Untersuchen Sie die Funktion f auf Monotonie und auf die Existenz von lokalen Extrema.

Transkript

1 Gegeben sind die Funktionen f und g durch y y f() g(), ln, D f R, und! 0. Ihre Graphen werden mit F bzw. G bezeichnet. a) Ermitteln Sie den größtmöglichen Definitionsbereich D f der Funktion f. Untersuchen Sie die Funktion f auf Monotonie und auf die Eistenz von lokalen Etrema. Untersuchen Sie den Graphen F auf Symmetrie zur y-achse und auf Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung. Zeichnen Sie den Graphen F im Intervall 6 d d 6. b) Weisen Sie nach: Die Graphen F und G schneiden einander in genau einem Punkt P. Ermitteln Sie das Gradmaß des Winkels, unter dem die Graphen F und G einander im Punkt P schneiden. Die Tangenten an die Graphen F und G im Punkt P schließen mit der y-achse eine Dreiecksfläche ein. Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts dieser Dreiecksfläche. c) Zeigen Sie, dass die Funktion h mit der Gleichung h() ln eine Stammfunktion der Funktion g ist. Die Graphen F und G und die Gerade mit der Gleichung = begrenzen vollständig eine Fläche. Berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche. - -

2 Gegeben ist die Funktion f durch y = f() = 0 (e e ), R. Der Graph der Funktion f wird mit G bezeichnet. a) Untersuchen Sie die Funktion f auf Nullstellen, Monotonie und ihr Verhalten für o rf. Ermitteln Sie Art und Lage des lokalen Etrempunktes des Graphen G. Der Graph G hat den Wendepunkt W ln. 5 8 Zeichnen Sie den Graphen G im Intervall 5 [ b) Der Graph G, die -Achse und die Gerade mit der Gleichung = 3,5 schließen eine Fläche F vollständig ein. Berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche. c) Die Tangente t an den Graphen G im Koordinatenursprung, die Gerade s durch die Punkte P(í O XQG 4 O VRZLH GLH [-Achse begrenzen eine weitere Fläche F vollständig. Berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche. Berechnen Sie die prozentuale Abweichung des Inhalts der Fläche F vom Inhalt der Fläche F. d) Es eistiert ein Punkt R des Graphen G im Intervall [ GHURP.RRUGLQDWHQXrsprung einen maimalen Abstand hat. Zeigen Sie mithilfe eines Beispiels, dass dieser Punkt R nicht der lokale Etrempunkt des Graphen G ist. ¹ - -

3 Gegeben ist die Funktion f durch y f() 8, R und z 0. Der zugehörige Graph sei mit F bezeichnet. Untersuchen Sie die Funktion f auf Nullstellen, auf Polstellen, auf Monotonie und auf das Verhalten für o rf. Erklären Sie für die Funktion f einen Zusammenhang zwischen dem Monotonieverhalten und der Eistenz lokaler Etrema. Zeichnen Sie den Graphen F im Intervall 8 d d 8. An den Graphen F wird an der positiven Nullstelle der Funktion f die Tangente t gelegt. Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente t sowie eine Gleichung der Tangente t an den Graphen F, die zur Tangente t parallel ist (t W). Berechnen Sie den Abstand der Tangenten t und t. Ein Schornstein soll aus drei gleichen rechteckigen Schächten mit je 8,00 dm Flächeninhalt bestehen. Die Wände, die die Schächte umschließen, sollen jeweils,00 dm stark sein. Die Abbildung zeigt einen Grundriss dieses Schornsteins. dm b dm 8 dm 8 dm 8 dm y dm a dm (Abbildung nicht maßstäblich) Stellen Sie eine Gleichung für den Inhalt der in der Abbildung grau unterlegten Grundrissfläche des Schornsteins in Abhängigkeit von auf. 9RQGHQIROJHQGHQEHLGHQ7HLODXIJDEHQLVWHQWZHGHURGHU]XO VHQ. () Ermitteln Sie die Werte von und y, so dass der Flächeninhalt der Grundrissfläche des Schornsteins minimal wird. () Beschreiben Sie detailliert das Lösen einer Etremwertaufgabe mithilfe der Differentialrechnung ausgehend von einer stetigen Zielfunktion A mit A = A() und D für den Fall, dass ein Minimum gesucht ist

