Abiturprüfung 2000 LK Mathematik Baden-Württemberg

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1 Abiturprüfung 000 LK Mathematik Baden-Württemberg Aufgabe I 1 Analysis ( )² Gegeben ist die Funktion f durch f ( ) = ; D f. Ihr Schaubild sei K. ( 4) a) Geben Sie die maimale Definitionsmenge D f an. Untersuchen Sie K auf gemeinsame Punkte mit der -Achse. Bestimmen Sie die Intervalle, in denen K oberhalb bzw. unterhalb der -Achse verläuft. Ermitteln Sie die Asymptoten von K und untersuchen Sie, wie sich K an diese Asymptoten annähert. Weisen Sie nach, dass K zur Geraden = symmetrisch ist. Skizzieren Sie mithilfe der bisherigen Ergebnisse einen möglichen Verlauf von K. (10 VP) b) ABCD sei ein zur Symmetrieachse von K symmetrisches Rechteck. Die Punkte A und B liegen auf der -Achse und die Punkte C und D auf K oberhalb der -Achse. Für welche Lage von A und B hat dieses Rechteck minimalen Flächeninhalt? Auf die Überprüfung der hinreichenden Bedingung kann verzichtet werden. (10 VP) 4 c) Die Funktion F ist gegeben durch F() = + ln ; DF. Bestimmen Sie die maimale Definitionsmenge D F. Zeigen Sie, dass F auf D F eine Stammfunktion von f ist. Weisen Sie nach, dass F genau eine Nullstelle hat. Für schließt K mit den Koordinatenachsen eine nach unten offene Fläche ein. Untersuchen Sie, ob diese Fläche einen endlichen Inhalt hat. (10 VP) Aufgabe I Analysis Gegeben ist die Funktion f durch f() = (ln )². Ihr Schaubild sei K. a) Führen Sie eine Kurvenuntersuchung durch. Wie verhält sich f() für gegen 0? Zeichnen Sie K. (10 VP) b) Die Tangente an K im Kurvenpunkt B schneidet die y-achse im vom Koordinatenursprung 0 verschiedenen Punkt P. Bestimmen Sie die Abszisse von B so, dass die Strecken BP und BO gleich lang sind. (7 VP) c) Die 1.Winkelhalbierende und K schließen eine Fläche ein, die unterhalb der 1.Winkelhalbierenden liegt. Berechnen Sie deren Inhalt. Sie können dabei verwenden, dass für >0 die Funktion f 1 mit f 1 () = ln() eine Stammfunktion F 1 mit F 1 = -1/4 ² + 1/ ² ln hat. (7 VP) Die Funktion g sei im offenen Intervall J mindestens dreimal differenzierbar und es gelte g() > 0 für J. Außerdem sei 0 eine Wendestelle von g. Untersuchen Sie, ob 0 eine Wendestelle von h mit h() = ln [g()] ; J sein muss. (6 VP) Aufgabe I 3 Analysis Gegeben ist die Funktion f durch f() = 1/ ( + 3) e -, R. Ihr Schaubild sei K. a) Untersuchen und zeichnen Sie K. (10 VP) b) K und die -Achse begrenzen eine nach rechts offene Fläche. Bestimmen Sie deren Inhalt. (6 VP) Ein zu Jahresbeginn gewährtes Bankdarlehen S 0 = (in DM) wird in festen Jahresbeträgen von DM zurückgezahlt. Dieser Jahresbetrag ist am Ende eines jeden Jahres fällig und enthält den Zins und die Tilgung. Der Zins beträgt 4% von der das Jahr über vorhandenen Restschuld. S n ist die Restschuld nach dem n-ten Jahr.

