SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2006 Mathematik (Grundkursniveau) Arbeitszeit: 210 Minuten

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1 Mathematik (Grundkursniveau) Arbeitszeit: 210 Minuten Es sind die drei Pflichtaufgaben und eine Wahlpflichtaufgabe zu lösen. Der Prüfling entscheidet sich für eine Wahlpflichtaufgabe. Die zur Bewertung vorgesehene Wahlpflichtaufgabe ist vom Prüfling anzukreuzen. Wahlpflichtaufgabe 4.1 Wahlpflichtaufgabe 4.2 (Unterschrift) Seite 1 von 5

2 Pflichtaufgaben Aufgabe 1 Analysis Gegeben sind Funktionen f a durch y = f a (x) = e x a 3, x R, a R. Ihre Graphen werden mit G a bezeichnet. a) Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen G a mit den Koordinatenachsen. Untersuchen Sie die Funktionen f a auf Monotonie, auf die Existenz von lokalen Extremstellen sowie auf ihr Verhalten für x ±. Zeichnen Sie den Graphen G 1 und seine Asymptote im Intervall 2 x 3. Geben Sie an, welchen Einfluss der Parameter a auf den Verlauf der Graphen G a hat. b) Die Tangente an den Graphen G 1 im Punkt P(0 f 1 (0)) und die Koordinatenachsen schließen eine Fläche F 1 vollständig ein. Der Graph G 1 und die Koordinatenachsen begrenzen eine Fläche F 2 vollständig. Berechnen Sie das Verhältnis der Inhalte der Flächen F 1 und F 2. c) Begründen Sie, dass zur Funktion f 1 eine Umkehrfunktion existiert. Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Umkehrfunktion sowie deren größtmöglichen Definitionsbereich und Wertebereich. Seite 2 von 5

3 Pflichtaufgaben Aufgabe 2 Analytische Geometrie Gegeben seien in einem kartesischen Koordinatensystem die Punkte P 1 (4 1 2), P 2 ( 2 6 1) und P 3 (8 2 1). a) Die drei gegebenen Punkte bestimmen die Ebene ε. Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung dieser Ebene. b) Die Ebene ε wird von den Koordinatenachsen in den Punkten A, B und C durchstoßen. Untersuchen Sie, ob das durch diese Punkte bestimmte Dreieck gleichseitig ist und berechnen Sie die Maßzahl seines Flächeninhaltes. c) Der Punkt D(9 9 11) sei Eckpunkt eines Prismas ABCDEF, dessen Grundfläche das Dreieck ABC ist. Zeigen Sie, dass dieses Prisma kein gerades Prisma ist und berechnen Sie die Maßzahl seiner Höhe. Seite 3 von 5

4 Pflichtaufgaben Aufgabe 3 Stochastik Monitore wurden im Dauerbetrieb getestet. Dabei ist festgestellt worden, wie lange die Monitore die Qualitätsnorm erfüllen. Die Übersicht zeigt die Wahrscheinlichkeit für das Erfüllen der Qualitätsnorm bezogen auf die Monitore der Typen MA und MB in Abhängigkeit von der Anzahl der Betriebstage. Betriebstage Wahrscheinlichkeit Monitor MA 0,99 0,98 0,94 0,86 0,50 Monitor MB 0,98 0,96 0,91 0,80 0,40 Die Testergebnisse werden unter Annahme von Binomialverteilung ausgewertet. a) Begründen Sie, warum die Annahme von Binomialverteilung gerechtfertigt ist. Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit von 100 Monitoren MB mindestens 50 am 732. Betriebstag die Qualitätsnorm erfüllen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 100 Monitoren MB mehr als 35 und weniger als 45 am 732. Betriebstag die Qualitätsnorm erfüllen. b) Von 1000 (ungetesteten) Monitoren MB sollen höchstens 50 am 183. Betriebstag die Qualitätsnorm nicht erfüllen. Berechnen Sie näherungsweise mithilfe der Standardnormalverteilung die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten dieses Ereignisses. c) Ermitteln Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Monitor MA, der am 101. Betriebstag die Qualitätsnorm erfüllt, auch nach weiteren 448 Betriebstagen die Qualitätsnorm erfüllen wird. Seite 4 von 5

5 Wahlpflichtaufgaben Aufgabe 4.1 Analysis Ein gleichseitiges Dreieck habe die Seitenlänge mit der Maßzahl s 1 = 10. Dieses Dreieck sei Figur 1. Zwei gleichseitige Dreiecke haben jeweils die Seitenlänge mit der Maßzahl s 2 = 5. Diese beiden Dreiecke seien die Figur 2. Jede weitere Figur entsteht aus ihrer Vorgängerfigur durch Halbieren der Seitenlängen der gleichseitigen Dreiecke und durch Verdoppeln der Anzahl der gleichseitigen Dreiecke (siehe Abbildung). Ermitteln Sie für die Figur k (k sei die Nummer der Figur; k N; k 1) die Anzahl der gleichseitigen Dreiecke, die Maßzahl des Umfangs u k und die Maßzahl des Flächeninhaltes A k in Abhängigkeit von k. Ermitteln Sie die Grenzwerte der Folgen (u k ) und (A k ) für k. Wahlpflichtaufgaben Aufgabe 4.2 Analytische Geometrie Gegeben seien in einem kartesischen Koordinatensystem ein Punkt A(4 6) sowie die Vektoren v 1 = und. Durch Verschiebung des Punktes A mit dem Vektor bzw. mit v 2 = v 1 3 dem Vektor v 2 werden die Punkte B bzw. C bestimmt. a) Ermitteln Sie die Koordinaten der Punkte B und C. Auf der Winkelhalbierenden des Winkels BAC liegt der Mittelpunkt M eines Kreises mit einem Radius von 2 13 Längeneinheiten. Dieser Kreis berührt die Geraden AB und AC in den Punkten T 1 (34 26) bzw. T 2. Ermitteln Sie eine Gleichung dieses Kreises. b) Das oben verwendete Koordinatensystem wird zu einem kartesischen Koordinatensystem des Raumes unter Beibehaltung der x-y-ebene erweitert. Der Punkt S(6,5 8,5 16) sei Spitze der Pyramide AT 1 MT 2 S. Berechnen Sie die Maßzahl des Volumens dieser Pyramide. Seite 5 von 5