4 Abituraufgaben Analysis Grundkurs ( ) Gegeben ist die Funktion f durch y = f() = 8 e, R. Untersuchen Sie die Funktion f auf Nullstellen, Monotonie und auf das Verhalten für o r f. Begründen Sie, dass der Graph der Funktion f weder lokale Etrempunke noch Wendepunkte besitzt. Die Abbildung zeigt die Graphen G, G und G 3 dreier Funktionen, von denen nachfolgende drei Funktionsgleichungen gegeben sind: e (I) y = f() = 8 (II) y = g() = 5 8 (III) y = h() = 3 e Ordnen Sie den Graphen diese Funktionsgleichungen zu und begründen Sie die Zuordnung. a) Die Koordinatenachsen, der Graph der Funktion f und die Gerade mit der Gleichung = begrenzen eine Fläche vollständig. Ermitteln Sie das Verhältnis, in welchem die Tangente an den Graphen der Funktion f im Punkt P f() diese Fläche teilt. b) Begründen Sie die folgende Integrationsregel: ³ f ( m n )d F( m n ) c, c R. m c) Der Tabelle kann man die Bevölkerungsentwicklung eines Landes für den Zeitraum von 30 Jahren entnehmen (Angabe in Millionen). Zeit t in Jahren Anzahl N in Millionen 3,9 5,3 7, 9,6 Weisen Sie nach, dass die Bevölkerungsentwicklung in diesem Zeitraum durch eine b t Funktion mit der Gleichung N(t) = a e näherungsweise beschrieben werden kann. Berechnen Sie, in welcher Zeit sich die Bevölkerungszahl unter den gegebenen Bedingungen verdoppelt

5 Abituraufgaben Analysis Grundkurs ( ) 3 Gegeben ist die Funktion f durch y = f(), R. 9 3 Der Graph von f sei G. Die Punkte P ( f( )) und Q (3 f(3)) liegen auf G. a) Untersuchen Sie den Graphen G auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Art und Lage von Etrempunkten und auf Wendepunkte. Geben Sie eine Gleichung für die Gerade durch die Punkte P und Q an. Berechnen Sie das Gradmaß des Winkels, den diese Gerade mit der Tangente an den Graphen G im Punkt Q einschließt. Im Folgenden beschreibt der Graph G im Intervall d d 4 modellhaft den Querschnitt eines Flusstales. Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinatensystem 5 m im Gelände. Das angrenzende Gelände verläuft vom Hochpunkt aus in Richtung der positiven -Achse und vom Punkt P aus in Richtung von QP. b) Zeichnen Sie den Querschnitt des Flusstales sowie des angrenzenden Geländes in ein Koordinatensystem im Intervall 4 d 6 d [. c) Bei Hochwasser steigt das Wasser bis zum Punkt P. Berechnen Sie den Inhalt der Querschnittsfläche des gefüllten Flusstales sowie das Fassungsvermögen (in m³) eines 45 m langen, geradlinigen Abschnittes des Flusstales. d) Untersuchen Sie rechnerisch, ob ein Drachenflieger, der sich im Punkt D (5 4,5) befindet, den durch den Koordinatenursprung beschriebenen Punkt des Flusstales sehen kann, wenn dieses ausgetrocknet ist

