Ministerium für Kultus, Jugend und Sport Schriftliche Abiturprüfung Mathematik ab Pflichtteil

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1 Ministerium für Kultus, Jugend und Sport Schriftliche Abiturprüfung Mathematik ab Aufgabensatz A Seite von Pflichtteil Aufgabe Lösen Sie die Gleichung e e. Aufgabe Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit f(). ( VP) ( VP) Aufgabe Geben Sie für die Funktion f mit f() ( e ) eine Stammfunktion an. ( VP) Aufgabe Zeigen Sie, dass das Schaubild von f mit Hochpunkt hat. Aufgabe h ist eine für IR differenzierbare Funktion. Nebenstehend ist für, das Schaubild ihrer Ableitungsfunktion h dargestellt. Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen über die Funktion h richtig, falsch oder unentscheidbar sind. Begründen Sie Ihre Entscheidung. f() e ; IR an der Stelle einen ( VP) Schaubild von h () An der Stelle hat das Schaubild von h einen Tiefpunkt. () h() > für. () An der Stelle hat das Schaubild von h eine Tangente, die parallel ist zur Geraden mit der Gleichung y 7. () h ist streng monoton wachsend für,. ( 6 VP) KM B.W. Zur Verwendung auf der Lehrerfortbildung 6..

2 Ministerium für Kultus, Jugend und Sport Schriftliche Abiturprüfung Mathematik ab Aufgabensatz A Seite von Pflichtteil Aufgabe 6 Lösen Sie das lineare Gleichungssystem: ( VP) Aufgabe 7 Gegeben sind die Gerade g und die Ebene E durch g: a r u ; r IR und E: ( p) n. a) Welche geometrische Bedeutung haben die Vektoren a und u bzw. ( p) und n? Veranschaulichen Sie Ihre Antwort mithilfe einer Skizze. b) Welche Beziehungen müssen für die in den Gleichungen vorkommenden Vektoren gelten, damit i) g parallel zu E ist? ii) g senkrecht zu E verläuft? ( VP) KM B.W. Zur Verwendung auf der Lehrerfortbildung 6..

3 Ministerium für Kultus, Jugend und Sport Schriftliche Abiturprüfung Mathematik ab Aufgabensatz A Seite von Wahlteil Analysis Aufgabe I. Gegeben ist die Funktion f durch Das Schaubild von f sei K. e f() ; IR. e a) Skizzieren Sie K mithilfe Ihres Taschenrechners. Das Flächenstück zwischen K, der -Achse und den Geraden und rotiert um die - Achse. Bestimmen Sie das Volumen des entstehenden Rotationskörpers. b) Welche Eigenschaften von K können dem Funktionsterm f() ohne Verwendung von Ableitungen entnommen werden? Begründen Sie Ihre Antwort. c) f wird für verglichen mit einer Funktion h, die dort durch h() 8 e gegeben ist. Zeigen Sie, dass der Unterschied zwischen den Funktionswerten von f und h monoton fällt. Wie groß wird der maimale Unterschied? d) Zeigen Sie, dass die Funktion h ein beschränktes Wachstum beschreibt. Kann das auch über f gesagt werden? Aufgabe I. Die Folge ( a n ) ist rekursiv vorgegeben durch a ; an an. ( n ) ( n ) Geben Sie einen Term für a n in geschlossener Form an und begründen Sie Ihr Ergebnis. ( VP ) ( 6 VP ) KM B.W. Zur Verwendung auf der Lehrerfortbildung 6..

