einem Schießverfahren. In der Literatur kann die Lösung auch tabelliert vorgefunden werden: 10

11 Der Verlauf der Geschwindigkeit in x Richtung für das sogenannte Blasius Grenzschichtprofil zeigt, daß die Außengeschwindigkeit nur asymptotisch erreicht wird. 11

12 Daher wird die Grenzschichtdicke δ nicht durch die exakte Bedingung definiert, sondern durch die sogenannte 99%-Dicke: Diese Definition erleichtert auch die experimentelle Auswertung der Dicke. Wenn nicht anders vermerkt, meint man mit Grenzschichtdicke in der Regel die 99%- Dicke. Für das Blasius Profil läßt sich diese Dicke berechnen durch als: ( ( )) u x,y =δ x = U ( ) δ 99 = y u = 0. 99U (3.1) ( ) η u = 099. U = 49. δ99 ν 49. = 49. = (3.13) x xu Re x 1

13 Der Reibungsbeiwert einer Grenzschicht ist allgemein definiert als C f W = ρ (3.14) U τ unter Verwendung der Wandschubspannung (hier für eine ebene Grenzschicht) u τ W =µ y (3.15) y = 0 Für eine Blasius-Grenzschicht erhält man daher: C f Box 54: GS ZPG = f ( 0) = (3.16) Re Re x x 13

14 Der Widerstandsbeiwert (pro Einheitsbreite) für eine ebene Platte der Länge ist definiert als: l D 1 1 C = = τ dx = C dx ρ ρ W W f U l U l l 0 0 l l (3.17) Für eine ebene Platte mit ausgebildeter laminarer Grenzschicht läßt dieser sich anhand der Blasius Lösung berechnen als: C W = Re l (3.18) 14

15 Die Vertikalgeschwindgkeit in der Blasius Grenzschicht ergibt sich als: 1 ν v = ηf f xu ( ) Diese Geschwindigkeit geht für sehr große Wandabstände Null (was unphysikalisch ist). y (3.19) nicht gegen v Re x (3.0) Im Rahmen der Grenzschichttheorie ist dies aber richtig und resultiert aus dem Verdrängungseffekt der Grenzschicht. 15

16 Das Maß um den ein Körper in einer reibungsfreien Strömung effektiv aufgedickt werden muß, um den Verdrängungseffekt der Grenzschicht zu berücksichtigen, ist die Verdrängungsdicke. Gemäß dieser Skizze ist also der verdrängte (schraffierte) Massenstrom: 0 ρ udy = ρ U dy = ρ U dy + ρu dy δ δ δ 0 δ δ u ρuδδ 1 = ( ρuδ ρu) dy δ 1 = 1 dy U 0 0 δ (3.1) 16

17 Für die Blasius Grenzschicht ist δ 1 = 1. 7 νx U (3.) 17

18 3. Grenzschichtströmungen Was ist die Grundidee des Ähnlichkeitsansatzes? Wie erhält man die Blasius Grenzschichtlösung? Für welche Grenzschichten ist die Blasius Grenzschichtlösung gültig? Wie ist der Reibungsbeiwert definiert? Was für eine Bedeutung hat die Verdrängungsdicke? 18