6 Abituraufgaben Analysis Grundkurs ( ) Gebiet G Aufgabe. Analysis Gegeben ist die Funktion f durch y f() ln, Df. 3 Der zugehörige Graph wird mit F bezeichnet. a) Ermitteln Sie den größtmöglichen Definitionsbereich Df der Funktion f und untersuchen Sie die Funktion f auf Monotonie. Untersuchen Sie den Graphen F auf die Eistenz von lokalen Etrem- sowie Wendepunkten und ermitteln Sie die Koordinaten des Schnittpunktes des Graphen F mit der -Achse. Zeichnen Sie den Graphen F im Intervall 0 d 6. Geben Sie an, wie der Graph F aus dem Graphen der Funktion g mit g () ln ( R,! 0) hervorgeht. b) Weisen Sie nach, dass y eine Gleichung der Tangente an den Graphen F im 3 Punkt P(3 f(3)) ist. Die Tangente an den Graphen F im Punkt P und die Koordinatenachsen begrenzen ein Dreieck. Diesem Dreieck soll ein Rechteck mit maimalem Flächeninhalt so einbeschrieben werden, dass zwei Rechteckseiten auf den Koordinatenachsen liegen. Ermitteln Sie die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Rechtecks. c) Begründen Sie die Eistenz einer Umkehrfunktion zur Funktion f. Zeigen Sie, dass y 3 e eine Gleichung dieser Umkehrfunktion ist. Der Graph der Umkehrfunktion der Funktion f, die Koordinatenachsen und die Gerade mit der Gleichung 3 begrenzen eine Fläche vollständig. Ermitteln Sie die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche

7 Ein Unternehmen stellt u. a. Monitore für PCs her. Bei der Herstellung von Monitoren entstehen Kosten K(). Die Kosten (in ¼in Abhängigkeit von werden durch die Gleichung K() = 0,00³,9² beschrieben. Der Verkauf der Monitore an die Händler erfolgt zum Preis von 300 ¼SUR6W FN'LH(Lnnahmen beim Verkauf von Monitoren werden mit E() und der Gewinn, den das Unternehmen dabei erzielt, mit G() bezeichnet (jeweils in ¼'HU*HZLQQLVWGDEHLGLH'LIIerenz aus den Einnahmen und den Kosten. a) Untersuchen Sie die Funktion K mit K() und R, DXI([LVWHQ]RQORNDOHQ Etremstellen, auf Monotonie sowie auf ihr Verhalten für o f. Berechnen Sie die Koordinaten des Wendepunktes. Die Abbildung zeigt den Gra-phen der Funktion K im Intervall 0 [ 000. Interpretieren Sie ihn unter dem Aspekt der Kostenentwicklung. K() b) Stellen Sie jeweils eine Gleichung für die Funktionen E mit E() und G mit G() und 5, DXI Begründen Sie, dass = 357,8 und = 966,9 Näherungswerte für die Nullstellen der Funktion G sind. Ermitteln Sie die Koordinaten und die Art der lokalen Etrempunkte des Graphen von G. Zeichnen Sie die Graphen von G und E im Intervall 0 [ Interpretieren Sie den Graphen von G hinsichtlich Gewinn und Verlust und geben Sie den maimalen Gewinn an. c) Für die Funktion G gilt im Intervall der Nullstellen [ ; ] (siehe Aufgabe b): G ³ ()d ( ) G() mit > Deuten Sie die Stelle im Zusammenhang mit dem Gewinn. Geben Sie eine Stammfunktion der Funktion G an.

8 Gebiet G Aufgabe. Analysis Gegeben ist die Funktion f durch y f() mit R und 0. Der zugehörige Graph wird mit F bezeichnet. a) Ermitteln Sie die Nullstelle und die Polstelle der Funktion f. Ermitteln Sie die Lage und die Art der lokalen Etrempunkte des Graphen F und weisen Sie nach, dass der Graph F keine Wendepunkte hat. Zeigen Sie, dass die Gerade mit der Gleichung y = + eine Asymptote des Graphen F ist. Zeichnen Sie den Graphen F im Intervall 7 7. Geben Sie die Monotonieintervalle der Funktion f an. b) Geben Sie den Wertebereich der Funktion f an. Zeigen Sie, dass aus dem Wertebereich der Funktion f die Gültigkeit der Ungleichung t für alle mit 0 gefolgert werden kann. c) Ermitteln Sie zwei voneinander verschiedene Stammfunktionen der Funktion f und geben Sie an, wodurch sich die Graphen dieser beiden Stammfunktionen unterscheiden. Der Graph F und die Gerade mit der Gleichung y = 4 schließen eine Fläche vollständig ein. Berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche

9 Gebiet G Aufgabe. Analysis BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB Der Graph einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades mit einer Funktionsgleichung der Form y = f() = a 3 + b + c + d, a, b, c, d, R, schneidet die -Achse im Punkt S ( 0) sowie die y-achse im Punkt S y (0 ) und berührt die - Achse im Punkt B (- 0). a) Ermitteln Sie die Werte der Parameter a, b, c, d und geben Sie eine Gleichung der Funktion f an. [Ergebnis zur Kontrolle: y = f() = ] b) Berechnen Sie die Koordinaten der lokalen Etrempunkte des Graphen der Funktion f, ermitteln Sie deren Art und berechnen Sie die Koordinaten des Wendepunktes. Weisen Sie nach, dass der Graph der Funktion f symmetrisch zum Punkt S y ist. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f im Intervall,5 d d,5. c) Der Graph der Funktion f und die Koordinatenachsen begrenzen im I. Quadranten eine Fläche vollständig. Der Flächeninhalt habe die Maßzahl A. Berechnen Sie diese Maßzahl. Jede Gerade g mit der Gleichung y = m +, m R, m < 0, begrenzt mit den Koordinatenachsen eine Fläche vollständig. Der Flächeninhalt habe die Maßzahl A. Ermitteln Sie diese Maßzahl in Abhängigkeit von m. Berechnen Sie einen Wert für m, wenn für das Verhältnis der Maßzahlen A : A = 4 : gilt. d) Die Parallele zur y-achse durch den Punkt P(u f(u) ), u R, 0 < u <, des Graphen der Funktion f schneidet die -Achse im Punkt Q. Die Punkte O, P, Q sind Eckpunkte eines Dreieckes. Ermitteln Sie eine Gleichung zur Berechnung der Maßzahl des Flächeninhaltes dieses Dreieckes in Abhängigkeit vom Parameter u. (Anmerkung: Diese Gleichung kann als eine Gleichung der Zielfunktion zur Ermittlung des maimalen Flächeninhaltes des beschriebenen Dreiecks angesehen werden.) - 9 -

10 Gebiet G Aufgabe. Analysis Gegeben ist die Funktion f durch y = f() =, R, > 0. a) Untersuchen Sie die Funktion f auf Nullstellen, auf Polstellen, auf das Monotonieverhalten und das Verhalten für o f. Weisen Sie nach, dass der Graph der Funktion f weder lokale Etrempunke noch Wendepunkte besitzt. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion f bei Annäherung an die Stelle = 0. Die nebenstehende Zeichnung zeigt im Intervall 0 < d 60 die Graphen G und G zweier Funktionen, von denen nachfolgende drei Funktionsgleichungen gegeben sind: (I) y = f() = (II) y = 0 + Ordnen Sie den Graphen diese Funktionsgleichungen zu. (III) y = b) Berechnen Sie die Maßzahl des Inhaltes der Fläche, den der Graph der Funktion f, die -Achse und die Geraden mit den Gleichungen =40 und =00 vollständig begrenzen. Die Graphen G und G und die Geraden mit den Gleichungen =40 bzw. = a, a R, a > 40, begrenzen eine Fläche vollständig. Zeigen Sie, dass der Inhalt dieser Fläche durch eine lineare Funktion beschrieben werden kann. c) Die Funktion f beschreibt in der Strahlenoptik die Bildweite y (in mm) in Abhängigkeit von der Gegenstandsweite (in mm) bei der Abbildung durch eine dünne Konvelinse mit der Brennweite 0 mm. Geben Sie die Gegenstandsweite für den Fall an, dass bei der Abbildung kein Bild entsteht und geben Sie die Bildweite y für den Fall an, dass der Gegenstand ins Unendliche rückt. Berechnen Sie die Gegenstandsweite für den Fall, dass sie der Bildweite y beträgt