4 Ministerium für Kultus, Jugend und Sport Schriftliche Abiturprüfung Mathematik ab Aufgabensatz A Seite von Wahlteil Analysis Aufgabe I Bei Testfahrten auf dem Gelände eines Automobilherstellers wird ein Testfahrzeug automatisch gesteuert. Eine Testfahrt mit der durch die Funktion v mit 6 t v(t) ; t (t in Stunden; v(t) in km/h) t gegebenen Geschwindigkeits-Zeitfunktion wird nach Stunden abgebrochen. Die Funktion k mit k() ; ( in km/h ; k() in Liter pro km) beschreibt grob den Kraftstoffverbrauch des Testfahrzeugs. a) Zeigen Sie, dass die Geschwindigkeit des Testfahrzeugs während dieser Testfahrt ständig zunimmt. Wie lange dauert es, bis das Testfahrzeug die Geschwindigkeit km/h erreicht? Welcher Kraftstoffverbrauch ergibt sich mittels der Funktion k bei dieser Geschwindigkeit? ( v (t)) k v(t) b) Begründen Sie, dass durch der momentane Kraftstoffverbrauch zum Zeitpunkt t in Liter pro Stunde beschrieben werden kann. Berechnen Sie damit den durchschnittlichen Kraftstoffverbrauch während der Testfahrt in Liter pro Stunde. c) Bei Geschwindigkeiten unter km/h beschreibt die Funktion k den tatsächlichen Kraftstoffverbrauch (in l/ km) nicht richtig, da das Testfahrzeug einen minimalen Kraftstoffverbrauch von, Liter pro Stunde hat. Geben Sie für < < 6 ( in km/h) eine abschnittsweise definierte Funktion f an, die den Kraftstoffverbrauch des Testfahrzeugs (in l/ km) beschreibt und dabei den Minimalverbrauch berücksichtigt. Skizzieren Sie das Schaubild von f. ( 8 VP ) KM B.W. Zur Verwendung auf der Lehrerfortbildung 6..

5 Ministerium für Kultus, Jugend und Sport Schriftliche Abiturprüfung Mathematik ab Aufgabensatz A Seite von Wahlteil Analysis Aufgabe I. Ein Roboter (siehe nebenstehende Skizze) besteht aus zwei je m langen Armen mit den zwei Gelenken A und B sowie dem Greifer C. Das Programm zur Steuerung des Roboters ist hierbei so ausgelegt, dass die Einstellwinkel an beiden Gelenken stets gleich groß sind. a) Zeichnen Sie die Lage des Roboters für drei selbst gewählte Einstellwinkel. b) Zeigen Sie, dass sich die Höhe des Greifers C über dem Erdboden durch die Funktion h mit h () sin() sin() ; IDh beschreiben lässt. A m B m C c) Bei welchen Einstellwinkeln befindet sich der Greifer C auf der Höhe des Erdbodens? Geben Sie eine sinnvolle Definitionsmenge I Dh an. d) Bestimmen Sie die maimale Höhe, die der Greifer C erreichen kann. e) Bei welchem Einstellwinkel steht der Greifer C genau senkrecht über dem Gelenk A? ( VP ) Aufgabe I. Erläutern Sie ein Näherungsverfahren zur Bestimmung von Nullstellen. ( VP ) KM B.W. Zur Verwendung auf der Lehrerfortbildung 6..

6 Ministerium für Kultus, Jugend und Sport Schriftliche Abiturprüfung Mathematik ab Aufgabensatz A Seite von Wahlteil Geometrie Aufgabe II. Das Dach eines Turmes hat die Form einer senkrechten quadratischen Pyramide. Die Länge der Quadratseiten und die Pyramidenhöhe betragen jeweils 6 m. a) Es werden Stützbalken eingezogen. Jeder Balken ist in einer der Quadratecken verankert und stützt den jeweils gegenüberliegenden Dachkantenbalken senkrecht ab. Berechnen Sie die Länge der Stützbalken. Welchen Abstand hat ihr Kreuzungspunkt zu den Dachflächen? b) Welcher Punkt im Innern der Pyramide hat von den Dachflächen und der Grundfläche denselben Abstand? ( 8 VP ) KM B.W. Zur Verwendung auf der Lehrerfortbildung 6..

