Zentrale schriftliche Abiturprüfung Mathematik

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1 LAND BRANDENBURG Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2010 Aufgabenvorschlag Hilfsmittel: Gesamtbearbeitungszeit: Nachschlagewerk zur Rechtschreibung der deutschen Sprache, nicht programmierbarer und nicht grafikfähiger Taschenrechner, an der Schule eingeführtes Tafelwerk/ Formelsammlung 270 Minuten inkl. Lese- und Auswahlzeit Aufgabenstellung 1 Thema/Inhalt: Hinweis: Analysis Wählen Sie eine der beiden Aufgaben 1.1 oder 1.2 zur Bearbeitung aus. Aufgabenstellung 2 Thema/Inhalt: Hinweis: Analytische Geometrie Wählen Sie eine der beiden Aufgaben 2.1 oder 2.2 zur Bearbeitung aus. Aufgabenstellung 3 Thema/Inhalt: Hinweis: Stochastik Wählen Sie eine der beiden Aufgaben 3.1 oder 3.2 zur Bearbeitung aus.

2 Aufgabe 1.1: Skihalle Gegeben ist die Funktionenschar f a mit Der Graph der Funktion f a sei G a. In der Anlage sind einige Graphen G a dargestellt. a x a( x) ( x a) e, IR; a IR, a 0 f x. a) Ermitteln Sie die Nullstelle von f a, die Koordinaten und Art des Extrempunktes sowie die Koordinaten des Wendepunktes von G a in Abhängigkeit vom Parameter a. Auf den Nachweis der Existenz des Wendepunktes wird verzichtet. Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente t a. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von f a für x und x. a x [Kontrollergebnis: f '( x) ( x a 1) e ] 2a 1 b) Alle Extrempunkte 1 a e a E a der Graphen a G liegen auf dem Graphen einer Funktion h. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung für h und zeichnen Sie den Graphen von h In das vorhandene Koordinatensystem. a x c) Weisen Sie nach, dass für alle Funktionen f a die Gleichung fa( x) fa '( x) e gilt. Ermitteln Sie eine Stammfunktion von f a. a x [Kontrollergebnis: F x 1 a x) e c a ( ] d) Berechnen Sie den Inhalt der zwischen G a und der x-achse liegenden Fläche über dem Intervall a; 2 a. e) Der Graph der Funktion f 1 beschreibt für x 0 im Modell das Profil der Skipiste in einer Skihalle (1 LE = 10 m). Das Profil des Hallenbodens liegt auf der x-achse. Der Querschnitt des Unterbaus der Piste ist ein rechtwinkliges Trapez, das begrenzt wird durch die beiden Koordinatenachsen, einer Parallelen zur x-achse durch den Wendepunkt W von G 1 und der zugehörigen Wendetangente t 1 (x) = -x +3. Der Raum oberhalb des Unterbaus wird mit Kunstschnee aufgefüllt, bis die gewünschte Profilform der Piste erreicht ist. Berechnen Sie, wie viele Kubikmeter Kunstschnee für eine Piste von 25 m Breite und einer waagerechten Länge von 60 m hergestellt werden müssen. Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile Aufgabenteil a) b) c) d) e) Summe BE Seite 3 von 25 10_Ma_L_A1.1_V1

