ABITURPRÜFUNG 2010 LEISTUNGSFACH MATHEMATIK

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1 ABITURPRÜFUNG 2010 LEISTUNGSFACH MATHEMATIK (HAUPTTERMIN) Bearbeitungszeit: 270 Minuten Hilfsmittel: Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Taschenrechner (nicht programmierbar, nicht graphikfähig) Tafelwerk Wählen Sie von den Aufgaben A1 und A2 eine sowie von den Aufgaben B1 und B2 eine zur Bearbeitung aus und lösen Sie die Pflichtaufgabe C! Rechts neben jeder Teilaufgabe steht die für diese Teilaufgabe maximal erreichbare Anzahl von Bewertungseinheiten (BE). ÖFFNUNG AM 23. APRIL 2010

2 2 Aufgabe A1 Für jede positive reelle Zahl t sei eine Funktion f t durch t y = ft (x) = ln 1 gegeben. x a) Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f t an! Untersuchen Sie den Graphen von f t auf Schnittpunkte mit der x-achse, auf lokale Extrempunkte und auf Wendepunkte! Bestimmen Sie gegebenenfalls deren Koordinaten! (Auf den Nachweis eventueller Wendepunkte wird verzichtet.) t ( ) Kontrollergebnis: ft (x) = x t x Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f 4! 10 BE b) Der Graph von 4 S 4 2; 0. Weisen Sie diese Symmetrie nach, indem Sie zeigen, dass 2 + x = f 2 x gilt! 2 BE ( ) ( ) f4 4 f ist symmetrisch zum Punkt ( ) c) Die Funktion F 4 sei eine Stammfunktion von f 4. Geben Sie aufgrund der Eigenschaften von f 4 zwei Eigenschaften von F 4 an und begründen Sie Ihre Aussagen! 4 BE d) Begründen Sie, dass f 4 eine Umkehrfunktion f 4 besitzt! Geben Sie den Wertebereich der Funktion f 4 an! Ermitteln Sie die Funktionsgleichung von f 4! Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f 4 in das Koordinatensystem aus Teilaufgabe a)! 5 BE

3 3 t e) An den Graphen von f t wird im Punkt S t ; 0 die Tangente g 2 angelegt. Die Gerade h steht im Punkt S t auf der Tangente senkrecht. Die Tangente g und die Koordinatenachsen begrenzen ein Dreieck mit dem Flächeninhalt A 1. Die Gerade h und die Koordinatenachsen begrenzen ein anderes Dreieck mit dem Flächeninhalt A 2. Bestimmen Sie alle ganzzahligen Werte von t, für die das Verhältnis A 1 : A2 eine natürliche Zahl ergibt! 6 BE f) Untersuchen Sie, ob es Funktionen f t gibt, für die der Anstieg des Graphen an keiner Stelle den Wert m = 1 annimmt! Geben Sie gegebenenfalls alle Werte von t an! 3 BE

4 Gegeben seien die Funktionen f und t 4 Aufgabe A2 g ( R) = f (x) = 1 sin( 2x) und = g (x) = 1+ t cos( x) ( R) y + y t t durch die Gleichungen x. Die Aufgabenstellungen a) bis e) beziehen sich auf das Intervall 0 x 2π. a) Skizzieren Sie die Graphen von f und g 2 in ein und dasselbe Koordinatensystem! Geben Sie an: - die kleinste Periode der Funktion f, - die Wertebereiche der Funktionen f und g 2, - die Koordinaten der gemeinsamen Punkte des Graphen von f mit den Koordinatenachsen! Die Graphen von f und g 2 besitzen genau zwei gemeinsame Punkte und begrenzen genau eine Fläche vollständig. Ermitteln Sie den Inhalt dieser Fläche! Geben Sie vom Graphen der Funktion g t die Koordinaten aller lokalen Extrempunkte und deren Art in Abhängigkeit von t an! 15 BE b) Geben Sie die Anzahl gemeinsamer Punkte der Graphen von f und g 0 an! Für welche Werte des Parameters t besitzen die Graphen der Funktionen f und g t genau zwei gemeinsame Punkte! 3 BE c) Beweisen Sie, dass für die (2n)-te Ableitung ( n N, n 1) der Funktion f (2n) f (x) = gilt! n n ( 1) 4 sin2x 4 BE