11 Gebiet G Aufgabe. Analysis Die Funktion f mit dem Definitionsbereich D f = R hat die Ableitung f und es ist f () = 4. In einem kartesischen Koordinatensystem sei G der Graph der Funktion f und Gc der Graph der Ableitungsfunktion fc. Der Graph G verläuft durch den Punkt P(3 0). a) Ermitteln Sie eine Gleichung für die Funktion f. [Mögliches Ergebnis zur Kontrolle: f() = ] Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f. Zeichnen Sie die Graphen G und Gc im Intervall 4 d d 4. Beschreiben Sie dazu (ohne Rechnung) die Zusammenhänge zwischen der Lage von Etrempunkten bzw. Wendepunkten des Graphen G und dem Verlauf des Graphen G. b) Die Tangente im Schnittpunkt S( S >0 f ( S )) des Graphen Gc mit der -Achse und die dazugehörige Normale begrenzen gemeinsam mit der y-achse ein Dreieck. Ermitteln Sie jeweils eine Gleichung der Tangente und der Normale. Berechnen Sie die Maßzahl des Inhaltes dieser Dreiecksfläche. c) Die Gerade mit der Gleichung = u, d u d 3, schneidet die -Achse im Punkt A und den Graphen G im Punkt D. Die Gerade mit der Gleichung = u, d u d 3, schneidet die -Achse im Punkt B und den Graphen G im Punkt C. Die Punkte A, B, C und D sind die Eckpunkte eines Trapezes. Ermitteln Sie eine Gleichung zur Berechnung der Maßzahl des Flächeninhalts dieses Trapezes in Abhängigkeit vom Parameter u. Anmerkung: Diese Gleichung kann auch als eine Gleichung der Zielfunktion zur Ermittlung des maimalen Flächeninhalts angesehen werden. - -

12 Gebiet G Aufgabe. Analysis Gegeben ist die Funktion f durch y = f() = e -, R. a) Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen der Funktion f mit den Koordinatenachsen. Untersuchen Sie die Funktion f auf Monotonie. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f im Intervall d d 5. b) Der Graph der Funktion f und die Koordinatenachsen begrenzen eine Fläche A. Berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts der Fläche A. Die im Punkt P(0 f(0)) an den Graphen der Funktion f gelegte Tangente und die Koordinatenachsen begrenzen eine Dreiecksfläche A. Der Inhalt dieser Fläche ist ein Näherungswert des Inhalts der Fläche A. Berechnen Sie die prozentuale Abweichung des Inhaltes der Fläche A vom Inhalt der Fläche A. c) Die Entwicklung der Biomasse eines Gehölzbestandes in Abhängigkeit von der Zeit kann durch die Funktionsgleichung y = g(t) = a 0 e -b t, a, b, t R, a, b>0, t t 0, näherungsweise beschrieben werden. Dabei ist y die Maßzahl der Biomasse in 0 Tonnen und t die Maßzahl der Zeit in Jahren. Die Parameter a und b sind Konstanten, die u.a. von der Gehölzart und den klimatischen Bedingungen abhängen. Die Biomasse zu bestimmten Zeiten ist in der nachfolgenden Tabelle angegeben: Zeit t in Jahren 0 0 Biomasse y in 0 Tonnen 0 6,3 Berechnen Sie den jeweiligen Wert der Konstanten a und b und geben Sie eine Funktionsgleichung y = g(t) für diese Biomasse an. [Teilergebnis zur Kontrolle: b = 0,] Für t o f strebt die Biomasse einem Grenzwert zu. Berechnen Sie diesen Grenzwert. Der Bestand soll wirtschaftlich verwertet werden, wenn die Biomasse 95% ihres Grenzwertes erreicht hat. Berechnen Sie die Zeit bis zur Verwertung. - -

13 Gegeben sind die Funktionen f und g durch y = f() = ( ) und y = g() = 4, R. In einem kartesischen Koordinatensystem sei der Graph der Funktion f mit F und der Graph der Funktion g mit G bezeichnet. B Zeigen Sie, dass 0 = 4 eine Nullstelle der Funktion f ist. Berechnen Sie die weiteren Nullstellen der Funktion f. Ermitteln Sie Art und Lage der lokalen Etrempunkte des Graphen F. Zeichnen Sie den Graphen F im Intervall,5 5. C Die Graphen F und G besitzen zwei gemeinsame Punkte. Zeigen Sie, dass einer dieser Punkte ein Schnittpunkt ist und geben Sie dessen Koordinaten an. Die Graphen F und G und die -Achse begrenzen im IV. Quadranten eine Fläche vollständig. Berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche. D Der Verlauf einer Rennstrecke werde in dem zu betrachtenden Bereich durch den Graphen F beschrieben. Der Standort eines Beobachtungsturmes sei der Punkt K. Der Punkt K soll so gewählt werden, dass er zu den gemeinsamen Punkten des Graphen F mit den Koordinatenachsen jeweils den gleichen Abstand hat. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes K