3 Name:... Anlage zu Aufgabe 1.1 Seite 4 von 25 10_Ma_L_A1.1_V1

4 Aufgabe 1.2: Brückenträger Gegeben sind die Funktionen f a mit der Gleichung Die Graphen dieser Funktionen f a seien G a. f a 2 a x + 3 ( x) = ; 2x 1 a IR. a) Geben Sie den Definitionsbereich von f a an und bestimmen Sie das Verhalten der Funktionswerte von f a für x + und x in Abhängigkeit von a für a 0. G hat den lokalen Extrempunkt ( ( )) b) Einer der Graphen a E 1 fa 1. Bestimmen Sie für diesen den Wert des Parameters a und die Art des Extrempunktes E. Der zum berechneten Parameterwert a = 1, 5 gehörende Graph hat einen weiteren lokalen Extrempunkt. Ermitteln Sie dessen Koordinaten und die Art. 2 2ax 2ax 6 [Kontrollergebnis: f a ( x) = ] 2 (2x 1) c) Zeigen Sie, dass sich alle Graphen G a auf der y-achse schneiden. Weisen Sie nach, dass die Graphen G a in diesem gemeinsamen Punkt gemeinsame Tangente t haben und ermitteln Sie deren Gleichung. S y auch eine d) Der Querschnitt eines Brückenträgers entspricht in guter Näherung modellhaft der Fläche, die der Graph G 1 und die Geraden x = 8 und x = 0, 5 mit der x-achse einschließen. Berechnen Sie die Größe dieser Fläche auf zwei Dezimalstellen gerundet ,5 e) Berechnen Sie im Intervall 8 x 4 den mittleren Anstieg von G 1. Zeigen Sie, dass die untere Begrenzung des Brückenträgers aus Teilaufgabe d) auch sehr gut durch eine Gerade beschrieben werden kann, indem Sie nachweisen, dass sich der mittlere Anstieg und der maximale Anstieg von G 1 in diesem Intervall um weniger als 0,02 unterscheiden. Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile Aufgabenteil a) b) c) d) e) Summe BE Seite 7 von 25 10_Ma_L_A1.2_V2

5 Aufgabe 2.1: Haus am Hang Die Ebene E ist durch die Gleichung y 10z 0 gegeben. E stellt einen Hang dar, auf dem ein Haus errichtet werden soll. Wegen der Hanglage des Grundstücks müssen ein Fundament und eine zur x-y-ebene parallele, rechteckige Bodenplatte mit den Eckpunkten A ,5, B 0 4 0,5, C 0 5 0,5 und D ,5 gebaut werden, auf der das Haus aufgestellt werden kann. Das Dach des Hauses reicht an zwei Seiten bis auf die Bodenplatte herunter (sog. Nur-Dach-Haus ). Die vordere und die hintere Dachspitze sind durch die Punkte S und T gegeben. Eine Längeneinheit entspricht 1 m. a) Weisen Sie nach, dass die Punkte C und D direkt auf dem Hang liegen. Zeichnen Sie das Haus in das vorgegebene Koordinatensystem ein. b) Die Hangneigung wird durch die in E verlaufenden Geraden h und k verdeutlicht. Die Gerade h geht durch die Punkte D und P ,4, und k verläuft parallel zu h durch C. Geben Sie für h und k eine Geradengleichung an und ergänzen Sie in Ihrer Zeichnung beide Geraden. c) Die Geschossdecke verläuft 2,5 m oberhalb der Bodenplatte. Berechnen Sie die vier Eckpunkte der Decke und die Größe der Deckenfläche. d) An der Giebelseite ABS soll eine Terrasse mit den Eckpunkten, B, F 0 7 0, ,5 A und G gebaut werden. Dazu wird eine senkrechte Begrenzungsmauer ringsum die Terrasse bis zur Höhe der Bodenplatte errichtet und der entstehende Hohlraum mit Erde verfüllt. Zeichnen Sie die Terrasse und die Begrenzungsmauer in Ihre Zeichnung ein. Berechnen Sie das Volumen der benötigten Erde. Die Wandstärke der Begrenzungsmauer soll nicht berücksichtigt werden. e) Die Dachspitze S wirft an sonnigen Tagen einen Schattenpunkt S auf den Boden der Terrasse. Die Richtung der Sonnenstrahlen ändert sich mit der Zeit t und ist durch 5t r r ( t) (1 t) 1,5 gegeben. 7,5 Geben Sie die Koordinaten des Schattenpunktes S in Abhängigkeit von t an. Berechnen Sie zwischen welchen zwei Punkten sich der Schattenpunkt in einer Stunde ( 0 t 1) bewegt. Beschreiben Sie die Lage dieser Punkte auf der Terrasse und die Bewegungslinie des Schattenpunktes. Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile Aufgabenteil a) b) c) d) e) Summe BE Seite 10 von 25 10_Ma_L_A2.1_V1

