Gymnasium Oberwil / Maturitätsprüfung Mathematik

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1 Mathematik Verwenden Sie bitte für jede Aufgabe eine neue Seite. Dauer: Hilfsmittel: Bewertung: Vier Stunden Formeln, Tabellen, Begriffe (DMK), Taschenrechner TI-83, TI-83+, TI-84, TI-84+, TI-84+ Silver Edition Es gelten die Taschenrechner-Bestimmungen des Gymnasiums Oberwil. maximal 73 Punkte Die erreichbare Punktzahl ist bei jeder Aufgabe angeschrieben. Für die Note 6 ist nicht die volle Punktzahl erforderlich. 1. Vom Parallelogramm ABCD kennt = 11 Punkte man die Eckpunkte A(2, 7, " 5), B(2, 0, 9) und C(11, 1, 13). a) Bestimmen Sie den fehlenden Eckpunkt D des Parallelogramms. b) Bestimmen Sie den Schnittpunkt M der beiden Diagonalen. c) Bestimmen Sie den Winkel " = #ABC. d) Bestimmen Sie die Koordinatengleichung der Ebene ", in der das Parallelogramm liegt. e) Welcher Punkt P der Geraden durch AC liegt am nächsten bei B? f) Das Parallelogramm ABCD wird um 90 um die Diagonale AC rotiert und wird dabei zum Parallelogramm AB * CD*. Bestimmen Sie die Koordinaten eines der beiden möglichen Eckpunkte B *. 1 / 5

2 2. Gegeben ist die Funktion f mit = 13 Punkte y = f (x) = 3x 2 x a) Bestimmen Sie den Definitionsbereich von f, die Symmetrieeigenschaft des Graphen und das Verhalten von f für x " ± #. b) Bestimmen Sie die Hoch- und Tiefpunkte von f. c) Zeigen Sie, dass die Funktion F mit F(x) = 3 4 " ln(2 x 2 +1) eine Stammfunktion von f ist. d) Der Punkt P ( 1,?) liegt auf dem Graphen der Funktion f. 2 t ist die Tangente an den Graphen von f im Punkt P. Diese Tangente, der Graph von f und die y-achse begrenzen ein Flächenstück. Bestimmen Sie dessen Inhalt. e) Für jedes u (u " IR, u > 0) sind die Punkte A(0, 0), B( 3, 0) und C(u, f (u)) Eckpunkte eines Dreiecks. Berechnen Sie alle Werte u, für die das Dreieck ABC den Flächeninhalt 1 besitzt. f) Für jedes a (a " IR, a # 0) ist eine Funktion g a durch g a (x) = a" f (x) (x # IR ) gegeben. Ermitteln Sie den Wert a, für den die Tangente an den Graphen der Funktion g a an der Stelle x = 1 parallel zur Geraden y = x + 2 verläuft. 3. Gegeben ist der Kegelschnitt = 7 Punkte H: 2 x 2 " y 2 " 4 x " 4 y " 4 = 0. a) Zeigen Sie, dass H eine Hyperbel ist, bestimmen Sie ihren Mittelpunkt, die Scheitel und die Gleichungen ihrer Asymptoten (exakte Resultate). b) Bestimmen Sie die Punkte auf der Hyperbel H, deren Abstand vom Hyperbelmittelpunkt 5 beträgt. 2 / 5

