Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis

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2 Fichte (Längenwachstum in Meter/ Jahr) Freiburger-Verlag.de Seite 2 von 5

3 Tipps Analysis Aufgabe HT 1 a) Zur Berechung des gesuchten Funktionswerts setzen Sie t = 3 in f(t) ein. Beachten Sie bei der Interpretation, dass f(t) die momentane Wachstumsgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt. Erwähnen Sie bei der Beschreibung des Graphen und der Entwicklung der Fichte, in welchen Bereichen f steigt bzw. fällt, in welchen Größenordnungen sich die Funktionswerte bewegen sowie das Verhalten für große t-werte und was dies für die Fichte bedeutet. b) Das gesuchte Alter ist der t-wert des Hochpunkts des Graphen. Berechnen Sie die erste Ableitung von f(t) mit Hilfe der Produkt- und der Kettenregel. Beachten Sie, dass zur Vereinfachung der Ableitung der Exponentialterm ausgeklammert werden kann. Zur Bestimmung des Hochpunkts setzen Sie f (t) = und berechnen daraus die t-werte. Beachten Sie dabei, dass e z gilt (für alle Exponenten z IR). Setzen Sie die errechneten t-werte in f (t) ein, welche in der Aufgabenstellung gegeben ist. Wenn das Ergebnis kleiner als Null ist, liegt bei diesem t-wert ein Hochpunkt vor. Setzen Sie den so berechneten t-wert in f(t) ein, um die größte Wachstumsgeschwindigkeit zu erhalten. Alternativ können Sie den Hochpunkt auch direkt mit dem GTR bestimmen. c) Entnehmen Sie dem Graphen von f das größte Wachstum innerhalb der ersten 1 Jahre und im Zeitraum vom 1. bis zum 2. Jahr. Schätzen Sie mit diesen Werten die maximale Höhe, die nach 2 Jahren erreicht sein könnte, ab. Zeigen Sie, dass F(t) eine Stammfunktion von f(t) ist, indem Sie F(t) ableiten und f(t) erhalten. Die zu erwartende Höhe der Fichte nach 2 Jahren berechnen Sie mit Hilfe des Integrals von f(t) mit den Integrationsgrenzen und 2 unter Berücksichtigung der Anfangshöhe der Fichte. d) Die Bedingungen für eine Wendestelle von F sind: F (t) = und F hat für diesen t-wert einen Vorzeichenwechsel. Verwenden Sie die Beziehung: F (t) = f(t). e) Berechnen Sie die ins Unendliche reichende Fläche zwischen dem Graphen von f und der positiven t-achse mit Hilfe eines Integrals. Benutzen Sie als obere Grenze zunächst eine Variable b und untersuchen Sie, wie sich das berechnete Integral für b + verhält. Berücksichtigen Sie die Anfangshöhe der Fichte. Freiburger-Verlag.de Seite 3 von 5

4 Lösungen Analysis Aufgabe HT 1 a) Der Funktionswert von f an der Stelle t = 3 ist f(3) =,2 3 2 e,1 3,896. Da die Funktion f die (momentane) Wachstumsgeschwindigkeit der Fichte in Abhängigkeit von der Zeit t (gemessen in Jahren) beschreibt, gibt f(3) die Geschwindigkeit des Wachstums der Fichte 3 Jahre nach der Pflanzung an. Sie beträgt zu diesem Zeitpunkt also etwa,9 Meter pro Jahr. Tatsächlich wird sie jedoch im folgenden Jahr nicht so stark wachsen, da die Wachstumsgeschwindigkeit im Intervall [3; 31] abnimmt. Die Funktionswerte des Graphen von f steigen von t = bis t 2 monoton, d.h. die Wachstumsgeschwindigkeit der Fichte nimmt im Laufe der ersten 2 Jahre zu, bis sie ihren größten Wert (ca. 1,1 Meter pro Jahr) erreicht. Für t > 2 werden die Funktionswerte wieder kleiner und gehen schließlich gegen Null, d.h. ab dem 2. Jahr wächst die Fichte wieder langsamer bis sie schließlich kaum noch wächst. b) Das Alter, in dem die Fichte am stärksten wächst, entspricht dem t-wert des Hochpunkts H des Graphen von f. Hierzu bestimmt man die 1. Ableitung von f mit Hilfe der Produktund Kettenregel: f (t) = 2,2t e,1t +,2t 2 e,1t (,1) = (,4t,2t 2 ) e,1t Die notwendige Bedingung für einen Hochpunkt ist f (t) =. Dies führt zu: f (t) = (,4t,2t 2 ) e,1t = bzw.,4t,2t 2 = mit den Lösungen t 1 = und t 2 = 2. Setzt man t 1 = und t 2 = 2 in f (t) ein, so ergibt sich: f () =,2 2 e =,4 > relatives Minimum f (2) =,2 ( ) e,1 2,54 < relatives Maximum. Setzt man t = 2 in f(t) ein, so erhält man: f(2) =,2 2 2 e,1 2 1,83 H(2 1,83) Alternativ kann man den Hochpunkt auch direkt mit dem GTR bestimmen. Somit wächst die Fichte im Alter von 2 Jahren am stärksten, und zwar mit einer momentanen Wachstumsgeschwindigkeit von etwa 1, 8 Metern pro Jahr. c) Dem Graphen von f entnimmt man, dass die Wachstumsgeschwindigkeit in den ersten 1 Jahren unter,8 Metern pro Jahr bleibt und im Zeitraum vom 1. bis zum 2. Jahr nicht über 1,1 Meter pro Jahr steigt. Daraus folgt, dass die Fichte nach 2 Jahren auf keinen Fall um mehr als 1,8+1 1,1 = 19 Meter gewachsen ist. Da sie zu Beginn,2 Meter groß ist, ist sie nach 2 Jahren weniger als 2 Meter hoch. F(t) ist eine Stammfunktion von f(t), wenn gilt: F (t) = f(t). Die 1. Ableitung von F Freiburger-Verlag.de Seite 4 von 5

