ABITURPRÜFUNG 2009 LEISTUNGSFACH MATHEMATIK

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1 ABITURPRÜFUNG 2009 LEISTUNGSFACH MATHEMATIK (HAUPTTERMIN) Bearbeitungszeit: 270 Minuten Hilfsmittel: Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Taschenrechner (nicht programmierbar, nicht grafikfähig) Tafelwerk Wählen Sie von den Aufgaben A1 und A2 eine und von den Aufgaben B1 und B2 eine zur Bearbeitung aus und bearbeiten Sie die Pflichtaufgabe C. Rechts neben jeder Teilaufgabe steht die für diese Teilaufgabe maximal erreichbare Anzahl von Bewertungseinheiten (BE). ÖFFNUNG AM 27. APRIL 2009

2 2 Aufgabe A1 Für jede reelle Zahl t sei eine Funktion f t x 2 x 2 ( x 2) ( x + 1) y = ft (x) = = gegeben. x + t x + t durch die Gleichung Für die Teilaufgaben a) und b) sei t = 2. a) Untersuchen Sie den Graphen der Funktion f 2 auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und auf lokale Extrempunkte! Geben Sie gegebenenfalls deren Koordinaten an! Bestimmen Sie die Gleichungen aller Asymptoten des Graphen von f 2! Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f 2 und die Asymptoten in einem geeigneten Intervall! Ermitteln Sie den Schnittpunkt der beiden Asymptoten des Graphen von f 2! Geben Sie die Bedeutung dieses Punktes für den Graphen von f 2 an! 13 BE b) Weisen Sie nach, dass die Funktion F 2 mit 2 x F2 (x) = 4ln(x + 2) + 3x für x > 2 eine 2 Stammfunktion der Funktion f 2 ist! In den Schnittpunkten des Graphen der Funktion f 2 mit der x-achse werden jeweils die Tangenten angelegt. Diese bilden zusammen mit der x-achse ein Dreieck. Berechnen Sie, in welchem Verhältnis der Graph der Funktion f 2 diese Dreiecksfläche teilt! Geben Sie dieses Verhältnis sinnvoll gerundet mit ganzen Zahlen an! 8 BE c) Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f t an! Untersuchen Sie jeweils in Abhängigkeit von t den Graphen der Funktion f t sowohl auf Polstellen und Lücken als auch auf die Anzahl möglicher Extremstellen! (Auf den Nachweis der Extremstellen wird verzichtet.) 6 BE

3 3 d) Zu jedem t > 1 existiert genau eine quadratische Funktion q t, deren Graph die gleichen Schnittpunkte mit den beiden Koordinatenachsen hat wie der Graph der zugehörigen Funktion f. t Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Funktion q t! 3 BE

4 4 Aufgabe A2 Für jede natürliche Zahl t sei eine Funktion t 3 t t x y = f (x) = x e gegeben. Für die Teilaufgaben a) bis e) sei t = 1. f t durch die Gleichung a) Untersuchen Sie den Graphen der Funktion f 1 auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und auf lokale Extrempunkte! Geben Sie die Gleichung der Asymptote des Graphen von an! f 1 7 BE b) In den Koordinatensystemen 1, 2 und 3 sind die Graphen von und f 1 sowie einer weiteren Funktion dargestellt. Ordnen Sie den Funktionen f 1 und f 1 den richtigen Graphen zu! Begründen Sie Ihre Entscheidungen! f 1 1

