Zentrale schriftliche Abiturprüfung Mathematik. Leistungskurs

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1 Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Zentrale schriftliche Abiturprüfung 009 Mathematik Aufgabenstellung A und A (Wahl für Prüflinge) Aufgabenstellung A3 (siehe Extrablatt) (wird durch die Lehrkraft ausgewählt) für Prüflinge Hilfsmittel: Gesamtbearbeitungszeit: Nachschlagewerk zur Rechtschreibung der deutschen Sprache, nicht programmierbarer und nicht grafikfähiger Taschenrechner, an der Schule eingeführtes Tafelwerk/ Formelsammlung Zeitstunden Aufgabenstellung A Thema/Inhalt: Hinweise: Analysis II Wählen Sie eine der beiden Aufgaben. oder. zur Bearbeitung aus. Aufgabe. Seite Aufgabe. Seite 3 Aufgabenstellung A Thema/Inhalt: Hinweise: Analytische Geometrie II/ Lineare Algebra Wählen Sie eine der beiden Aufgaben. oder. zur Bearbeitung aus. Aufgabe. Seite Aufgabe. Seite 5 Seite von 5 Mathematik 09_Ma_L_A.doc

2 Aufgabe. (Analysis II) Gegeben ist die Funktionenschar a Ihr Graph sei G a. a x f durch f ( x) a x e a = ; x R ; a R, a > 0... Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes von G a mit der x-achse und geben Sie das Verhalten der Funktionswerte von f a für x ± an. G und G schneiden sich in den beiden Punkten P und Q. Bestimmen Sie die Größe des Winkels, unter dem die Gerade g PQ die positive x-achse schneidet... Jeder Graph G a besitzt in Abhängigkeit von a genau einen lokalen Extrempunkt und genau einen Wendepunkt. Bestimmen Sie die Art der Extrempunkte und eine Gleichung ihrer Ortskurve. a x [Kontrollergebnis: fa ( x) = a e ( ax) ] Weisen Sie nach, dass für jedes a der Abstand der beiden Geraden x = xe und x = x W durch den jeweiligen Extrempunkt bzw. Wendepunkt genau LE a beträgt. Auf den Nachweis des Wendepunktes wird verzichtet...3 Die Tangente im Koordinatenursprung an G a, eine Parallele zur y-achse durch den a Punkt H a von G a und die x-achse begrenzen im I. Quadranten ein Dreieck. a e Bestimmen Sie a für den Fall, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist. Zeigen Sie, dass alle oben beschriebenen Dreiecke unabhängig von a den Flächeninhalt FE haben... Jeder Graph G a schließt zusammen mit der x-achse und der Geraden x = im a ersten Quadranten eine Fläche ein. Weisen Sie nach, dass für alle Ga die beschriebenen Flächen den gleichen Inhalt haben. Aufgabenteil Summe BE Seite von 5 Mathematik 09_Ma_L_A.doc

3 Aufgabe. (Analysis II) Gegeben ist die Funktionenschar f a mit der Gleichung Die Graphen dieser Schar seien G a. x x + a fa( x) = ; x Df x a ; a R... Geben Sie den maximalen Definitionsbereich und das Verhalten der Funktionswerte von f a für x + und x an. Bestimmen Sie die Gleichungen aller Asymptoten von G a. Geben Sie denjenigen Graphen der Schar G a an, der bis auf einen Punkt mit der schiefen Asymptote identisch ist. Ermitteln Sie a für den Fall, dass die zugehörigen Graphen G a keine Schnittpunkte mit der x-achse besitzen... Bestimmen Sie die Anzahl und die Art der lokalen Extrempunkte von G a in Abhängigkeit von a. Bestimmen Sie für diejenigen G a, die zwei Extrempunkte besitzen, den Abstand der beiden durch diese Extrempunkte verlaufenden und zur y-achse parallelen Geraden. x 8x + 8 a [Kontrollergebnis: f a ( x) = ] x ( )..3 Der Graph G 3 schließt im II. Quadranten des Koordinatensystems mit den beiden Koordinatenachsen eine Fläche vollständig ein. Berechen Sie den Inhalt dieser Fläche... Eine neue Funktionenschar ha sei definiert durch ha ( x) = fa ( x) f0 ( x) ; x R ; a R ; a > 0. Der Graph von h a, die beiden Koordinatenachsen und die Gerade x = schließen für ein a > 0 im IV. Quadranten des Koordinatensystems eine Fläche ein. Rotiert diese Fläche um die x-achse, entsteht ein Rotationskörper. Berechnen Sie a für den Fall, dass das Volumen des Rotationskörpers genau π VE beträgt. Aufgabenteil Summe BE Seite 3 von 5 Mathematik 09_Ma_L_A.doc

