Abitur - Grundkurs Mathematik. Sachsen-Anhalt Gebiet G1 - Analysis

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1 Abitur - Grundkurs Mathematik Sachsen-Anhalt Gebiet G - Analsis Aufgabe.. Der Graph einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades mit einer Funktionsgleichung der Form f a b c d a,b,c,d, R schneidet die -Achse im Punkt Achse im Punkt B. S sowie die -Achse im Punkt S und berührt die - a) Ermitteln Sie die Werte der Parameter a, b, c, d und geben Sie die Gleichung der Funktion f an. Ergebnis zur Kontrolle: f b) Berechnen Sie die Koordinaten der lokalen Etrempunkte des Graphen der Funktion f, ermitteln Sie deren Art und berechnen Sie die Koordinaten des Wendepunktes. Weisen Sie nach, dass der Graph der Funktion f smmetrisch zum Punkt S ist. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f im Intervall,5,5. c) Der Graph der Funktion f und die Koordinatenachsen begrenzen im. Quadranten eine Fläche vollständig. Der Flächeninhalt habe die Maßzahl A. Berechnen Sie diese Maßzahl. Jede Gerade g mit der Gleichung m, m R, m begrenzt mit den Koordinatenachsen eine Fläche vollständig. Der Flächeninhalt habe die Maßzahl A. Ermitteln Sie dese Maßzahl in Abhängigkeit von m. Berechnen Sie eine Wert für m, wenn für das Verhältnis der Maßzahlen A : A 4 : gilt. P u f u, u R, u des Graphen der d) Die Parallele zur -Achse durch den Punkt Funktion f schneidet die -Achse im Punkt Q. Die Punkte O, P, Q sind Eckpunkte eines Dreiecks. Ermitteln Sie eine Gleichung zur Berechnung der Maßzahl des Flächeninhalts diese Dreiecks in Abhängigkeit vom Parameter u. (Anmerkung: Diese Gleichung kann als Gleichung der Zielfunktion zur Ermittlung des maimalen Flächeninhalts des beschriebenen Dreiecks angesehen werden.) Lösung: a) f a b c d a,b,c,d, R. Ableitung: f ' a b c Bedingungen: I : f d II : f 8a 4b c III : f a b c IV : f ' a b c Abi-GK-Ma--Gebiet G.doc /7

2 Lösung des Gleichungssstems: III IV : III ': a b b a II III : II': 6a 6b a b b) II ' in III': b b b in III': a a in IV : c c Funktionsgleichung: f. bis. Ableitung: f f ' f '' f ''' Etrempunkte: f ' E E f '' Ma. f H f '' Min.f T Wendepunkte: f '' W f ''' Wendepunkt f W Smmetrie: Zentralsmmetrie zum Punkt S : Zentralsmmetrie von g zum Punkt S : Aus f f g g g g Zentralsmmetrie von g zum Punkt S Da f() um gegenüber g() in Ordinatenrichtung verschoben ist, ist auch der Punkt der Zentralsmmetrie um in gleicher Richtung verschoben (das Verhalten der Kurve wird durch einen konstanten Summanden nicht verändert, lediglich alle Funktionswerte werden um den Summanden erhöht). Abi-GK-Ma--Gebiet G.doc /7

3 Graph der Funktion: 5 4 f() -,5 - -,5 - -,5,5,5, c) Flächeninhalt A: A d 4 A 8 4 A FE,5,5,5,5 -,5 Flächeninhalt A: A Nullstelle : m m A m m,5,5 =m +,5 f() Wert für m: A 4 6m 4 m A m -,5,5,5 -,5 Abi-GK-Ma--Gebiet G.doc /7

4 d) Gleichung A(u): A u A u u u f u A u u u u,5,5 f() P( u f(u) ) -,5,5,5 -,5 Abi-GK-Ma--Gebiet G.doc 4/7

5 Aufgabe.. Gegeben ist die Funktion f durch f, R,. a) Untersuchen Sie die Funktion f auf Nullstellen, auf Polstellen, auf das Monotonieverhalten und das Verhalten für. Weisen Sie nach, dass der Graph der Funktion f weder lokale Etrempunkte noch Wendepunkte besitzt. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion f bei Annäherung an die Stelle =. Die nebenstehende Zeichnung zeigt im Intervall 6 die Graphen G und G zweier Funktionen, von denen nachfolgende Funktionsgleichungen gegeben sind: 4 4 (I) f (II) f (III) f 4 Ordnen Sie den Graphen diese Funktionsgleichungen zu. b) Berechnen Sie die Maßzahl des Inhaltes der Fläche, den der Graph der Funktion f, die -Achse und die Geraden mit den Gleichungen = 4 und = vollständig begrenzen. Die Graphen G und G und die Geraden mit den Gleichungen = 4 und = a, a R, a > 4, begrenzen eine Fläche vollständig. Zeigen Sie, dass der Inhalt dieser Fläche durch eine lineare Funktion beschrieben werden kann. c) Die Funktion f beschreibt in der Strahlenoptik die Bildweite (in mm) in Abhängigkeit von der Gegenstandsweite (in mm) bei der Abbildung durch eine dünne Konvelinse mit der Brennweite mm. Geben Sie die Gegenstandweite für den Fall an, dass bei der Abbildung kein Bild entsteht und geben Sie die Bildweite für den Fall an, dass der Gegenstand ins Unendliche rückt. Berechnen Sie die Gegenstandsweite für den Fall, dass sie der Bildweite beträgt. 4 Lösung: a) Nullstellen: f L keine Nullstelle Polstellen: f P P L keine Polstelle Monotonie: f 4 4 f ' Da Nennerpolnom stets > und Zählerpolnom stets < f ' f ist streng monoton fallend Grenzwert für : lim lim lim Abi-GK-Ma--Gebiet G.doc 5/7

6 Nachweis weder Etrem- noch Wendepunkte: 4 f ; f ' siehe Monotonie f '' f ' 4 falsche Aussage notwendige Bedingung nicht erfüllt 8 f '' 8 falsche Aussage notwendige Bedingung nicht erfüllt Verhalten der Funktion für : lim Erstzfolge : n n 4 4 n n lim lim n lim n lim 4 n n n n n n n n Zuordnung der Gleichungen: (I) und (II) G 4 (I) f (II) f 4 f 4 4 f (II) G 4 4 lim 4 lim 4 lim b) Flächeninhalt: 4 A d d 4 4 A 4 ln 4 A 4 ln ln A 4 ln 8 ln 8 A 4ln 4ln 4 4 ln 4 754,5 FE Abi-GK-Ma--Gebiet G.doc 6/7

7 Nachweis lineare Funktion: a 4 4 Aa 4 d 4 a a 4 4 A d a 8 a c) Gegenstandsweite: kein Bild: lim lim B B Gegenstandsweite mm Bildweite: für siehe Teilaufgabe a) lim lim lim Bildweite: mm Gegenstandsweite: mit L 4 5 mm Abi-GK-Ma--Gebiet G.doc 7/7

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