5 5 2 3

6 6 c) Berechnen Sie die Größe des Schnittwinkels der Graphen von und f im Punkt S(x ;f (x )) mit x s >! f 1 1 s 1 s 0 3 BE d) Beweisen Sie, dass für die n-te Ableitung ( n N, n 1 ) f 1 die Gleichung (n) n 2 1 x 1 (x) ( 1) [x 2nx + n(n 1)] e Funktion f = gilt! der 4 BE e) Für n = 1 liefert die Gleichung aus Teilaufgabe d) eine Stammfunktion von f. 1 Zeigen Sie, dass diese Aussage richtig ist! Der Graph von f 1 und die x-achse begrenzen im ersten Quadranten eine nach rechts ins Unendliche reichende Fläche. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche! x (Hinweis: lim x e = 0) x n 4 BE f) Geben Sie für t = 3 und für t = 4 den maximalen Definitionsbereich an! Untersuchen Sie die Funktionen f3 und f4 auf senkrechte Asymptoten! Für welche Werte von t besitzt die Funktion f t keine negativen Funktionswerte? Zeigen Sie, dass der Punkt P(e;f t (e)) gemeinsamer Punkt aller Graphen der Funktionen ist! f t 6 BE

7 7 g) Die Punkte O (0;0), Q (r; 0) und R(r;ft (r)) mit r > 0 und 0 t 3 bilden ein Dreieck. Bestimmen Sie den Wert von r in Abhängigkeit von t, für den der Flächeninhalt dieses Dreiecks maximal wird! (Auf den Nachweis für das Maximum wird verzichtet.) Geben Sie den ganzzahligen Wert von t an, so dass der maximale Flächeninhalt ganzzahlig wird! 4 BE

8 8 Aufgabe B1 Über Internet kann man bei Bedarf mobile Tribünen mit überdachten Sitzplätzen mieten. Die Abbildung zeigt eine vereinfachte Skizze einer solchen Tribüne. Das Tribünendach besteht aus zwei Rechtecken. Folgende Punkte sind gegeben: B ( 6; 8; 0), E ( 0; 0; 0), G ( 6; 0; 1), H ( 6; 8; 1), I ( 0; 8; 3), J ( 0; 0; 3), L ( 7; 8; 6), M ( 1; 8; 5), N( 1; 8; h), P( 1; 0; h). (Eine Längeneinheit entspricht einem Meter.) z P N K Q J L M I E D y x G A F H B C (Skizze nicht maßstäblich) a) Die Ebene ε 1 enthält die Tribünenfläche GHIJ. Weisen Sie nach, dass diese Ebene durch die Gleichung x + 3z = 9 beschrieben werden kann! Die Ebene ε 2 enthält die Dachfläche MNPQ und verläuft parallel zu ε 1. Ermitteln Sie die z-koordinaten der Punkte N und P! Berechnen Sie den Abstand der beiden Ebenen! 5 BE

9 9 b) Die Ebene ε 3 enthält die Dachfläche KLMQ. Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die Dachflächen MNPQ (aus Teilaufgabe a) und KLMQ miteinander einschließen! Ermitteln Sie den Inhalt der gesamten Dachfläche! Gibt es einen Punkt C auf der Strecke BD, für den CL senkrecht zur Ebene ε 3 steht? Begründen Sie Ihre Entscheidung! 5 BE c) Um Uhr regnet es. Da es windstill ist, fallen die Tropfen parallel zur z-achse. Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche in der x-y-ebene, auf die kein Regen fällt! Die Rinne QM enthält ein Loch. In welcher Entfernung von der Kante IJ muss ein Zuschauer auf der Tribüne damit rechnen, nass zu werden? 5 BE d) Um Uhr scheint die Sonne. Der Punkt M wirft dabei auf die Tribünenfläche den Schatten M ; ; Ermitteln Sie die Größe des Winkels, unter dem die Sonnenstrahlen auf die Tribünenfläche treffen! Untersuchen Sie, ob der gesamte Schatten der Kante LM auf die Tribünenfläche fällt! 5 BE