2 c) Berechnen Sie S 1 und S. Die zeitliche Entwicklung der Restschuld soll mithilfe einer stetigen Wachstumsfunktion B, welche die Differenzialgleichung B'(t) = ,04 B(t) erfüllt, näherungsweise beschrieben werden. Bestimmen Sie die reellen Zahlen a und b so, dass die Funktion B mit B(t) =a e 0,04t + b eine Lösung der Differenzialgleichung mit B(0) = ist. Nach wie vielen Jahren ist bei dieser Näherung das Darlehen getilgt? (7 VP) d) Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für die Restschuld S n nach dem n-ten Jahr n n 1,04 1 gilt: S n = S0 1, ; n 1 0,04 Nach wie vielen Jahren ist hiernach das Darlehen getilgt? (7 VP) Analytische Geometrie Aufgabe II 1 Bei einem Oktaeder (siehe Abbildung) sind alle Kanten gleich lang. Gegeben sind die Eckpunkte A(7 6 13), B( - ), D( ) und E( ). Die Gerade g geht durch die Punkte B und D. a) Ermitteln Sie die Koordinaten von M und den restlichen Eckpunkten C und F. Dem Oktaeder wird die Kugel K umbeschrieben. Geben Sie eine Gleichung von K an. Berechnen Sie den Abstand des Punktes M von der Ebene durch die Punkte A, B und E. (10 VP) b) P sei der Mittelpunkt der Strecke AE. Bestimmen Sie den Winkel zwischen den Vektoren PB und BD. Geben Sie den Winkel zwischen der Seitenfläche AEB und der Seitenfläche AED an. Das Oktaeder besteht aus zwei Pyramiden mit quadratischer Grundfläche, deren Spitzen B und D sich auf der Geraden g befinden. Die Pyramide P D mit der Spitze D bleibt fest. Die Pyramide P B mit der Spitze B wird dadurch verändert, dass ihre Spitze auf der Geraden g wandert. Wie muss diese Spitze gewählt werden, damit jede Seitenfläche der veränderten Pyramide orthogonal ist zu derjenigen Seitenfläche von P D, mit der sie eine gemeinsame Kante besitzt? (10 VP) 3 c c) Für jedes c R ist eine Kugel K c gegeben durch c = c Zeigen Sie, dass die Mittelpunkte von K c auf der Geraden g liegen. Zeigen Sie, dass für -1 < c < 1 diese Mittelpunkte im Innern des Oktaeders liegen. Für welche Werte von c liegen die zugehörigen Kugeln K c ganz im Inneren des Oktaeders? (10 VP) Analytische Geometrie Aufgabe II In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Ebene E: = 0 und für 1 a 1 jedes a R eine Gerade g a : = 0 + t 6 ; t R, gegeben. a 0 a) Die Ebene E schneidet die Koordinatenachsen in S 1, S und S 3. Geben Sie die Koordinaten dieser drei Punkte an und zeichnen Sie ein Schrägbild des Dreiecks S 1 S S 3. Zeigen Sie, dass jede Gerade g in der Ebene E liegt. Zeichnen Sie die Geraden g 0 und g 5 in das vorhandene Schrägbild ein. Bestimmen Sie den

3 Radius der Kreise in der Ebene E, die g 0 und g 5 als Tangenten haben. (9 VP) b) Die Mittelpunkte aller Kugeln, die durch die Spurpunkte der Ebene E gehen, liegen auf einer Geraden. Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Geraden. (8 VP) c) Die Gerade h ist parallel zur 3 -Achse und geht durch den Punkt P (4 10 0). Es gibt eine Gerade durch den Punkt Q (8 4 ), welche g 0 und h schneidet. Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Geraden. (7 VP) d) Der Vektor a mit a o sei der Ortsvektor eines Punktes A. Zeigen Sie, dass alle Punkte, die vom Ursprung doppelt so weit enffernt sind wie vom Punkt A, auf einer Kugel liegen. Geben Sie den Radius und den Ortsvektor des Mittelpunktes dieser Kugel in Abhängigkeit von an. (6 VP)

4 Lösungen Aufgabe 1 I a) nicht definiert bei 0 und 4 gemeinsamer Punkt mit der -Achse ist der Berührpunkt B ( 0) für < 0 und > 4 verläuft die Funktion oberhalb der -Achse y = 1 ist waagerechte Asymptote, es gibt keine schiefen Asymptoten senkrechte Asymptoten bei = 0 und = 4 achsensymmetrisch zu = Y = (X-)^/ (X*(X-4)) Y = 1 y b) A(b) = (b-)³/(b²-4b) Bedingung b > 4 Etremstelle b = + 3 Punkte A( - 3, 0) ; B( + 3, 0) Flächeninhalt 10,39 FE c) F() = + ln ((4-)/) DB: 0 < < 4 f ist die Ableitung von F und im Definitionsbereich von F immer kleiner oder gleich 0. Da f() = 0 nur an der Stelle = gilt, ist F streng monoton fallend und kann daher höchstens eine Nullstelle haben. d) F(0,1) = 3,76... ; F(3,99999 = -8,9, d.h. eine Nullstelle A(u) = - + u + ln(4-u)- ln u, strebt gegen unendlich Aufgabe 1 II a) f'() = ln (ln + ) f"() = / (ln + 1) f'''() = -/² ln Nullstellen: = 1, Berührpunkt N(1 ; 0) Keine Schnittpunkte mit der y-achse Tiefpunkt T(1 ; 0) ; Hochpunkt H(e - ; 4e - )