3 4. Gegeben ist ein Viertelkreis mit Mittel = 7 Punkte punkt A(0, 0) und Radius R. Die Senkrechte im Punkt D( a, 0) mit 0 " a " R schneidet die Gerade durch BC im Punkt F und den Viertelkreis im Punkt E (vgl. Skizze). d ist der Abstand von E zu F. a) Berechnen Sie d für a = 1 3 und R = 1. b) Drücken Sie d allgemein durch R und a aus. Für welches a wird d maximal? 5. Die beiden Teilaufgaben a) und b) sind unabhängig = 9 Punkte voneinander lösbar. a) Lösen Sie das folgende Gleichungssystem von Hand: (1+ i) z 1 " z 2 = i z 1 + (1+ i) z 2 = 3i " 3 0 b) Gegeben ist die Abbildung w = i z b 1 ) Bestimmen Sie die Fixpunkte dieser Abbildung (Resultate exakt in Normalform). b 2 ) Zeigen Sie, dass das Bild der Geraden y = 1 ein Kreis ist. Geben Sie dessen Mittelpunkt und Radius an. 3 / 5

4 6. Äpfel können durch zu langes Lagern mehlig werden = 9 Punkte Diese Eigenschaft ist äusserlich nicht zu erkennen. a) Eine Apfelsorte enthält nach einer Lagerzeit von einem Monat etwa 20% mehlige Früchte. Bestimmen Sie für Äpfel dieser Sorte mit einer einmonatigen Lagerzeit die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: a 1 ) Unter 7 Äpfeln befinden sich genau 2 mehlige. a 2 ) Unter 20 Äpfel befinden sich mindestens 2 mehlige. a 3 ) Unter 100 Äpfeln befinden sich mindestens 15, aber höchstens 25 mehlige. b) Ein Supermarkt bezieht seine Äpfel von zwei Lieferanten A und B. Lieferant A liefert 70% der Äpfel. Von diesen Äpfeln sind 10% mehlig; insgesamt sind 13% aller gelieferten Äpfel mehlig. Ermitteln Sie, welcher Lieferant prozentual, welcher zahlenmässig weniger mehlige Äpfel liefert. c) Eine Lieferung Äpfel kommt bei einem Obsthändler verspätet an. Dieser ist nicht sicher, ob die Ladung den in solchen Fällen üblichen Anteil von etwa 20% mehligen Früchten enthält oder ob sich der Anteil der mehligen Äpfel durch die Verspätung vergrössert hat. Der Obsthändler will 40 zufällig ausgewählten Äpfel überprüfen. Er stellt folgende Nullhypothese auf: H 0 : p " 0.2. c 1 ) Ermitteln Sie den Annahme- und den Verwerfungsbereich für ein Signifikanzniveau von " = 5%. c 2 ) Die Kontrolle ergibt 12 mehlige Äpfel. Was ist die Folgerung für den Obsthändler? 4 / 5

5 7. Gegeben sind die Kugel K mit Mittelpunkt = 9 Punkte M (1, 0, " 2) und Radius 15, " x % " 3 % " 4 % $ ' die Ebene E : x " 2 y " 2z " 41 = 0 und die Gerade g: y $ ' = $ ' ( 4 $ ' + t $ ' 1 $ ' # z & #(15 & # 1 & a) Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Geraden g mit der Kugel K. b) Zeigen Sie, dass die Ebene E die Kugel K schneidet, und bestimmen Sie den Mittelpunkt und den Radius des Schnittkreises. c) Die Kugel K berührt einen geraden Kreiskegel mit Spitze S von innen in dem Kreis, der in b) bestimmt wurde. Bestimmen Sie die Spitze S dieses Kegels. 8. Die Lebensdauer eines Menschen kann nach dem = 8 Punkte Mathematiker Gompertz wie folgt modelliert werden: Die Funktion y = f (t) = 100"e 0.01"(1#e 0.05t ) gibt die Anzahl der nach t Jahren noch lebenden Menschen in Prozent an (siehe Skizze rechts). a) Wie viel Prozent der Menschen werden mindestens 20 Jahre alt? b) Nach wie vielen Jahren lebt nur noch die Hälfte der Neugeborenen? c) Wie gross ist die momentane Abnahme nach 20 Jahren? d) Nach wie vielen Jahren ist die momentane Abnahme maximal? (Sie müssen nicht zeigen, dass wirklich ein Maximum vorliegt.) 5 / 5