5 5 π d) Im Punkt W 1 ; 1 werden jeweils an die Graphen von f und g t 2 die Wendetangenten angelegt. Ermitteln Sie die zwei Werte des Parameters t, für die beide 2 π Tangenten mit der y-achse eine Fläche von FE 2 einschließen! 5 BE e) Die Wendetangenten an den Graphen vong t in den Punkten π 3π W 1 ; 1 und W 2 ; 1 sowie die Gerade mit der Gleichung 2 2 y = 1 begrenzen ein Dreieck. Ermitteln Sie die Werte des Parameters t, für die dieses Dreieck gleichseitig ist! 3 BE

6 6 Aufgabe B1 Gegeben ist ein kompaktes Werkstück ABCDEF mit den Eckpunkten A ( 6; 0; 0), B ( 0; 8; 0), C ( 0; 0; 0), D ( 6; 0; 10), E ( 0; 8; 11) und F ( 0; 0; 13). Alle Seitenflächen sind ebene Dreiecke bzw. ebene Trapeze. z F H E G D C B y x A Skizze nicht maßstäblich a) Die Punkte D, E und F bestimmen eine Ebene ε. Ermitteln Sie eine parameterfreie Ebenengleichung von ε! Geben Sie die Koordinaten des Punktes X an, in dem die x-achse die Ebene ε durchstößt! 4 BE b) Die Deckfläche DEF und die Seitenfläche ABED schließen im Inneren des Werkstücks einen Winkel ein. Berechnen Sie die Größe dieses Winkels! 4 BE c) Der Punkt L auf der Kante AB besitzt von F den kürzesten Abstand. Berechnen Sie die Koordinaten von L und den kürzesten Abstand! 4 BE

7 7 Das Werkstück wird in zwei Teile zersägt. Der Schnitt verläuft durch D und parallel zur Grundfläche ABC. Die Kante BE wird im Punkt G geschnitten, die Kante CF im Punkt H. Einer der Teilkörper ist ein Prisma, der andere eine Pyramide. d) Geben Sie die Koordinaten der Punkte G und H an! Berechnen Sie das Verhältnis der Volumina der beiden Teilkörper! 5 BE e) Durch das Prisma wird parallel zur z-achse gebohrt. Dabei soll der Rand des Bohrloches von allen drei Seitenflächen des Prismas gleich weit entfernt sein. M ist der Mittelpunkt der Bohrung in der Grundfläche ABC. Bestimmen Sie die Koordinaten von M! 3 BE

8 8 Aufgabe B2 Eine Sonde soll die Zusammensetzung der Gase untersuchen, die vom Südpol des Saturnmondes Enceladus entweichen. Eine Befragung ergab, dass 60 % der Astrophysiker einen messbaren Ethangehalt und 10 % der Astrophysiker einen messbaren Propangehalt vermuten. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse! A:= Von zehn Befragten vermuten genau vier einen messbaren Ethangehalt. B:= Von zehn Befragten vermuten mindestens vier einen messbaren Ethangehalt. C:= Von zehn Befragten vermutet erst der zehnte einen messbaren Ethangehalt. D:= Der dritte Befragte ist der zweite, der einen messbaren Ethangehalt vermutet. E:= Bei den ersten drei Befragten wechseln die Antworten zum messbaren Ethangehalt nach jeder Befragung. 6 BE b) Bei einer genaueren Auswertung der Umfrageergebnisse stellt man fest, dass alle Astrophysiker, die einen messbaren Propangehalt vermuten, auch einen messbaren Ethangehalt vermuten. Wie viel Prozent der Astrophysiker, die einen messbaren Ethangehalt vermuten, vermuten auch einen messbaren Propangehalt? 2 BE c) Bei einer Messung wird vorhandenes Ethin mit einer Wahrscheinlichkeit von 40 % nachgewiesen. Wie viele Messungen sind mindestens durchzuführen, damit vorhandenes Ethin nur mit einer Wahrscheinlichkeit von weniger als 0,5 % nicht nachgewiesen wird? 2 BE