10 10 Aufgabe B2 Das Gepäck von Flugreisenden von oder nach Deutschland besteht zu 60 % aus Koffern und zu 30 % aus Reisetaschen. Die restlichen 10 % werden durch andere Gepäckstücke wie Pakete, Seesäcke usw. gebildet. Das Handgepäck, das Passagiere während des Fluges mit sich führen, ist dabei nicht berücksichtigt. Die Koffer sind zu 25 % in blauer Farbe. Am Flughafen Erfurt werden nach Ankunft eines Flugzeuges aus dem Land Stochasien alle 80 Gepäckstücke in zufälliger Anordnung auf das Entnahmeband in der Ankunftshalle entladen. a) Begründen Sie, dass unter diesen Bedingungen die Wahrscheinlichkeit, dass ein rein zufällig ausgewähltes Gepäckstück ein blauer Koffer ist, 0,15 beträgt! Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse A bis E! A := Unter den 80 Gepäckstücken befinden sich genau 12 Koffer in blauer Farbe. B := Unter den entladenen Gepäckstücken sind höchstens 12 blaue Koffer. C := Das sechste Gepäckstück auf dem Band ist der erste blaue Koffer. D := Spätestens das vierte Gepäckstück ist ein Koffer beliebiger Farbe. E := Unter den 80 Gepäckstücken sind mindestens 48 und höchstens 52 Koffer. b) Beschreiben Sie ein Ereignis E aus dem obigen Sachverhalt, dessen Wahrscheinlichkeit mit P(E) = 0,1 0,9 + 0,1 0,9 berechnet wird! 8 9 c) Um die Anzahl der Möglichkeiten zu bestimmen, aus 12 Koffern genau drei auszuwählen, geben Axel und Beate zwei verschiedene Antworten. Axel: = Beate: = Beschreiben Sie für beide Antworten jeweils ein geeignetes Auswahlverfahren! 7 BE 1 BE

11 11 d) Bestimmen Sie, wie viele Gepäckstücke mindestens über das Band gelaufen sein müssen, so dass mit 99,9 %-iger Sicherheit mindestens eine Reisetasche dabei ist! Ein Mitarbeiter des Abfertigungspersonals am Flughafen Erfurt möchte die Behauptung überprüfen, dass der Anteil der Reisetaschen jetzt über 30 % liegt. Dazu beabsichtigt er, die Reisetaschen unter den 80 Gepäckstücken der Urlauber auszuzählen. Nur dann, wenn es mehr als 30 Reisetaschen sind, will er diese Behauptung als richtig einstufen. e) Konstruieren Sie einen entsprechenden Signifikanztest und ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art! Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Behauptung abzulehnen ist, wenn der tatsächliche Anteil der Reisetaschen bei 40 % liegt! 5 BE Aus Sicherheitsgründen wird das Handgepäck von Flugreisenden jeweils vor dem Abflug auf nicht erlaubte Gegenstände überprüft. Es sei bekannt, dass sich in etwa 2 % aller Handgepäckstücke unerlaubte Gegenstände befinden. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,999 erkennt das am Flughafen eingesetzte automatische Prüfsystem solche unerlaubten Gegenstände und sortiert die entsprechenden Handgepäckstücke aus. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,90 erkennt das Prüfsystem Handgepäckstücke ohne unerlaubte Gegenstände und sortiert sie nicht aus. f) Untersuchen Sie, in welchem möglichst kleinen Intervall mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0,97 die Anzahl der aussortierten Handgepäckstücke liegt, wenn das automatische Prüfsystem Handgepäckstücke überprüft! Wählen Sie dazu ein Intervall, das symmetrisch um die zu erwartende Anzahl der aussortierten Gepäckstücke liegt! 3 BE

