Hinweise für Schüler

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1 Abitur 2004 Mathematik Lk Seite 2 Hinweise für Schüler Aufgabenauswahl: Bearbeitungszeit: Die Arbeit besteht aus einem Pflichtteil und einem Wahlteil. Von den Pflichtaufgaben P1 und P2 ist eine auszuwählen und vollständig zu bearbeiten. Von den vier Wahlaufgaben W1 bis W4 sind zwei auszuwählen und zu lösen. Wurde im Pflichtteil die Aufgabe P2 gewählt, muss im Wahlteil mindestens eine der Aufgaben W3 oder W4 gewählt werden. Die Arbeitszeit beträgt 300 Minuten zuzüglich 30 Minuten für die Aufgabenauswahl. Hilfsmittel: das an der Schule eingeführte Tafelwerk der an der Schule zugelassene Taschenrechner ohne CAS Zeichengeräte Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Hinweis: Sonstiges: Die Lösungen sind in einer sprachlich korrekten, mathematisch eakten und äußerlich einwandfreien Form darzustellen. In der Niederschrift müssen die Lösungswege nachvollziehbar sein. Entwürfe können ergänzend zur Bewertung nur herangezogen werden, wenn sie zusammenhängend konzipiert sind und die Reinschrift etwa Dreiviertel des zu erreichenden Gesamtumfanges beinhaltet. Maimal zwei Bewertungseinheiten können zusätzlich vergeben werden bei guter Notation und Darstellung, eleganter, kreativer und rationeller Lösung, vollständiger Lösung einer dritten Wahlaufgabe. Maimal zwei Bewertungseinheiten können bei mehrfachen Verstößen gegen mathematische Korrektheit abgezogen werden.

2 Abitur 2004 Mathematik Lk Seite 3 P1 Analysis, analytische Geometrie, Stochastik 1.1 Gegeben ist die Funktionenschar f a mit f a () = a + a, R, a R. Die zugehörige Kurvenschar in einem kartesischen Koordinatensystem ist G a Zeigen Sie, dass alle Graphen der Kurvenschar G a genau zwei Wendepunkte besitzen, und berechnen Sie deren Koordinaten in Abhängigkeit von a Für genau einen Wert von a haben die Wendepunkte von G a den kleinsten Abstand voneinander. Berechnen Sie diesen Parameterwert a Für a = 0 schließen der Graph G 0 und die -Achse eine Fläche ein. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche Eine Funktion g ist für alle R differenzierbar. Die Funktion g besitzt eine Stelle P R, für die gilt: g'() < g'( P ) für alle < P und g'() < g'( P ) für alle > P. Interpretieren Sie diesen Sachverhalt, und deuten Sie ihn geometrisch hinsichtlich des Graphen von g. 1.3 Gegeben ist ein Würfel mit einer Kantenlänge von 5 Längeneinheiten. In dem Würfel liegt ein regelmäßiges Tetraeder ABCD (siehe Skizze). z 5 w r B C D u r v r 5 y 5 A r r r Die Vektoren u, v, w sind als Basisvektoren gegeben. r r r Geben Sie die Vektoren a = DA, b = DB und c = DC nur in Abhängigkeit von den Vektoren u, r v r und w r an. r r r Stellen Sie einen der Vektoren u, v oder w als Linearkombination von r r r a, b und c dar Einer der Punkte P(2/4/z), z R, liegt auf der Seitenfläche DAB des Tetraeders. Berechnen Sie die z-koordinate von P.

3 Abitur 2004 Mathematik Lk Seite Gegeben ist eine Bernoulli-Kette der Länge n mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 0,3. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der eintretenden Erfolge an Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse. A: Bei einem 20-stufigen Vorgang treten genau 7 Erfolge ein. B: Bei einem 10-stufigen Vorgang treten mehr als 2 und weniger als 6 Erfolge ein Ermitteln Sie den Erwartungswert µ und die Standardabweichung σ von X für n = 5 und n = 15. Stellen Sie fest, welche Werte der Zufallsvariablen X für n = 5 bzw. n = 15 im Intervall [ µ - 2σ ; µ + 2σ ] liegen Wie groß muss n mindestens gewählt werden, damit das Intervall [ µ - 2σ ; µ + 2σ ] vollständig im Intervall [ 0; n ] enthalten ist?

4 Abitur 2004 Mathematik Lk Seite 5 P2 Analysis 2.1 Gegeben ist die Funktionenschar f a mit f() = a 4 4a+ a, R, a R. Die zugehörige Kurvenschar in einem kartesischen Koordinatensystem ist G a Zeigen Sie, dass alle Graphen der Kurvenschar G a genau zwei Wendepunkte besitzen, und berechnen Sie deren Koordinaten in Abhängigkeit von a Für genau einen Wert von a haben die Wendepunkte von G a den kleinsten Abstand voneinander. Berechnen Sie diesen Parameterwert a Für a = 0 schließen der Graph G 0 und die -Achse eine Fläche ein. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche Eine Funktion g ist für alle R differenzierbar. Die Funktion g besitzt eine Stelle P R, für die gilt: g'() < g'( P ) für alle < P und g'() < g'( P ) für alle > P. Interpretieren Sie diesen Sachverhalt, und deuten Sie ihn geometrisch hinsichtlich des Graphen von G Die Skizze zeigt die Graphen der ersten drei Ableitungen einer ganzrationalen Funktion f. y Beschreiben Sie das Monotonieverhalten von der unbekannten Funktion f sowie die Krümmung ihres Graphen. Skizzieren Sie einen möglichen Verlauf des Graphen von f Beweisen Sie: Der Graph jeder ganzrationale Funktion 3. Grades besitzt genau einen Wendepunkt. 2.4 Gegeben ist die Funktion w durch die Gleichung w() = 12 2, R, An der Stelle 0 = 4 wird die Tangente an den Graphen von w gelegt. Ermitteln Sie die Koordinaten des Schnittpunktes der Tangenten mit der y-achse. Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem die Tangente die Ordinatenachse schneidet Der Punkt C(u/w(u)) mit u R, u > 0, ist ein Punkt des Graphen von w. Für welchen Wert von u hat das Rechteck mit den Eckpunkten A(0/0), B(u/0), C(u/w(u)) und D(0/w(u)) einen maimalen Flächeninhalt?

5 Abitur 2004 Mathematik Lk Seite 6 W1 Analysis Gegeben ist eine Schar von Funktionen f a mit f a () = ln( 2 + a), a R, a > 0. Der zu f a gehörige Graph ist G a (siehe Skizze für a=5 und a=0,25). y G 5 G 0, Bestimmen Sie den Definitionsbereich von f a und die Koordinaten der Schnittpunkte von G a mit den Koordinatenachsen. 1.2 Untersuchen Sie die Funktionen f a auf Symmetrie und berechnen Sie die Koordinaten der Etrem- und Wendepunkte von G a. 1.3 Der Achsenschnitt eines geraden Kreiskegels ist durch folgende Punkte bestimmt: A( a / ln(2a) ), B( a / ln(2a) ) und O(0/0). Die Punkte A und B liegen auf G a. Die Spitze des Kegels ist O. Ermitteln Sie, für welchen Wert von a mit 0 < a < 0,5 das Volumen des Kegels den größten Wert annimmt. 1.4 Eine Gerade h ist durch die Gleichung y = ln(10) gegeben. Die Gerade h, der Graph G 5 und die y-achse schließen für 0 eine Fläche ein. Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der bei Rotation dieser Fläche um die y-achse entsteht.

6 Abitur 2004 Mathematik Lk Seite 7 W2 Analysis Gegeben sind die Funktionen g und h mit den Gleichungen: g( ) = + 5, R, 0, h( ) = 2 4, R. 2 Die zugehörigen Graphen sind G und H (siehe Skizze) Die Graphen G und H schließen für > 0 eine Fläche vollständig ein. Ermitteln Sie den Inhalt dieser Fläche. G y 1 2 H An den Graphen G wird im Punkt N(-2/0) die Normale n gelegt. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente t an H, die zu n parallel verläuft. 2.2 Eine Parabelschar wird mit 2 pk ( ) = k 4, R, k N gegeben. Zeigen Sie, dass für k 2 diese Parabeln keinen gemeinsamen Punkt mit dem Graphen G haben. 2.3 Die Funktionswerte von g und die der Funktion r mit der Gleichung 1 2 r() = + 5, R, 4 nähern sich für ± einander an. Berechnen Sie, für welche Werte von folgende Ungleichung gilt: 1 r () g() < Eine Funktion f ist gegeben durch die Gleichung 2 c f ( ) = a + b + 2, R, 0, a, b, c R. Stellen Sie ein Gleichungssystem für die Bestimmung der Parameter a, b und c so auf, dass folgende Bedingungen erfüllt sind: - f hat an der Stelle = 2 eine Nullstelle, - die Tangente an den Graphen von f im Punkt ( 4/0) schneidet die y-achse im Punkt S(0/6). Berechnen Sie die Werte von a, b und c.

7 Abitur 2004 Mathematik Lk Seite 8 W3 Analytische Geometrie In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Eckpunkte eines Prismas gegeben: A(1/-2/-3), B(3/4/-1), C(1/3/1), D(0/0/0), E(5/2/5), F(7/8/7), G(/y/z), H(4/4/8). Die Grundfläche des Prismas ist das Viereck ABCD. 3.1 Zeichnen Sie das Prisma in einem Koordinatensystem und berechnen Sie die Koordinaten des Eckpunktes G. Weisen Sie nach, dass die Grundfläche ABCD des Prismas ein Trapez ist, und berechnen Sie dessen Flächeninhalt. 3.2 Untersuchen Sie, ob der gegebene Körper ein gerades Prisma ist. Prüfen Sie, ob der Punkt R(3/2/0) in der Seitenfläche ABFE des Prismas liegt. 3.3 Es werden Ebenen betrachtet, die durch die Eckpunkte B und D sowie einen Punkt T auf der Kante AE des Prismas verlaufen Untersuchen Sie, ob es unter diesen Ebenen eine gibt, die mit dem Prisma ein gleichseitiges Dreieck als Schnittfigur hat. Bestimmen Sie gegebenenfalls eine Koordinatengleichung für eine derartige Ebene Prüfen Sie, ob es unter den betrachteten Ebenen eine gibt, die die Kante AE rechtwinklig schneidet.

8 Abitur 2004 Mathematik Lk Seite 9 W4 Stochastik Eine Firma produziert Pfeile zum Bogenschießen, die mit einer Quote von 5 % fehlerhaft sind. Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der fehlerhaft produzierten Pfeile. 4.1 Bei einer Qualitätskontrolle werden 100 Pfeile kontrolliert. Unter welchen Bedingungen liegt für die Qualitätskontrolle eine Bernoulli-Kette vor? Die Zufallsvariable X ist annähernd binomialverteilt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse. A: Es sind genau sechs Pfeile nicht in Ordnung. B: Weniger als 92 Pfeile entsprechen den Anforderungen. C: Mindestens 90 und höchstens 98 Pfeile können verwendet werden. 4.2 Bei einer größeren Sendung von Pfeilen werden 100 auf Mängel geprüft. Sind mindestens 8 Pfeile fehlerhaft, wird die Lieferung zurückgeschickt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Lieferung, die eine Fehlerquote von höchstens 5 % hat, fälschlicherweise zurückgeschickt wird. Wie muss die Entscheidungsregel geändert werden, damit bei gleichem Stichprobenumfang das Risiko, eine Sendung mit mehr als 5 % fehlerhaften Pfeilen anzunehmen, kleiner als 12 % ist? 4.3 Eine Zielscheibe besteht beim Bogenschießen aus 4 konzentrischen Ringen mit einer Breite von jeweils 6 cm und einem Mittelkreis mit dem Radius r = 6 cm, somit hat die Scheibe einen Durchmesser von 60 cm. Die Flächen mit den Punkten 1, 2, 3, 4 und 5 sind unterschiedlich gefärbt (siehe Skizze) Für die Farbgestaltung stehen die Farben weiß, rot, blau, grün und schwarz zur Verfügung. Wie viele Möglichkeiten der Farbanordnung gibt es, wenn Farbwiederholungen ausgeschlossen werden? Begründen Sie Ihre Antwort Die Zufallsvariable Y zählt die Anzahl der erreichten Punkte bei einmaligem Schießen (jeder Schuss trifft die Scheibe). Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y an. Dabei wird vorausgesetzt, dass jeder Quadratzentimeter der Scheibe mit gleicher Wahrscheinlichkeit getroffen wird Berechnen Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung von Y. Untersuchen Sie den Wahrheitsgehalt der Aussagen I und II. I Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen ist stets der Wert der Zufallsvariablen mit der größten Wahrscheinlichkeit. II Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen ist stets ein Wert der Zufallsvariablen. Summierte binomiale Wahrscheinlichkeiten F = P(X k) 100;0,05; k k P(X k) 0,0059 0,0371 0,1183 0,2578 0,4360 0,6160 0,7660 0,8720 0,9369 0,9718 0,9885 0,9957 0,9985 0,9995 0,9999