5 Wendepunkt W(1/e ; 1/e) Keine Asymptoten ; keine Symmetrie Y = X*LN(X)^ y b) Damit BO und BP gleich lang sind, muss das Dreieck OBP gleichschenklig sein. Also muss der y-wert von P doppelt so groß sein, wie der von B, da bei einem gleichschenkligen Dreieck die Höhe durch den Dreieckspunkt, der von den beiden gleichlangen Schenkeln eingeschlossen wird, senkrecht auf die Mitte der gegenüberliebenden Seite trifft. P(0 ; f(u)) mit u = 1/e c) Grenzen der Fläche 1/e und e e ² A = ( (ln )²) d = (1 (ln )²) ( ln ) d 1/ e 1/ e 1/ e Nach Aufgabenstellung ist F 1 = -1/4 ² + 1/ ² ln Stammfunktion von f 1 () = ln(), d.h. A = -1/4 e² + 1/ e² + 1/(4e²) + 1/(e²) = 1/4 e² + 3/(4e²) = 1,95 d) 0 muss keine Wendestelle von h() sein Aufgabe 1 III a) f'() = -1/ e - (+) f"() = 1/ e - (+1) f'''() = -1/ e - Schnittpunkt mit der y-achse P(0 ; 3/) Nullstelle -3 Hochpunkt H(- ; 1/ e²) Wendepunkt W(-1 ; e) waagerechte Asymptote y = 0 keine besondere Symmetrie e e

6 Y = 1/*(X+3)*EXP(-X) y z b) A(z) = ( 1/ ( + 3) e ) d = 1/ ((z+3) e -z - e -z + e³) 3 Grenzwert 1/ e³ c) Zins 4%, Tilgung DM pro Jahr nach einem Jahr S 1 = DM nach zwei Jahren S = DM B(t) = a e 0,04t + b mit B(0) = 00000, B'(t) = ,04 B(t) a = ; b = Nach spätestens 41 Jahren ist das Darlehen getilgt. d) - Aufgabe I a) M(3; -10; 6) ; C(-1 ; 14; -1) ; F(-5; -9; 10) Dem Oktaeder wird eine Kugel umbeschrieben. Der Mittelpunkt der Kugel ist M (3/-10/6). Radius Ebene E durch A, B und E: = 6 + r 4 + s 5 bzw = b) P(9; -8,5; 7,5) ; Winkel 109,47 Seitenfläche AEB: = Seitenfläche AED: = 1 Winkel 109,5 Gerade durch B, D: = ( - ) + r ( -16 8) Vektor DP (5 9,5 -,5) Vektor MP (7-r -6,5+8r 5,5-4r) S (,5-6 4) c) Punktprobe die Mittelpunkte von Kc liegen auf der Geraden g Die Mittelpunkte der Kugel liegen auf der Geraden g, welche den Oktaeder in den

7 Punkten B und D schneidet. Wenn c die Werte zwischen 1 und 1 durchläuft, durchläuft der Punkt X (1//3) alle Punkte auf der Geraden g zwischen B und D. Dann befinden sich die Mittelpunkte der Kugel im Inneren des Oktaeders. E(ABE): = E 1 (AED): = 1 M(3-c -10+8c 6-4c), r = 3 Abstand E1 zu M (-81-81c)/ c = -/3 Abstand E zu M c = /3, d.h. für -/3 < c < /3 Aufgabe II a) Spurpunkte S 1 (1 / 0 / 0), S (0 / 6 / 0), S 3 (0 / 0 / 6) Für jedes a soll g a in E liegen. Punktprobe mit g a ergibt wahre Aussage g0: (1 0 0 ) + t (-1 6 0) g5: ( 0 5 ) + s (-1 6 0) g0 und g5 sind parallel zueinander. Die Mittelpunkte aller Kreise haben den selben Abstand zu g0 und g5. Hilfsebene, die orthogonal zu g 0 ist durch S 1 verläuft H: = -144 Berührpunkte (1 0 0), (10-4 5) Abstandes der Berührpunkte 45 Radius 45 / b) Die Punkte S 1, S, S 3 liegen auf einem Kreis. Gesucht ist die Gerade, von der jeder Punkt S 1, S und S 3 den gleichen Abstand hat. l: = (0-9 -9) + r (1 ) c) Gesucht ist die Gerade i, die durch Q geht und g 0 und h schneidet. i: = (4 10 b) + u (8-1t -10+6t -b) Punktprobe mit Q(8/4/) t = 1/6 ; u = /3 ; b = 6 i: = (4 10 6) + u ( -3 -) d) Kugelgleichung ( - 4/3 a)² = 4/9 a²