12 12 Aufgabe C a) Zeigen Sie, dass für jede arithmetische Zahlenfolge ( ) n N, n 2 gilt: an 1 2a n + an+ 1 = 0! a n mit b) Berechnen Sie den Abstand des Punktes ( 2; 4; 3) der x-achse! P von 2x x c) Lösen Sie die folgende Gleichung: e = 2e 1! 3 d) Gegeben sei eine Funktion f mit f (x) = 3sin x. 2 Ermitteln Sie die kleinste Periode der Funktion f! Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen der Funktion f im Intervall 0 x 20, 09! e) Von den Schülern der 12. Klassen, die an der theoretischen Fahrprüfung teilnahmen, bestanden 65 % sofort diese Prüfung. Alle Schüler, die diese Prüfung nicht bestanden, nutzten die Möglichkeit einer Nachprüfung. Diese konnte jetzt von 45 % der Teilnehmer erfolgreich bestanden werden. 1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit bestand ein Schüler diese Prüfung spätestens nach der ersten Wiederholung? 2. Eine Klasse mit 20 Schülern nimmt an der Fahrschulprüfung teil. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle Schüler spätestens nach der ersten Wiederholung bestanden haben?

13 13 Binomialverteilung n k B(n; p; k) p =0,15 p =0,30 p =0,40 p =0,60 k B (n; p;i) B(n; p; k) B (n; p;i) B(n; p; k) B (n; p;i) B(n; p; k) B (n; p;i) i= 0 k i= ,0002 0, ,0010 0, ,0035 0, ,0093 0, ,0205 0, ,0382 0, ,0615 0, ,0869 0,2211 0, ,1088 0,3300 0,0001 0, ,1222 0,4522 0,0004 0, ,1240 0,5762 0,0009 0, ,1145 0,6907 0,0021 0, ,0967 0,7874 0,0043 0, ,0751 0,8625 0,0081 0, ,0538 0,9163 0,0142 0,0302 0,0001 0, ,0358 0,9520 0,0228 0,0531 0,0002 0, ,0221 0,9741 0,0343 0,0873 0,0004 0, ,0127 0,9868 0,0479 0,1352 0,0009 0, ,0093 0,9937 0,0626 0,1978 0,0019 0, ,0093 0,9971 0,0767 0,2745 0,0036 0, ,0093 0,9988 0,0881 0,3627 0,0065 0, ,0093 0,9995 0,0953 0,4579 0,0109 0, ,0093 0,9998 0,0970 0,5549 0,0172 0, ,0093 0,9999 0,0931 0,6479 0,0257 0, ,0093 0,0844 0,7323 0,0363 0, ,0723 0,8046 0,0484 0, ,0587 0,8633 0,0610 0, ,0451 0,9084 0,0729 0, ,0328 0,9413 0,0827 0, ,0227 0,9640 0,0889 0,4576 0,0001 0, ,0149 0,9789 0,0907 0,5484 0,0001 0, ,0093 0,9882 0,0880 0,6364 0,0003 0, ,0055 0,9937 0,0811 0,7175 0,0006 0, ,0031 0,9968 0,0711 0,7885 0,0012 0, ,0017 0,9984 0,0592 0,8477 0,0023 0, ,0008 0,9993 0,0469 0,8947 0,0041 0, ,0004 0,9997 0,0354 0,9301 0,0070 0, ,0002 0,9999 0,0254 0,9555 0,0113 0, ,0001 0,9999 0,0174 0,9729 0,0174 0, ,0113 0,9842 0,0254 0, ,0070 0,9912 0,0354 0, ,0041 0,9953 0,0469 0, ,0023 0,9976 0,0592 0, ,0012 0,9988 0,0711 0, ,0006 0,9995 0,0811 0, ,0003 0,9998 0,0880 0, ,0001 0,9999 0,0907 0, ,0001 0,0889 0, ,0827 0, ,0729 0, ,0610 0, ,0484 0,8963 k i= 0 k i= 0

