K2 KLAUSUR Pflichtteil

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1 K2 KLAUSUR MATHEMATIK Pflichtteil: Aufgabe Punkte (max) Punkte Wahlteil Analysis Aufgabe a b c Punkte (max) Punkte Wahlteil Geometrie Aufgabe a b c Punkte (max) Punkte Gesamtpunktzahl /60 Notenpunkte Pflichtteil (1) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f(x) = e 2x sin(x). (2) Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion von f(x) = (1 + 3x) 2 die durch den Punkt (0 1) geht. (3) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung e 2x e 3x = 0. (4) Gegeben ist die Funktion f(x) = 2x + 1 x 1. a) Bestimmen Sie die Asymptoten von f. b) Skizzieren Sie das Schaubild von f 1

2 2 MATHEMATIK (5) Gegeben sind die Schaubilder folgender Funktionen. a) Welche Aussagen können über die Nullstellen, Extrema und Wendepunkte der Funktion f = F gemacht werden, deren Ableitung im Schaubild links oben zu sehen ist? b) Welche Schaubilder zeigen die Ableitungsfunktion f (x) und die Integralfunktion F (x) = x a f(t) dt von f? Begründen Sie Ihre Antwort und Bestimmen Sie den Wert von a. (6) Gegeben sind die Ebenen E : x 1 + x 2 2x 3 = 8 und F : 2x 1 x 2 4x 3 = 13. Bestimmen Sie die Gleichung der Schnittgeraden von E und F. Welche besondere Lage im Koordinatensystem hat diese Gerade? (7) Gegeben ist ein Dreieck ABC mit A(1 3 1), B(1 6 4), C(3 9 1). Die Höhe durch C schneidet AB in F. Bestimmen Sie F, sowie den Flächeninhalt des Dreiecks. (8) Gegeben ist eine Ebene E und ein Punkt P, der nicht in dieser Ebene liegt. Die Ebene F ist parallel zu E und hat den gleichen Abstand von E wie von P. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man die Gleichung der Ebene F bestimmen kann.

3 K2 KLAUSUR Wahlteil Analysis Wir schreiben das Jahr Das Schmelzen der Polkappen hat dazu geführt, dass Hannover, die deutsche Hauptstadt der Korruption, eine Hafenstadt geworden ist. Der Pegelstand im Hafenbecken von Hannover kann durch die Funktion f mit ( π ) f(t) = 1,4 sin 6,15 (t 5) + 4,2 (t in Stunden ab Mitternacht des ersten Tages, f(t) in Meter) angenähert werden. a) Skizzieren Sie das Schaubild von f für die ersten 24 Stunden. Zeigen Sie, dass f die Periode 12,3 Stunden hat. Zwischen welchen Werten schwankt der Pegelstand? Wie hoch ist der Pegelstand am ersten Tag um 8.30 Uhr? Zu welchen Tageszeiten innerhalb der ersten 24 Stunden fließt am meisten Wasser aus dem Hafenbecken? Bestimmen Sie den mittleren Pegelstand am ersten Tag. Erklären Sie, warum man den mittleren Pegelstand innerhalb der ersten 12,3 Stunden ohne Rechnung bestimmen kann. b) Durch die Überflutung des Finanzplatzes London waren viele Briten gezwungen, ihren Lebensunterhalt durch ehrbarere Berufe als dem eines Börsianers zu verdienen. Viele wandten sich der lukrativen Piraterie zu. Der höchste Pegelstand liegt 1 m unterhalb der waagrechten Oberkante der Kaimauer. Um Hannover zu plündern, müssen die Piraten zu Zeiten anlegen, in denen der Pegelstand höchstens 2 m unterhalb der Oberkante liegt. In welchen Zeiträumen innerhalb der ersten 12 Stunden können die Briten in Hannover plündern? Die Fahrt von England bis Hannover dauert 2 Stunden. Wie viele Tage hintereinander (ab dem ersten Tag) können die Briten Hannover plündern und bis zum 5-Uhr-Tee wieder daheim sein? c) In Guttenberg, einem Vorort von Brüssel, wiederholen sich die Pegelstände mit derselben Periode, aber die Pegelhöchststände treten jeweils 2 Stunden später ein als in Hannover. Der niedrigste Pegelstand beträgt 3 m, der höchste 6,2 m. Bestimmen Sie einen Term einer Funktion, die den Pegelstand in Guttenberg näherungsweise beschreibt. Zu welchem Zeitpunkt innerhalb der ersten 12 Stunden ist der Unterschied der Pegelstände beider Orte am größten?