5 bestimmt man mit Hilfe der Produkt- und Kettenregel: F (t) =,2 ((2t + 2) e,1t +(t 2 + 2t + 2) e,1t (,1) ) =,2 ((2t + 2,1t 2 2t 2) e,1t) =,2 ((,1t 2 ) e,1t) =,2t 2 e,1t = f(t) Wegen F (t) = f(t) ist F eine Stammfunktion von f. Die zu erwartende Höhe der Fichte nach 2 Jahren berechnet man mit Hilfe des Integrals von f(t) über dem Intervall [; 2], unter Berücksichtigung ihrer Anfangshöhe. 2 [ ] 2 f(t)dt = F(t) =,2 ( ) e,1 2 (,2) ( ) e,1 27,67 ( 4) = 12,933 Mit Hilfe des GTR kann man das Integral direkt berechnen. Da die Fichte zu Beginn,2m hoch war, ist zu erwarten, dass sie nach 2 Jahren eine Höhe von etwa 13, 13 m erreicht. d) Damit F an der Stelle t = t W eine Wendestelle hat, muss gelten F (t W ) = und F muss bei t W einen Vorzeichenwechsel haben. Da F (t) = f(t) ist, muss also f (t W ) = sein und f muss bei t W einen Vorzeichenwechsel haben, d.h. der Graph von f muss bei t W einen Extrempunkt haben. Das aber ist ja gerade bei t W = 2 der Fall, wie man in Aufgabe b) berechnet hat. Alternativ kann man dies folgendermaßen begründen: F hat genau dann eine Wendestelle, wenn F = f eine Extremstelle hat, da bei einer Wendestelle die Steigung am extremsten ist. Dies ist bei t W = 2 der Fall, wie man in Aufgabe b) berechnet hat. e) Zur Bestimmung der maximalen Fichtenhöhe berechnet man die Größe der ins Unendliche reichenden Fläche zwischen der positiven t-achse und dem Graphen von f mit Hilfe der Integralrechnung und anschließender Grenzwertbetrachtung. Als obere Integrationsgrenze wählt man zunächst b > : b f(t)dt = [ F(t) ] b =,2 (b 2 +2b+2) e,1 b ( 4) =,2 (b 2 +2b+2) e,1 b +4 Für b + geht (b 2 + 2b+2) + und e,1 b. Da e,1 b schneller gegen Null geht als alle ganzrationalen Terme gegen Unendlich gehen, ( gilt: lim,2 (b 2 + 2b+2) e,1 b) =. b + Also ist lim b + b f(t)dt = 4. Da die Fichte am Anfang schon,2m hoch war, kann sie maximal 4,2m hoch werden; gerundet auf ganze Meter kann die Fichte also etwa 4 m hoch werden. Somit gehört eine Fichte, deren Wachstum durch die Funktion f beschrieben wird, nicht zu den Fichtenarten, die laut Lexikon bis zu 6m hoch werden können. Freiburger-Verlag.de Seite 5 von 5

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