7 Ministerium für Kultus, Jugend und Sport Schriftliche Abiturprüfung Mathematik ab Aufgabensatz A Seite von Wahlteil Geometrie Aufgabe II. Gegeben sind die Punkte A ( ) und B( ). a) Es gibt unendlich viele Punkte C, für die jeweils das Dreieck ABC gleichseitig ist. Beschreiben Sie die Ortslinie aller Punkte C. Geben Sie die Koordinaten eines solchen Punktes C an. b) Die Pyramide ABCS sei ein Tetraeder. Beschreiben Sie, ohne die Rechnung eplizit durchzuführen, ein Verfahren, mit welchem der Punkt S bestimmbar ist. c) E sei die Ebene, bezüglich der die Punkte A und B spiegelbildlich liegen. Von A ausgehend wird ein Lichtstrahl in Richtung des Vektors geschickt. Begründen Sie, dass damit ein in der Ebene E liegender Spiegel getroffen werden kann. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dessen Hilfe man alle Punkte des reflektierten Lichtstrahls bestimmen kann. Wie groß ist der Winkel, den der einfallende und der reflektierte Strahl miteinander einschließen? ( 8 VP ) KM B.W. Zur Verwendung auf der Lehrerfortbildung 6..

8 Abiturprüfung Mathematik ab Wahlteil Lösungsvorschläge zu Aufgabensatz A Seite von 9 zu I. a) V() V π e ( ) π f() d d,86 (GTR) b) f () > ; da e > und e > ; d.h. K besitzt keine Schnittpunkte mit der -Achse. f () ; S ist Schnittpunkt von K mit der y-achse. lim f() lim e ; d.h. K besitzt die waagrechte Asymptote y. lim f() lim e ; d.h. K besitzt die waagrechte Asymptote y. e wächst streng monoton; e, e und e fallen streng monoton; wächst streng monoton; e Da f streng monoton wächst, besitzt K keine Etrempunkte. c) ( ) ( 8 f() e : e ) e u() f() h() > ; e e e e e e u ' () e 8e ( e e ) d.h. der Unterschied f() - h() fällt streng monoton. Der maimale Unterschied beträgt u(),. < KM B.W. Zur Verwendung auf der Lehrerfortbildung 6..

9 Abiturprüfung Mathematik ab Wahlteil Lösungsvorschläge zu Aufgabensatz A Seite von 9 d) Wegen h ' () 6 e erfüllt h die Differenzialgleichung h ' () ( h() ). h beschreibt daher ein beschränktes Wachstum mit der Stättigungsgrenze. Nach Aufgabenteil a) kommt als Sättigungsgrenze nur die Zahl in Frage. 6 e e Mit f ' () ( e ) folgt aus der DGL f ' () k ( f() ): k. ( e ) Da k nicht konstant ist, beschreibt f kein beschränktes Wachstum. zu I. n a ; a ; a ; a ; Vermutung: a n 7 9 n Nachweis durch vollständige Induktion: Induktionsanfang: a (wahr) Induktionsschritt: Nach der Rekursionsvorschrift an an und der Induktionsvoraussetzung ( n ) ( n ) n a n gilt: n n a n n n a n (n ) ( n ) ( n ) n d.h. a n liefert für alle IN n n (n ) ( n ) (n ) ( n n ) : (n ) n n n n die Glieder der rekursiv gegebenen Folge ( ) a n. KM B.W. Zur Verwendung auf der Lehrerfortbildung 6..

10 Abiturprüfung Mathematik ab Wahlteil Lösungsvorschläge zu Aufgabensatz A Seite von 9 zu I, 6 a) v (t) > ; d.h. v ist streng monoton wachsend ( t ) v (t) t ; d.h. min k () ; d.h. ca.,76 l/km b) Einem Verbrauch von k ( v(t) ) Litern pro km entspricht ein Verbrauch von Litern pro km. Da in einer Stunde v(t) Kilometer zurückgelegt werden, werden Stunde verbraucht. Gesamtverbrauch: ( v(t) ) k k( v(t) ) v (t) Liter pro k ( v (t)) v(t) 6t 6t t t 6t 6t t t 6t t 6t t 8 t Durchschnittlicher Verbrauch, :,7 ; d.h. ca.,7 Liter pro Stunde c) Modellierung: Zur Vermeidung eines sprunghaften Verlaufs des Kraftstoffverbrauchs wird zunächst die Abschnittsgrenze ( km/h) betrachtet. Bei dieser Geschwindigkeit werden in einer Stunde km zurückgelegt und nach der Funktion k, Liter Kraftstoff verbraucht ( k(); Liter pro km entsprechen, Liter für km). Bei kleineren Geschwindigkeiten (<<) verlängert sich die Fahrtdauer für beliebige aber fest vorgegebene Strecken. So führt z.b. eine Halbierung der Geschwindigkeit zu einer Verdoppelung der Fahrzeit und wegen des minimalen Kraftstoffverbrauchs von, l /h auch zu einer Verdoppelung des Kraftstoffverbrauchs. f () k () ; ; < < < 6 f() KM B.W. Zur Verwendung auf der Lehrerfortbildung 6..