9 9 Beim Bau der Sonde werden Dichtungen von hoher Qualität benötigt. Nur 80 % der Dichtungen, die eine Firma produziert, können nach erfolgreichem Durchlauf der Testreihen wirklich eingebaut werden. d) Wie viele Dichtungen dieser Firma müssen mindestens bestellt werden, damit sie mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % mindestens 400 brauchbare Dichtungen bekommt? 5 BE e) Ein Team vermutet, dass der Anteil brauchbarer Dichtungen dieser Firma nur noch 60 % beträgt. Legen Sie einen Prüfplan vor, der folgenden Kriterien genügt! 1. Es werden weniger als 100 Dichtungen geprüft. 2. Die Wahrscheinlichkeit, dieser Firma irrtümlich eine höhere Ausschussrate zu unterstellen, ist kleiner als 1 %. 3. Die Wahrscheinlichkeit, irrtümlich weiterhin nur von einer Ausschussrate von 20 % auszugehen, ist kleiner als 10 %. 5 BE

10 10 Aufgabe C a) Spiegelt man den Graphen der Funktion f mit der Gleichung x y = f (x) = e an der Geraden mit der Gleichung y = 1, erhält man den Graphen einer Funktion g. Geben Sie die Gleichung dieser Funktion g an! 2 BE b) Gegeben sind gebrochenrationale Funktionen mit Gleichungen 2 x ax der Form y = f (x) =. x + b Geben Sie die Gleichung einer dieser Funktionen an, deren Graph die schräge Asymptote y = x + 1 hat! 2 BE a durch a 1 = c und an+ 1 = 2an 1. (1) Berechnen Sie für c = 3 die ersten vier Folgenglieder! (2) Für welchen Wert von c ist die Folge ( a n ) eine konstante Folge? c) Gegeben sei eine Zahlenfolge ( ) n 2 BE d) Die Punkte A, B, C und D liegen in einer Ebene und bilden ein Viereck. Die Punkte M1, M2, M3und M 4 seien die Mittelpunkte der Viereckseiten. Zeigen Sie, dass das Viereck M 1M2M3M4 ein Parallelogramm ist! M 3 C D M 2 M 4 A M 1 B 2 BE

11 11 e) Matteo lernt Schach spielen und setzt seinen König rein zufällig. Er weiß nur, dass der König bei jedem Zug auf ein Nachbarfeld gesetzt werden muss. (Hinweis: Zwei Felder heißen benachbart, wenn sie mindestens einen Eckpunkt gemeinsam haben.) Matteos König steht auf dem Feld a1. a b c Mit welcher Wahrscheinlichkeit steht sein König nach zwei Zügen auf dem Feld a3? 2 BE

12 12 Normalverteilung x ϕ(x) Φ(x) x ϕ(x) Φ(x) x ϕ(x) Φ(x) x ϕ(x) Φ(x) 0,00 0, , ,60 0, , ,20 0, , ,80 0, , ,01 0, , ,61 0, , ,21 0, , ,81 0, , ,02 0, , ,62 0, , ,22 0, , ,82 0, , ,03 0, , ,63 0, , ,23 0, , ,83 0, , ,04 0, , ,64 0, , ,24 0, , ,84 0, , ,05 0, , ,65 0, , ,25 0, , ,85 0, , ,06 0, , ,66 0, , ,26 0, , ,86 0, , ,07 0, , ,67 0, , ,27 0, , ,87 0, , ,08 0, , ,68 0, , ,28 0, , ,88 0, , ,09 0, , ,69 0, , ,29 0, , ,89 0, , ,10 0, , ,70 0, , ,30 0, , ,90 0, , ,11 0, , ,71 0, , ,31 0, , ,91 0, , ,12 0, , ,72 0, , ,32 0, , ,92 0, , ,13 0, , ,73 0, , ,33 0, , ,93 0, , ,14 0, , ,74 0, , ,34 0, , ,94 0, , ,15 0, , ,75 0, , ,35 0, , ,95 0, , ,16 0, , ,76 0, , ,36 0, , ,96 0, , ,17 0, , ,77 0, , ,37 0, , ,97 0, , ,18 0, , ,78 0, , ,38 0, , ,98 0, , ,19 0, , ,79 0, , ,39 0, , ,99 0, , ,20 0, , ,80 0, , ,40 0, , ,00 0, , ,21 0, , ,81 0, , ,41 0, , ,01 0, , ,22 0, , ,82 0, , ,42 0, , ,02 0, , ,23 0, , ,83 0, , ,43 0, , ,03 0, , ,24 0, , ,84 0, , ,44 0, , ,04 0, , ,25 0, , ,85 0, , ,45 0, , ,05 0, , ,26 0, , ,86 0, , ,46 0, , ,06 0, , ,27 0, , ,87 0, , ,47 0, , ,07 0, , ,28 0, , ,88 0, , ,48 0, , ,08 0, , ,29 0, , ,89 0, , ,49 0, , ,09 0, , ,30 0, , ,90 0, , ,50 0, , ,10 0, , ,31 0, , ,91 0, , ,51 0, , ,11 0, , ,32 0, , ,92 0, , ,52 0, , ,12 0, , ,33 0, , ,93 0, , ,53 0, , ,13 0, , ,34 0, , ,94 0, , ,54 0, , ,14 0, , ,35 0, , ,95 0, , ,55 0, , ,15 0, , ,36 0, , ,96 0, , ,56 0, , ,16 0, , ,37 0, , ,97 0, , ,57 0, , ,17 0, , ,38 0, , ,98 0, , ,58 0, , ,18 0, , ,39 0, , ,99 0, , ,59 0, , ,19 0, , ,40 0, , ,00 0, , ,60 0, , ,20 0, , ,41 0, , ,01 0, , ,61 0, , ,21 0, , ,42 0, , ,02 0, , ,62 0, , ,22 0, , ,43 0, , ,03 0, , ,63 0, , ,23 0, , ,44 0, , ,04 0, , ,64 0, , ,24 0, , ,45 0, , ,05 0, , ,65 0, , ,25 0, , ,46 0, , ,06 0, , ,66 0, , ,26 0, , ,47 0, , ,07 0, , ,67 0, , ,27 0, , ,48 0, , ,08 0, , ,68 0, , ,28 0, , ,49 0, , ,09 0, , ,69 0, , ,29 0, , ,50 0, , ,10 0, , ,70 0, , ,30 0, , ,51 0, , ,11 0, , ,71 0, , ,31 0, , ,52 0, , ,12 0, , ,72 0, , ,32 0, , ,53 0, , ,13 0, , ,73 0, , ,33 0, , ,54 0, , ,14 0, , ,74 0, , ,34 0, , ,55 0, , ,15 0, , ,75 0, , ,35 0, , ,56 0, , ,16 0, , ,76 0, , ,36 0, , ,57 0, , ,17 0, , ,77 0, , ,37 0, , ,58 0, , ,18 0, , ,78 0, , ,38 0, , ,59 0, , ,19 0, , ,79 0, , ,39 0, ,99158