14 14 Normalverteilung x ϕ(x) Φ(x) x ϕ(x) Φ(x) x ϕ(x) Φ(x) x ϕ(x) Φ(x) 0,00 0, , ,60 0, , ,20 0, , ,80 0, , ,01 0, , ,61 0, , ,21 0, , ,81 0, , ,02 0, , ,62 0, , ,22 0, , ,82 0, , ,03 0, , ,63 0, , ,23 0, , ,83 0, , ,04 0, , ,64 0, , ,24 0, , ,84 0, , ,05 0, , ,65 0, , ,25 0, , ,85 0, , ,06 0, , ,66 0, , ,26 0, , ,86 0, , ,07 0, , ,67 0, , ,27 0, , ,87 0, , ,08 0, , ,68 0, , ,28 0, , ,88 0, , ,09 0, , ,69 0, , ,29 0, , ,89 0, , ,10 0, , ,70 0, , ,30 0, , ,90 0, , ,11 0, , ,71 0, , ,31 0, , ,91 0, , ,12 0, , ,72 0, , ,32 0, , ,92 0, , ,13 0, , ,73 0, , ,33 0, , ,93 0, , ,14 0, , ,74 0, , ,34 0, , ,94 0, , ,15 0, , ,75 0, , ,35 0, , ,95 0, , ,16 0, , ,76 0, , ,36 0, , ,96 0, , ,17 0, , ,77 0, , ,37 0, , ,97 0, , ,18 0, , ,78 0, , ,38 0, , ,98 0, , ,19 0, , ,79 0, , ,39 0, , ,99 0, , ,20 0, , ,80 0, , ,40 0, , ,00 0, , ,21 0, , ,81 0, , ,41 0, , ,01 0, , ,22 0, , ,82 0, , ,42 0, , ,02 0, , ,23 0, , ,83 0, , ,43 0, , ,03 0, , ,24 0, , ,84 0, , ,44 0, , ,04 0, , ,25 0, , ,85 0, , ,45 0, , ,05 0, , ,26 0, , ,86 0, , ,46 0, , ,06 0, , ,27 0, , ,87 0, , ,47 0, , ,07 0, , ,28 0, , ,88 0, , ,48 0, , ,08 0, , ,29 0, , ,89 0, , ,49 0, , ,09 0, , ,30 0, , ,90 0, , ,50 0, , ,10 0, , ,31 0, , ,91 0, , ,51 0, , ,11 0, , ,32 0, , ,92 0, , ,52 0, , ,12 0, , ,33 0, , ,93 0, , ,53 0, , ,13 0, , ,34 0, , ,94 0, , ,54 0, , ,14 0, , ,35 0, , ,95 0, , ,55 0, , ,15 0, , ,36 0, , ,96 0, , ,56 0, , ,16 0, , ,37 0, , ,97 0, , ,57 0, , ,17 0, , ,38 0, , ,98 0, , ,58 0, , ,18 0, , ,39 0, , ,99 0, , ,59 0, , ,19 0, , ,40 0, , ,00 0, , ,60 0, , ,20 0, , ,41 0, , ,01 0, , ,61 0, , ,21 0, , ,42 0, , ,02 0, , ,62 0, , ,22 0, , ,43 0, , ,03 0, , ,63 0, , ,23 0, , ,44 0, , ,04 0, , ,64 0, , ,24 0, , ,45 0, , ,05 0, , ,65 0, , ,25 0, , ,46 0, , ,06 0, , ,66 0, , ,26 0, , ,47 0, , ,07 0, , ,67 0, , ,27 0, , ,48 0, , ,08 0, , ,68 0, , ,28 0, , ,49 0, , ,09 0, , ,69 0, , ,29 0, , ,50 0, , ,10 0, , ,70 0, , ,30 0, , ,51 0, , ,11 0, , ,71 0, , ,31 0, , ,52 0, , ,12 0, , ,72 0, , ,32 0, , ,53 0, , ,13 0, , ,73 0, , ,33 0, , ,54 0, , ,14 0, , ,74 0, , ,34 0, , ,55 0, , ,15 0, , ,75 0, , ,35 0, , ,56 0, , ,16 0, , ,76 0, , ,36 0, , ,57 0, , ,17 0, , ,77 0, , ,37 0, , ,58 0, , ,18 0, , ,78 0, , ,38 0, , ,59 0, , ,19 0, , ,79 0, , ,39 0, ,99158