11 Abiturprüfung Mathematik ab Wahlteil Lösungsvorschläge zu Aufgabensatz A Seite von 9 zu I. a) Einstellwinkel:, 7 und. b) Über die Addition von Teilhöhen ergibt sich der entsprechende Funktionsterm (s. Abbildung): π Für : Der Winkel bei B hat die Weite (Stufenwinkel an parallelen Geraden). Daraus folgt h sin(). Mit h sin() ergibt sich: h() h h sin() sin(). π π Entsprechend gilt für : h() h h sin() sin(π ) sin() sin(). π Entsprechend gilt für : h() h h sin(π ) sin( π) sin() sin(). c) Auf Höhe des Erdbodens befindet sich der Greifer C, wenn h(). Mit dem GTR ergibt sich oder,9. Dadurch ergibt sich auch eine Einschränkung des Definitionsbereichs von h auf das Intervall [ ;,9]. d) Der zugehörige Einstellwinkel ergibt sich mit dem GTR:,9 h(,9 ),76 ; d.h. die maimale Höhe beträgt ca.,76 m. KM B.W. Zur Verwendung auf der Lehrerfortbildung 6..

12 Abiturprüfung Mathematik ab Wahlteil Lösungsvorschläge zu Aufgabensatz A Seite von 9 e) Der Greifer steht genau senkrecht über dem Gelenk A, wenn für den horizontalen Abstand d() von C zu A gilt: d(). Dabei ist d() cos() cos() Mit dem GTR ergibt sich d() für,. Elementargeometrische Überlegungen ergeben folgende eakte Lösungen: π c) ; π ; e) zu I. Beispiel: Das newtonsche Näherungsverfahren Für das Berechnen von Nullstellen einer Funktion f gibt es häufig keine Lösungsformel, sondern man muss sich der Lösung schrittweise nähern. Ein solches Näherungsverfahren ist z.b. das newtonsche Näherungsverfahren. Zunächst bestimmt man etwa mit Hilfe des Schaubildes von f eine Näherungslösung für die Nullstelle * der Funktion. Da sich das Schaubild von f lokal gut durch eine Tangente ersetzen lässt, betrachtet man die Tangente an das Schaubild von f im Punkt P ( f( ) ) und schneidet diese mit der -Achse. Damit hat man, wie die Skizze zeigt, unter normalen Umständen einen besseren Näherungswert f( n ) für *. Dieses Verfahren setzt man fort. Mit der Formel n n lassen sich diese f ( n ) Näherungswerte iterativ bestimmen. Gleichwertige Lösungen könnten auch Beispielrechnungen, Vergleiche mit einem anderen Verfahren oder eine eplizite Herleitung der Formel beinhalten. KM B.W. Zur Verwendung auf der Lehrerfortbildung 6..