4 Aufgabe. (Analytische Geometrie II / Lineare Algebra) In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A ( ), B( ), C ( 9 ), die Gerade g durch x = + t ; t R und die Ebene E mit der 7 Gleichung x = 6 + r + s 3 ; r, s R gegeben. 7.. Die Punkte A und B liegen auf der Geraden g. Zeigen Sie, dass C nicht auf g liegt. Es sei L der Fußpunkt des Lotes von C auf g. Untersuchen Sie, ob L zwischen den Punkten A und B liegt. Zeigen Sie, dass die Gerade g die Ebene E orthogonal durchstößt und geben Sie die Koordinaten des Durchstoßpunktes an... Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes D so, dass das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist. Die Geraden g und g teilen das Parallelogramm ABCD in drei kongruente Flächen. Stellen Sie die Gleichungen zweier möglicher Geraden auf...3 Die Katheten eines gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreiecks sind 8 LE lang. Die Hypotenuse c = H H liegt auf der Geraden g. Der Punkt B ist Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks. Ermitteln Sie die Koordinaten der Punkte H und H. Die Geraden einer Geradenschar m t schneiden die Gerade g und verlaufen sowohl zur x-y-ebene als auch zur Ebene E parallel. Stellen Sie für m eine Gleichung auf. t Aufgabenteil Summe BE Seite von 5 Mathematik 09_Ma_L_A.doc

5 Aufgabe. (Analytische Geometrie II / Lineare Algebra) Die Gerade g verläuft durch die Punkte A ( ) und ( ) Für jedes t R hat der Punkt t Weiterhin ist der Punkt ( 0 6 6) B. D die Koordinaten D t ( 5 t 3 + t t ) P gegeben Untersuchen Sie die Lage des Punktes P bezüglich der Geraden g. Zeigen Sie, dass kein Punkt D t auf der Geraden g liegt... Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes D t so, dass die Punkte A, B und Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks mit der Basis AB sind. D t die Berechnen Sie den Flächeninhalt und die Größe der Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks ABD 0, Für jedes t sei E t die Ebene, die die Gerade g und den Punkt D t enthält. Bestimmen Sie eine Gleichung für Et in Koordinatenform. [Kontrollergebnis: ( 6 + 0) x + ( t ) y + ( t + ) z = 80t + 86 Zeigen Sie, dass keine Ebene t ] E t parallel zur x-y-ebene liegt. Bestimmen Sie eine Gleichung derjenigen Ebene E t, die den Punkt P enthält... Ermitteln Sie die Gleichung einer Geraden h, die durch den Punkt P und einen Punkt D verläuft und die Gerade g schneidet. t Aufgabenteil Summe BE Seite 5 von 5 Mathematik 09_Ma_L_A.doc

6 Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Zentrale schriftliche Abiturprüfung 009 Aufgabenstellung A3. (Wahl für Lehrkräfte) Mathematik für Prüflinge Thema/Inhalt: Hilfsmittel: Gesamtbearbeitungszeit: Stochastik II Nachschlagewerk zur Rechtschreibung der deutschen Sprache, nicht programmierbarer und nicht grafikfähiger Taschenrechner, an der Schule eingeführtes Tafelwerk/ Formelsammlung Zeitstunden Seite von Mathematik 09_Ma_L_A_3_.doc

7 Aufgabe: 008 war das "Jahr der Mathematik". 3.. Im Rückblick auf ihre Schulzeit erinnern sich immerhin 6% der Bundesbürger gern an den Mathematikunterricht Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: A: Unter neun zufällig ausgewählten Bundesbürgern befinden sich höchstens zwei, die sich gern an den Mathematikunterricht erinnern. B: Von 50 zufällig ausgewählten Bundesbürgern wird die zu erwartende Anzahl jener, die sich gern an den Mathematikunterricht erinnern, tatsächlich angenommen. C: Von 500 zufällig ausgewählten Bundesbürgern gehören mindestens 783 zu jenen, die nicht gern an den Mathematikunterricht zurückdenken Auf einer feierlichen Veranstaltung eines Gymnasiums werden Teilnehmer und Preisträger vielfältiger Wettbewerbe zum "Jahr der Mathematik 008" geehrt. An dieser Veranstaltung nehmen viele Gäste teil, von denen sich auch 6% gern an den Mathematikunterricht erinnern. Der Männeranteil unter den Gästen beträgt 35%. Man nimmt an, dass sich 3% der männlichen Gäste gern an den Mathematikunterricht erinnern. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: D: Ein zufällig ausgewählter Gast, der gern an den Mathematikunterricht zurückdenkt, ist ein Mann. E: Eine an der Veranstaltung teilnehmende Frau erinnert sich gern an den Mathematikunterricht. 3.. Es sei p ( 0 < p < ) der Anteil derjenigen Schüler eines Bundeslandes, die sich im "Jahr der Mathematik 008" an den stattgefundenen mathematischen Wettbewerben beteiligt haben. () Untersuchen Sie, ob das Eintreten des Ereignisses M oder des Ereignisses N wahrscheinlicher ist und begründen Sie Ihre Entscheidung: M: Nur der zweite und der vierte von n nacheinander befragten Schülern des Bundeslandes haben sich an diesen Wettbewerben beteiligt ( n N, n ). N: Unter n zufällig ausgewählten Schülern dieses Bundeslandes befinden sich genau zwei Personen, die an den Wettbewerben teilgenommen haben. () Berechnen Sie p für den Fall, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter n zufällig ausgewählten Schülern dieses Bundeslandes genau k Personen befinden, die sich an den Wettbewerben beteiligt haben, maximal ist ( n, k N, n > 0,0 < k < n). Auf den Nachweis des Maximums wird verzichtet. Aufgabenteil Summe BE Seite von Mathematik 09_Ma_L_A_3_.doc