14 Gegeben sind die Funktionen f und g durch y = f() =, R, z, und y = g() = 4 + 4, R. a) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f im Intervall - d d 5. Untersuchen Sie dazu den Graphen der Funktion f auf waagerechte Asymptoten sowie auf Eistenz lokaler Etrempunkte und ermitteln Sie die Koordinaten seines Schnittpunktes mit der y-achse. Geben Sie die Gleichung der Polasymptote an. C Im Punkt P( f()) wird an den Graphen der Funktion f eine Tangente t gelegt. Die Tangente t schneidet die Polasymptote im Punkt Q( 6). Weisen Sie die Richtigkeit dieser Aussage nach. Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion g auch Tangente an den Graphen der Funktion f ist und berechnen Sie die Koordinaten des Berührungspunktes. D Die Graphen der Funktionen f und g und die Gerade mit der Gleichung = 4 begrenzen eine Fläche vollständig. Berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche. E Für jeden Wert des Parameters a schneidet die Gerade mit der Gleichung y = a, a > 0, den Graphen der Funktion f in den Punkten A (+ B a) und B ( B a). Eine Parallele zur y-achse durch den Punkt A schneidet die -Achse im Punkt D und eine Parallele durch den Punkt B schneidet die -Achse im Punkt C. Berechnen Sie den Wert des Parameters a für den Fall, dass das Viereck ABCD einen minimalen Umfang besitzt

15 Abituraufgaben Analysis Grundkurs ( ) Gegeben ist die Funktion f durch y = f() =, R, z 0. Ihr Graph sei mit G bezeichnet. a) Untersuchen Sie die Funktion f auf Null- und Polstellen, auf ihr Verhalten für o rf sowie den Graphen G auf Etrempunkte und bestimmen Sie gegebenenfalls deren Lage und Art. Zeichnen Sie den Graphen G im Intervall -6 d d 6. b) Im Punkt P( -4 f(-4) ) wird an den Graphen der Funktion f eine Tangente t gelegt. Zeigen Sie, dass diese Tangente die y-achse im Punkt S (0 -,5) schneidet. Es eistiert an den Graphen G genau eine Tangente t, die zur Tangente t parallel verläuft. Ihr Berührungspunkt mit dem Graphen G sei der Punkt Q. Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes Q. [Ergebnis zur Kontrolle: Q (4,5)] c) Eine Gerade schneide den Graphen G in den Punkten Q (aus Teilaufgabe b)) und R (0,5,5). Diese Gerade und der Graph G schließen eine Fläche vollständig ein. Berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche

16 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB Gegeben ist die Funktion f durch y = f() =, R. F Der Graph sei mit G bezeichnet. a) Zeigen Sie, dass der Koordinatenursprung O ein Punkt des Graphen G ist. Ermitteln Sie Art und Lage des lokalen Etrempunktes des Graphen G. Zeichnen Sie den Graphen G im Intervall 0,5 d d 6. b) Im Punkt P ( f() ) soll die Tangente t an den Graphen G gelegt werden. Sie schneidet die -Achse im Punkt Q und die y-achse im Punkt R. Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente t und bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes Q. Eine Parallele zur y-achse durch den Punkt P schneidet die -Achse im Punkt T. Weisen Sie nach, dass sich die Maßzahlen der Flächeninhalte der Dreiecke OTP, OPR und OQR wie : : 4 verhalten. c) Die Punkte S (u f(u)), V(u 0), mit u > 0, und O(0 0) bilden jeweils ein Dreieck SOV. Genau eines dieser Dreiecke hat einen maimalen Flächeninhalt. Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes S für diesen Fall. *. Gegeben ist die Funktion f durch ( ) y f(), R. Ihr Graph sei G. a) Untersuchen Sie die Funktion f auf Nullstellen, Polstellen sowie auf ihr Verhalten für orf und geben Sie Gleichungen der Asymptoten an. Ermitteln Sie vom Graphen G die Koordinaten des Schnittpunktes mit der y-achse sowie Art und Lage der lokalen Etrempunkte. Zeichnen Sie den Graphen G im Intervall 5 d d 5. Begründen und beschreiben Sie mithilfe einer Skizze, wie sich der Graph der Funktion ( ) h mit y h() ( R) aus dem Graphen G entwickeln lässt. b) Die Tangente an den Graphen G im Schnittpunkt mit der y-achse stimmt im Intervall 0,4 d d 0,4 mit dem Graphen G näherungsweise überein. Daher kann man in - 6 -