13 Abiturprüfung Mathematik ab Wahlteil Lösungsvorschläge zu Aufgabensatz A Seite 6 von 9 KM B.W. Zur Verwendung auf der Lehrerfortbildung 6.. Zu II. a) Der Ursprung wird in die Mitte der Grundfläche gelegt. Die Achsen verlaufen parallel zu den Grundkanten der Pyramide. Dann haben die Eckpunkte des Daches die Koordinaten: A ( - ), B ( ), C ( - ), D ( - - ) und S ( 6). Länge der Stützbalken: Die Länge der Stützbalken erhält man z. B. als Abstand des Punktes B von der Geraden (DS): 6 t ; t IR. Hilfsebene H orthogonal zu (DS) durch B: bzw. 6. Schnittpunkt von H und (DS) ist Lotfußpunkt L: ( ) ( ) 6 6t t t ; t ; L ( - - ); (B;L) d. Die Stützbalken haben die Länge. Abstand des Kreuzungspunktes zu den Dachflächen: Aus Symmetriegründen schneiden sich alle Stützbalken auf der -Achse, wenn man sie als Strecken sieht. Ihr Kreuzungspunkt ist der Schnittpunkt von (BL) mit der -Achse. (BL): r ; r IR; ergibt r ; also K ( ). Der Abstand zu allen Dachflächen ist gleich groß. Dachfläche in der Ebene E (DAS); E: t s 6 ; s, t IR; HNF von E: 6 ; d(k; E) 6. K L Q R C D A B S

14 Abiturprüfung Mathematik ab Wahlteil Lösungsvorschläge zu Aufgabensatz A Seite 7 von 9 Der Kreuzungspunkt hat von den Dachflächen den Abstand. b) Aus Symmetriegründen muss der gesuchte Punkt P auf der Achse liegen. P ( a) mit < a < 6. Dabei ist a sein Abstand von der Grundfläche. Damit P auch den Abstand a von den Seitenflächen hat, muss gelten: d(p;e) a. a 6 Daraus: a ; wegen < a < 6 : 6 a a ( ) 6 a. P. Der Punkt P hat die Koordinaten ( ) Bemerkung: Schneller kommt man zur Lösung, wenn man das Problem zweidimensional löst und einerseits das Dreieck DBS und andererseits das Dreieck QRS (vgl. Skizze) betrachtet. KM B.W. Zur Verwendung auf der Lehrerfortbildung 6..

15 Abiturprüfung Mathematik ab Wahlteil Lösungsvorschläge zu Aufgabensatz A Seite 8 von 9 KM B.W. Zur Verwendung auf der Lehrerfortbildung 6.. Zu II. a) Ortslinie: Die Ortslinie der Punkte C ist ein Kreis k. Dieser Kreis k liegt in der Ebene senkrecht zu AB, die den Mittelpunkt M ( - -) der Strecke AB enthält. M ist auch der Mittelpunkt von k. Der Radius von k ist d(a;b). Koordinaten eines möglichen Punktes C: Wegen ist der Vektor h zu AB orthogonal. Er gibt somit die Richtung einer möglichen Dreieckshöhe an. 6 h 6 OM OC ; 6 6 C ist ein möglicher Punkt. b) Bestimmung von S: Mithilfe der Formel wird der Schwerpunkt S des Dreiecks ABC bestimmt. g sei die Orthogonale zur Ebene (ABC) durch S. S ist dann ein Punkt auf g. Die Bedingung 6 AS ergibt den Parameterwert für S in der Geradengleichung. Einsetzen des Parameters in die Geradengleichung liefert die Koordinaten von S. Es gibt zwei Lösungen. c) Der Lichtstrahl kann einen Spiegel treffen: A und B liegen spiegelbildlich zur Ebene E:. Der Lichtstrahl hat die Richtung. Wegen ist der Strahl nicht parallel zu E. Er kann dort einen Spiegel treffen.

16 Abiturprüfung Mathematik ab Wahlteil Lösungsvorschläge zu Aufgabensatz A Seite 9 von 9 Punkte des reflektierten Strahls: Die Gerade g: a t ; t IR schneidet E in S P. Dann liefert die Gleichung b rsp b für r die Ortsvektoren all dieser Punkte. Bestimmung des Winkels zwischen dem einfallenden und dem reflektierten Strahl: Es gilt cos α ; Wegen β α beträgt die Weite des o α,8. A n α β S P E gesuchten Winkels α 7,6. o B KM B.W. Zur Verwendung auf der Lehrerfortbildung 6..