8 Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Zentrale schriftliche Abiturprüfung 009 Aufgabenstellung A3. (Wahl für Lehrkräfte) Mathematik für Prüflinge Thema/Inhalt: Hilfsmittel: Gesamtbearbeitungszeit: Analysis III Nachschlagewerk zur Rechtschreibung der deutschen Sprache, nicht programmierbarer und nicht grafikfähiger Taschenrechner, an der Schule eingeführtes Tafelwerk/ Formelsammlung Zeitstunden Seite von Mathematik 09_Ma_L_A_3_.doc

9 Aufgaben: Gegeben ist die Funktionenschar Die zugehörigen Graphen seien G a. fa mit f a ( x) = ax + x + ; a R. 3.. Berechnen Sie die Nullstellen von f 0, 5. Weisen Sie nach, dass sich alle Graphen G a in einem Punkt auf der y-achse schneiden. Bestimmen Sie denjenigen Parameter a, für den G a achsensymmetrisch zur y-achse verläuft. Für den Fall, dass f a eine Extremstelle besitzt, liegt der Parameter a im Intervall a < a < a. Berechnen Sie a und a. Auf den Nachweis des lokalen Extremums wird verzichtet. x [zur Kontrolle: f a ( x) = + a ] x Der Graph der Funktion einer Skisprungschanze. f beschreibt für 0,5 x 8 im Querschnitt den Anlauf Der Schanzentisch ist der Bereich, in dem der Absprung erfolgt. Üblicherweise ist er ca. 0 nach unten geneigt. Überprüfen Sie, ob diese Schanze der Norm entspricht, wenn der Absprung an der Stelle x = erfolgt. Bei einer Kinderschanze mit dem Querschnittgraphen G a will man den Schanzentisch waagerecht bauen. Berechnen Sie das zugehörige a, wenn der Absprungpunkt P a ( fa ( )) ist Die Fläche, die von G, den Geraden x = und x = 8 sowie dem Graph der Funktion h mit der Gleichung h ( x) = x + (0,5 x) x + begrenzt wird, soll für Werbezwecke genutzt werden. Berechnen Sie die Größe der für Werbung verfügbaren Fläche ( LE = 0 m ). [zur Kontrolle: f ( x) h( x) = x x + x + x ] Hinweis: Für x 8 haben f und h keine Schnittstellen. Aufgabenteil Summe BE Seite von Mathematik 09_Ma_L_A_3_.doc

10 Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Zentrale schriftliche Abiturprüfung 009 Aufgabenstellung A3.3 (Wahl für Lehrkräfte) Mathematik für Prüflinge Thema/Inhalt: Hilfsmittel: Gesamtbearbeitungszeit: Analytische Geometrie III / Lineare Algebra Nachschlagewerk zur Rechtschreibung der deutschen Sprache, nicht programmierbarer und nicht grafikfähiger Taschenrechner, an der Schule eingeführtes Tafelwerk/ Formelsammlung Zeitstunden Seite von Mathematik 09_Ma_L_A_33_.doc

11 Aufgaben: Eine Kugel K hat den Mittelpunkt M ( 3 3 3). S ( 5 ) und ( ) Kugel K. S sind Punkte der Die Gerade g wird durch die Gleichung 7 3 x = 9 + t, t R beschrieben Geben Sie eine Gleichung der Kugel K an und ermitteln Sie die Koordinaten der Schnittpunkte P und P der Geraden g mit der Kugel K. Ermitteln Sie jeweils eine Gleichung für die Tangentialebenen an die Kugel K in den Punkten und S. S Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden g s [Kontrollergebnis für : 6 6 x = 9 + s 5 ; s R ] 0 g s der beiden Tangentialebenen Die Punkte M, S und S sind die Eckpunkte eines Drachenvierecks. Der vierte Eckpunkt liegt in beiden Tangentialebenen aus Bestimmen Sie die Koordinaten dieses Punktes Auf der Geraden g liegen die Mittelpunkte zweier Kugeln mit dem Radius r g = 0 LE, welche die Kugel K außen berühren. Bestimmen Sie die Koordinaten der Mittelpunkte der beiden beschriebenen Kugeln Die Strecke S S ist der Durchmesser des Schnittkreises einer Ebene E mit der Kugel K. Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Ebene E. Aufgabenteil Summe BE Seite von Mathematik 09_Ma_L_A_33_.doc