6 Name:... Anlage: Haus am Hang Seite 11 von 25 10_Ma_L_A2.1_V1.doc

7 Aufgabe 2.2: Dreieck, Viereck, Quader Gegeben sind die Punkte Am ( 5 3m + 1 1), Bm ( 1 2 2m + 1) für m / R und C ( 1 1 1). a) Gegeben sind die Eckpunkte A 2, B 2 undc eines Dreiecks. Berechnen Sie die Größe des Innenwinkels A 2 CB 2. Untersuchen Sie, ob auch die Punkte A B und C Eckpunkte eines Dreiecks sind. 3, 3 b) Die Geraden g m verlaufen durch den Punkt C und die Punkte A m. Die Geraden h m verlaufen durch den Punkt C und die Punkte B m. Stellen Sie eine Gleichung für die Geradenschar f m auf, die durch den Punkt C und sowohl zu g m als auch zu h m orthogonal verläuft. Prüfen Sie, ob Geraden f m existieren, die I) zur y-z-ebene parallel verlaufen, II) zur z-achse parallel verlaufen. c) Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes D des Parallelogramms A B 1 CD Berechnen Sie eine Höhe dieses Parallelogramms. 1. d) Die Punkte A m und B m seien die Eckpunkte von Quadraten. Zeigen Sie, dass ein m / R existiert, so dass das Quadrat einen extremalen Flächeninhalt hat. 1 e) Für 1 m bilden die Punkte A 3 m eine Kante eines Quaders und die Punkte zweite Kante dieses Quaders. Geben Sie die Koordinaten aller Eckpunkte dieses Quaders an. B m eine Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile Aufgabenteil a) b) c) d) e) Summe BE Seite 14 von 25 10_Ma_L_A2.2_V1

8 Aufgabe 3.1: Schülerumfrage Nach einer repräsentativen Umfrage unter Schülern haben 97 % ein Handy, 75 % einen Computer und 60 % eine Spielekonsole. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in einer zufällig ausgewählten Gruppe von 100 Schülern A: alle ein Handy haben, B: mehr als 50 und weniger als 70 eine Spielekonsole haben. b) Berechnen Sie, wie viele Schüler mindestens gefragt werden müssen, um mit mindestens 99 % Wahrscheinlichkeit mindestens einen Schüler zu finden, der kein Handy besitzt. c) Der eines Gymnasiums hat 12 Schüler; davon haben 10 einen Computer und sechs eine Spielekonsole. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von vier zufällig ausgewählten Schülern des es mindestens drei einen Computer besitzen. d) Eine genauere Auswertung der Umfrage ergab, dass unter den Handybesitzern sogar 76,2 % einen Computer haben, unter den Nicht-Handybesitzern nur 36,2 %. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Schüler kein Handy, aber einen Computer besitzt. Bestätigen Sie durch eine geeignete Rechnung, dass sich aus diesen Umfragewerten für den Anteil der Schüler, die einen Computer haben, tatsächlich 75 % ergeben. e) Ein Gymnasium hat 1260 Schüler. Geben Sie an, wie viele Computerbesitzer unter den Schülern zu erwarten sind. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 900 aber höchstens 950 Schüler einen Computer besitzen. f) Durch einen Sponsor bekommen alle 160 Schüler der 11. Klassen des besagten Gymnasiums einen neuen Computer. Jens wettet daraufhin mutig mit seinem Freund Max, dass nach dieser Spende der Anteil der Computerbesitzer an der Schule auf mindestens 80 % gestiegen ist. Zeigen Sie, dass Jens die Wette verliert, wenn weniger als 848 Schüler außerhalb der 11. Klassen einen Computer besitzen. Berechnen Sie mithilfe dieses Ergebnisses die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Jens diese Wette verliert. Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile Aufgabenteil a) b) c) d) e) f) Summe BE Seite 17 von 25 10_Ma_L_A3.1_V3

9 N 100 k p 0,05 0, n k 0,95 0, ,20 0,25 0, Anlage zu Aufgabe Summierte Binomialverteilungen Gerundet auf vier Nachkommastellen, weggelassen ist 0,, alle freien Plätze bzw. weggelassenen k-werte links unten enthalten 1,0000, rechts oben 0,0000. Wenn die Tabelle von unten gelesen wird (p > 0,5), dann ist der richtige Wert 1 (abgelesener Wert) ,80 0,75 0, ,40 0,45 0,50 K ,60 0,55 0,50 p k Seite 18 von 25 10_Ma_L_A3.1_V3.doc