17 diesem Intervall die Funktion f durch eine die Tangente beschreibende lineare Funktion ersetzen. Berechnen Sie die Abweichungen der Funktionswerte an den Intervallenden, die bei Verwendung der linearen Funktion auftreten. c) Weisen Sie nach, dass die Funktionen F a mit y = F a () = a [ ln(² + )] Stamm- ( funktionen der Funktionen f a mit y = f a () = a ),, a R und a > 0 sind. Die Graphen der Funktionen f a und die Koordinatenachsen schließen Flächen vollständig ein. Berechnen Sie den Wert für a, so dass der Inhalt einer solchen Fläche die Maßzahl hat. *.. Der Graph einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades mit einer Funktionsgleichung der Form y = f() = a³ + b² + c + d, a, b, c, d, R, berührt die -Achse an der Stelle = 0 und hat im Punkt P(6 0) den Anstieg 9. a) Ermitteln Sie die Werte für die Parameter a, b, c, d und geben Sie eine Gleichung dieser Funktion f an. 3 3 [Ergebnis zur Kontrolle: y = f() = ] 4 b) Ermitteln Sie Art und Lage der lokalen Etrempunkte des Graphen der Funktion f. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion f für o + f und o f sowie die Monotonie der Funktion f für > 4 und < 0. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f im Intervall d d 7. c) An den Graphen der Funktion f wird im Punkt Q( 4) die Tangente gelegt. Stellen Sie eine Gleichung dieser Tangente auf. Zeigen Sie, dass keine weitere Tangente am Graphen der Funktion denselben Anstieg wie die Tangente im Punkt Q hat. f eistiert, die Der Graph der Funktion f und der Graph der Funktion g mit der Gleichung y = g() = 3 6 4, R, begrenzen eine Fläche vollständig. Berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche

18 Gegeben sind die Funktion f und die Gerade g durch 3 f : y = f() =, R, z, und g : y = 4, R. a) Ermitteln Sie die Nullstellen und die Polstelle der Funktion f. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion f für o r f. Weisen Sie nach, dass die Funktion f für < und > jeweils streng monoton steigt. Zur Geraden g eistiert genau eine parallele Gerade h, die den Graphen der Funktion f nicht schneidet. Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden h. [Ergebnis zur Kontrolle: y = ] Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f und die Gerade h in ein und dasselbe Koordinatensystem im Intervall 6 d d 6. Jede Gerade mit der Gleichung = a, a > 0, schneidet die Gerade h in einem Punkt Pa und den Graphen der Funktion f in einem Punkt Qa. Ermitteln Sie alle Werte für a, so dass die Maßzahl der Länge der Strecke als 000 ist. P aqa kleiner b) Die Tangente im Punkt R( 0) an den Graphen der Funktion f sei mit t bezeichnet. Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Tangente t. Es eistiert genau eine weitere Tangente t an den Graphen der Funktion f, die zur Tangente t parallel verläuft. Berechnen Sie die Koordinaten des Berührungspunktes der Tangente t mit dem Graphen der Funktion f. c) Der Graph der Funktion f und die Koordinatenachsen begrenzen eine Fläche vollständig. Berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche