Mecklenburg-Vorpommern

Transkript

1 Mecklenburg-Vorpommern Zentralabitur 2006 Mathematik Leistungskurs CAS Aufgaben

2 Abitur 2006 Mathematik LK (CAS) Seite 2 Hinweise für Schüler Aufgabenauswahl: Bearbeitungszeit: Die Arbeit besteht aus einem Pflichtteil und einem Wahlteil. Die Pflichtaufgaben P1, P2 und P3 sind vollständig zu bearbeiten. Von den drei Wahlaufgaben W1, W2 und W3 sind zwei auszuwählen und zu lösen. Die Arbeitszeit beträgt 300 Minuten zuzüglich 30 Minuten für die Aufgabenauswahl. Hilfsmittel: das an der Schule eingeführte Tafelwerk, der an der Schule zugelassene Taschenrechner mit CAS, Zeichengeräte, Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Hinweis: Sonstiges: Die Lösungen sind in einer sprachlich korrekten, mathematisch exakten und äußerlich einwandfreien Form darzustellen. In der Niederschrift müssen die Lösungswege nachvollziehbar sein. Entwürfe können ergänzend zur Bewertung nur herangezogen werden, wenn sie zusammenhängend konzipiert sind und die Reinschrift etwa Dreiviertel des zu erreichenden Gesamtumfanges beinhaltet. Maximal zwei Bewertungseinheiten können zusätzlich vergeben werden bei guter Notation und Darstellung, eleganter, kreativer und rationeller Lösung, vollständiger Lösung einer dritten Wahlaufgabe. Maximal zwei Bewertungseinheiten können bei mehrfachen Verstößen gegen mathematische Korrektheit und äußere Form abgezogen werden.

3 Abitur 2006 Mathematik LK (CAS) Seite 3 P1 Analytische Geometrie (11 BE) Gegeben ist ein gerades Prisma ABCDEFGH mit dem Parallelogramm ABCD als Grundfläche (siehe Abbildung). 1.1 Ersetzen Sie die Leerstellen so durch einen der Buchstaben A, B, C, D, E, F, G oder H, dass jeweils eine wahre Aussage entsteht. BE + FG = C F = AF 1.2 Gegeben sind vom Körper ABCDEFGH folgende Eckpunkte. A(0 0 0) B(1 4 0) C( ) D( 260) E(0 0 5) F(1 4 5) G( ) H( 265) Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung der Ebene ε BDHF. Berechnen Sie die Größe des Schnittwinkels α zwischen der Geraden g CE und dieser Ebene Die yz-ebene zerlegt den Körper ABCDEFGH in zwei Teilkörper. Berechnen Sie den Inhalt der Schnittfläche. P2 Analysis (16 BE) 2.1 Für jede positive reelle Zahl t ist die Funktion k t durch die Gleichung gegeben. k t (x) = t x t x mit x R Berechnen Sie die Stelle x 0 > 0, an der der Anstieg des Graphen von k t genau 9 t beträgt Der Graph von k t besitzt im 1. Quadranten eines kartesischen Koordinatensystems einen lokalen Extrempunkt E t. Berechnen Sie die Koordinaten dieses Extrempunktes und weisen Sie die Art des Extremums nach. Die Gerade g verläuft durch den Punkt E t und den Koordinatenursprung. Ermitteln Sie den Anstieg von g Für einen bestimmten Wert von t schließen der Graph von k t und die x-achse eine Fläche im 1. Quadranten mit dem Inhalt A = 72 FE vollständig ein. Berechnen Sie diesen Wert von t.

4 Abitur 2006 Mathematik LK (CAS) Seite Gegeben ist die Funktionenschar f a,b durch die Gleichung f a,b (x) = a x 3 + b x mit x R, a, b R, a 0, b Die Abbildung zeigt den Graphen einer speziellen Funktion dieser Schar. Begründen Sie, dass für die Parameter a und b dieser Funktion folgende Aussagen gelten: a > 0 und b < 0. y x Jede Funktion f a,b ist 1. Ableitungsfunktion von Funktionen g a,b. Geben Sie für g a,b eine mögliche Gleichung an Jede Funktion f a,b mit a > 0 und b < 0 ist Stammfunktion von Funktionen h a,b. Untersuchen Sie die Graphen von h a,b hinsichtlich ihres Krümmungsverhaltens. P3 Stochastik (11 BE) Der Betreiber einer Glücksspielhalle bietet folgendes Spiel an. Aus der dargestellten Urne werden auf gut Glück Kugeln gezogen. Der Auszahlungsbetrag ergibt sich als Summe der aufgedruckten Beträge in Cent. 3.1 Betrachtet wird zunächst das Spiel Zweimaliges Ziehen aus der Urne ohne Zurücklegen. Die Zufallsvariable X ist der Auszahlungsbetrag nach einem Spiel Ermitteln Sie mit Hilfe eines Baumdiagramms alle möglichen Werte von X. Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X in einem geeigneten Diagramm dar Der Betreiber verlangt vor jedem Spiel einen Einsatz. Berechnen Sie den Mindesteinsatz pro Spiel, damit der Betreiber auf lange Sicht keinen Verlust erzielt. 3.2 In einem weiteren Spiel wird aus der dargestellten Urne zehnmal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Es ist jeweils von Interesse, ob die 50-Cent-Kugel gezogen wird Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dabei höchstens zweimal 50 Cent zu erzielen Berechnen Sie die Anzahl der Ziehungen, die erforderlich sind, um mit mindestens 95%-iger Wahrscheinlichkeit wenigstens einmal eine Kugel mit dem Aufdruck 50 zu erhalten.

5 Abitur 2006 Mathematik LK (CAS) Seite 5 W 1 Analysis (21 BE) Die Funktion f ist gegeben durch ihre Gleichung 3 2 f(x) = 0, x 0,01 x 0,05 x + 70 Der lokale Tiefpunkt des zugehörigen Graphen heißt T. 1.1 Ermitteln Sie die Koordinaten von T. mit x R, x In der Nähe eines Wintersportortes y soll eine Skisprunganlage A umgestaltet werden. Die Skizze zeigt das geplante Profil des Hanges (alle Maße in Metern). Der Abschnitt von A bis L heißt Aufsprunghang; ab L beginnt P zukünftig die Auslaufzone. L Das geplante Profil kann von A bis T durch den Graphen der T Funktion f beschrieben werden. Ab T wird die Auslaufzone waagerecht verlaufen Mit der vorhandenen Technik kann man Hänge bis zu einem Neigungswinkel von 44 pflegen. Überprüfen Sie, ob für die Pflege des geplanten Hanges neue Technik angeschafft werden muss Unterhalb des Punktes, in dem der Hang am steilsten verläuft, wird durch die Punkte P und L die Landezone festgelegt. Dabei gilt, dass der Neigungswinkel des Hanges in P 37,4 beträgt und bis L auf 32,4 abnimmt. Die Weite eines Sprunges wird vom Punkt A bis zum Aufsprungpunkt längs des Hanges gemessen, so als ob ein Maßband auf dem Hang liegen würde. Bestimmen Sie die Sprungweiten, die in der geplanten Landezone liegen. 1.3 Zurzeit entspricht das Profil des Hanges mit Auslaufzone noch nicht den Planungen. Das noch vorhandene Profil kann durch den Graphen der Funktion h mit der Gleichung f(x) für 0 x < 90 h (x) = g(x) für 90 x 150,6 mit x R beschrieben werden. 10,6 für 150,6 < x 250 Der Graph der Funktion g ist geradlinig und durch die Punkte A(90 f(90)) und B(150,6 f(150,6)) begrenzt. Durch Erdarbeiten muss der Hang verändert werden, um das geplante Profil zu realisieren. Die Gesamtbreite des Aufsprunghanges und der Auslaufzone soll überall 15 m betragen. Berechnen Sie das Volumen des zu entfernenden Erdreiches. x

6 Abitur 2006 Mathematik LK (CAS) Seite 6 W2 Analytische Geometrie (21 BE) Auf einer schwimmenden Arbeitsbühne (Ponton) soll der Aufbau für eine Ramme errichtet werden (siehe Abbildung). Die Streben FS und GT sind schon angeschweißt und oben durch eine Querstrebe ST miteinander verbunden. z S T L H G K E D F C y x A B A(3,2 0 0) B(3,2 6,5 0) C(0 6,5 0) D(0 0 0) E(3,2 0 1) F(3,2 6,5 0,9) G(0 6,5 0,9) H(0 0 1) S(2,0 6,5 6,0) T(1,2 6,5 6,0) 2.1 Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Decksebene ε EFG und zeigen Sie, dass der Punkt H in dieser Ebene liegt. Weisen Sie nach, dass das Viereck ABCD ein Rechteck ist. Berechnen Sie den Neigungswinkel α der Decksebene bezüglich der Unterbodenebene ε ABC. 2.2 Es wird eine Strebe ES eingebaut. Eine weitere, möglichst kurze Stabilisierungsstrebe FP soll den Punkt F mit dem Punkt P auf ES verbinden. Berechnen Sie die Koordinaten des Befestigungspunktes P. Ermitteln Sie die Größe des Winkels zwischen den Streben FG und FS. 2.3 Die Decksfläche EFGH wird ausgebaut. Die Fläche des rechteckigen Decks KFGL soll um 40 % größer als die Unterbodenfläche ABCD werden. Der Punkt K muss auf der Geraden g FE und der Punkt L auf der Geraden g GH liegen. Berechnen Sie die Koordinaten von K und L.

7 Abitur 2006 Mathematik LK (CAS) Seite 7 W3 Analysis und analytische Geometrie (21 BE) Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f(x) = ln( x ) x + x + x mit x R und x 0. 2 Der zugehörige Graph ist G. 3.1 Bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von G mit der x-achse sowie die Koordinaten der Extrempunkte. 3.2 Die Gerade t mit der Gleichung t: y = 4 x 2,5 mit x R ist Tangente an G. Berechnen Sie die Koordinaten des zugehörigen Berührungspunktes. 3.3 Die Normale im Punkt P(1 f(1)) schneidet die x-achse. Dieser Schnittpunkt ist Mittelpunkt eines Kreises durch P. Ermitteln Sie eine Gleichung des Kreises. 3.4 Gegeben ist der Kreis K mit der Gleichung K: x 2-14 x + y ,75 = Berechnen Sie eine Gleichung der Tangente in Q(13 1,5) an K Für 1 < x < 2 schneidet der Graph G den Kreis K im Punkt S(x S y S ). Die Gerade x = x S, G und die x-achse schließen für x > x S eine Fläche vollständig ein. Ermitteln Sie den Inhalt dieser Fläche.