10 Anlage zu Aufgabe 3.1 Standardnormalverteilung Gerundet auf vier Nachkommastellen, weggelassen ist 0,. Bei negativen Werten liest man nach der Gleichung Φ( z) = 1 Φ(z) ab. z ,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3, Beispiele: Φ(2,37) = 0,9911; Φ( 2,37) = 1 Φ(2,37) = 1 0,9911 = 0,0089; Φ(z) = 0,7910 z = 0,81; Φ(z) = 0,2090 = z = 0,81. Seite 19 von 25 10_Ma_L_A3.1_V3.doc

11 Aufgabe 3.2 : Infektionskrankheit In einem Landesteil sind 7 % der Bevölkerung von einer medikamentös behandelbaren Infektionskrankheit K betroffen, die von zwei Erregern E 1 bzw. E 2 verursacht wird. Im Folgenden kann davon ausgegangen werden, dass nicht beide Erreger gleichzeitig auftreten. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: A: Unter 25 zufällig ausgewählten Bewohnern dieses Landesteils befinden sich höchstens 23 Personen, die nicht an K erkrankt sind. B: Unter 2500 zufällig ausgewählten Bewohnern des Landesteils befinden sich mehr als 159 Personen, die an K erkrankt sind. b) Aus langjähriger Erfahrung ist bekannt, dass ein Bluttest 98,8 % der an K erkrankten Personen und 99,1 % der nicht an K erkrankten Personen richtig diagnostiziert. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für ein negatives Testergebnis, d. h., dass die Person als gesund ausgewiesen wird. Ein Patient hat sich dem Bluttest unterzogen. Der Test weist ihn als gesund aus. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses: C: Der Patient ist dennoch an K erkrankt. c) Zur Behandlung von K gibt es nur ein Medikament M, das beim Vorliegen von E 1 zu 40 % und beim Auftreten von E 2 zu 90 % heilt. In einer Studie wurde festgestellt, dass 69 % der Patienten mit M geheilt wurden. Berechnen Sie den Anteil p ( 0 < p < 1) derjenigen Patienten, die mit dem Erreger E 1 infiziert wurden. d) Der Inhaber einer Apotheke in dem Landesteil erwartet in der kommenden Woche 750 Kunden, von denen vermutlich 4,5 % das Medikament M benötigen werden. Die Zufallsgröße Z beschreibe die Anzahl der Kunden, die M kaufen wollen. Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz der Zufallsgröße Z. Berechnen Sie, wie viele Packungen dieses Medikamentes zu Wochenbeginn am Lager sein müssten, damit der Vorrat mit einer Mindestwahrscheinlichkeit von 0,975 ausreicht. e) Im Wartezimmer einer Arztpraxis, die in dem Landesteil gelegen ist, befinden sich 30 Patienten, von denen vier an einer Erkältung, m (m N, 0 < m < 26) an der Krankheit K und der Rest an anderen Krankheiten leiden. Es werden drei Patienten zufällig gleichzeitig ausgewählt. Bestimmen Sie m für den Fall, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter ihnen einer an einer Erkältung, einer an K und einer an einer anderen Krankheit leidet, maximal ist. Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile Aufgabenteil a) b) c) d) e) Summe BE Seite 22 von 25 10_Ma_L_A3.2_V2

12 Anlage zur Aufgabe 3.2 Standardnormalverteilung Gerundet auf vier Nachkommastellen, weggelassen ist 0,. Bei negativen Werten liest man nach der Gleichung Φ( z) = 1 Φ(z) ab. z ,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3, Beispiele: Φ(2,37) = 0,9911; Φ( 2,37) = 1 Φ(2,37) = 1 0,9911 = 0,0089; Φ(z) = 0,7910 z = 0,81; Φ(z) = 0,2090 = z = 0,81. Seite 23 von 25 10_Ma_L_A3.2_V2.doc