13 13 Normalverteilung x ϕ(x) Φ(x) x ϕ(x) Φ(x) x ϕ(x) Φ(x) x ϕ(x) Φ(x) 2,40 0, , ,00 0, , ,60 0, , ,20 0, , ,41 0, , ,01 0, , ,61 0, , ,21 0, , ,42 0, , ,02 0, , ,62 0, , ,22 0, , ,43 0, , ,03 0, , ,63 0, , ,23 0, , ,44 0, , ,04 0, , ,64 0, , ,24 0, , ,45 0, , ,05 0, , ,65 0, , ,25 0, , ,46 0, , ,06 0, , ,66 0, , ,26 0, , ,47 0, , ,07 0, , ,67 0, , ,27 0, , ,48 0, , ,08 0, , ,68 0, , ,28 0, , ,49 0, , ,09 0, , ,69 0, , ,29 0, , ,50 0, , ,10 0, , ,70 0, , ,30 0, , ,51 0, , ,11 0, , ,71 0, , ,31 0, , ,52 0, , ,12 0, , ,72 0, , ,32 0, , ,53 0, , ,13 0, , ,73 0, , ,33 0, , ,54 0, , ,14 0, , ,74 0, , ,34 0, , ,55 0, , ,15 0, , ,75 0, , ,35 0, , ,56 0, , ,16 0, , ,76 0, , ,36 0, , ,57 0, , ,17 0, , ,77 0, , ,37 0, , ,58 0, , ,18 0, , ,78 0, , ,38 0, , ,59 0, , ,19 0, , ,79 0, , ,39 0, , ,60 0, , ,20 0, , ,80 0, , ,40 0, , ,61 0, , ,21 0, , ,81 0, , ,41 0, , ,62 0, , ,22 0, , ,82 0, , ,42 0, , ,63 0, , ,23 0, , ,83 0, , ,64 0, , ,24 0, , ,84 0, , ,51 0, , ,65 0, , ,25 0, , ,85 0, , ,52 0, , ,66 0, , ,26 0, , ,86 0, , ,67 0, , ,27 0, , ,87 0, , ,75 0, , ,68 0, , ,28 0, , ,88 0, , ,76 0, , ,69 0, , ,29 0, , ,89 0, , ,70 0, , ,30 0, , ,90 0, , ,71 0, , ,31 0, , ,91 0, , ,72 0, , ,32 0, , ,92 0, , ,73 0, , ,33 0, , ,93 0, , ,74 0, , ,34 0, , ,94 0, , ,75 0, , ,35 0, , ,95 0, , ,76 0, , ,36 0, , ,96 0, , ,77 0, , ,37 0, , ,97 0, , ,78 0, , ,38 0, , ,98 0, , ,79 0, , ,39 0, , ,99 0, , ,80 0, , ,40 0, , ,00 0, , ,81 0, , ,41 0, , ,01 0, , ,82 0, , ,42 0, , ,02 0, , ,83 0, , ,43 0, , ,03 0, , ,84 0, , ,44 0, , ,04 0, , ,85 0, , ,45 0, , ,05 0, , ,86 0, , ,46 0, , ,06 0; , ,87 0, , ,47 0, , ,07 0, , ,88 0, , ,48 0, , ,08 0, , ,89 0, , ,49 0, , ,09 0, , ,90 0, , ,50 0, , ,10 0, , ,91 0, , ,51 0, , ,11 0, , ,92 0, , ,52 0, , ,12 0, , ,93 0, , ,53 0, , ,13 0, , ,94 0, , ,54 0, , ,14 0, , ,95 0, , ,55 0, , ,15 0, , ,96 0, , ,56 0, , ,16 0, , ,97 0, , ,57 0, , ,17 0, , ,98 0, , ,58 0, , ,18 0, , ,99 0, , ,59 0, , ,19 0, ,99999

14 14 Binomialverteilung n k B(n; p; k) p = 3 1 k p = 0,35 p = 0,40 p= 0,60 B (n; p;i) B(n; p; k) B (n; p;i) B(n; p; k) B (n; p;i) B(n; p; k) i= 0 k i= 0 k i= 0 k i= 0 B (n; p;i) 5 0 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,0424t 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00000