4 4 MATHEMATIK Geometrie Das Rechteck ABP Q mit A(7 4 0), B(3 4 0), P (3 0 6) und Q(7 0 6) ist ein Ausschnitt einer Dachfläche eines Hauses; hierbei entspricht 1 LE einem Meter. Auf diese Dachfläche wird eine Gaube aufgesetzt, die von den Punkten A, B, C(3 4 3), D(5 4 4,5) und F (7 4 3) begrenzt wird, und deren Begrenzungslinien waagrecht in Richtung x 2 -Achse verlaufen. a) Geben Sie eine Koordinatengleichung der Dachfläche an. Ermitteln Sie die Koordinaten der Punkte C, D und F, in denen die Begrenzungslinien der Gaube auf die Dachfläche treffen. Zeichnen Sie die Dachfläche ABP Q und die aufgesetzte Gaube in ein geeignetes Koordinatensystem. Teilergebnis: D (5 1 4,5) und F (7 2 3). b) Welchen Neigungswinkel hat die Dachfläche ABP Q? Die Dachfläche F F DD soll mit Sonnenkollektoren bedeckt werden. Bestimmen Sie den Inhalt dieser Dachfläche. Prüfen Sie, ob die Geraden AB, F D und D F durch einen gemeinsamen Punkt gehen. c) Im Punkt M(7 2 3) der Dachfläche ist eine 2 m hohe ) Antenne vertikal angebracht. Das Sonnenlicht kommt aus der Richtung. ( Zeigen Sie, dass der Schatten der Antenne ganz in der Dachfläche liegt, und berechnen Sie die Länge des Schattens.

5 K2 KLAUSUR Pflichtteil (1) Produktregel f (x) = 2e 2x sin(x) + e 2x cos(x). (2) F (x) = 1 9 (1 + 3x)3 + c; Einsetzen liefert 1 = c, also c = 8 9. (3) Ausklammern ergibt e 2x (1 e x ) = 0. Wegen e x 0 muss e x = 1 sein, also ist x = 0 die einzige Lösung. Möglich ist auch die Substitution z = e x, woraus z 2 = e 2x und z 3 = e 3x folgt. (4) Senkrechte Asymptote x = 1. Waagrechte Asymptote: f(x) = 2x + 1 x 1 = (2x + 1) 1 x (x 1) 1 = x 1 1 x x zeigt, dass y = 2 die waagrechte Asymptote ist. 2 Skizzieren: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sind (0 1) und ( 1 2 0). (5) a) Über Nullstellen der Stammfunktion F von f kann man keine Aussagen machen, da F durch die Ableitung F = f nur bis auf Verschiebung in Richtung y-achse festgelegt ist. Das Schaubild von F hat einen Tiefpunkt in x = 1, da f dort eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von nach + hat (oder: f ist dort monoton steigend, also F ( 1) = f ( 1) > 0). Entsprechend hat F einen Hochpunkt in x = 1 wegen F (1) < 0 (f(1) = 0 mit VZW von + nach ). Das Schaubild von F hat Wendestellen in x 0,5 und x 2,5, da f dort Extrema hat. b) Da f in x 0,5 einen Hochpunkt hat, muss f dort eine Nullstelle haben: also zeigt das Schaubild rechts oben die Funktion f. Das Schaubild von F muss nach a) einen Tiefpunkt in x = 1 haben, also ist es das von links unten. Wegen 0 = F ( 1) = 1 f(t) dt = F ( 1) F (a) folgt F (a) = 0, d.h. es muss a a = 1 sein. (6) Addieren der beiden Gleichungen liefert 3x 1 6x 3 = 21, also x 1 2x 3 = 7. Setzt man x 3 = t, folgt x 1 = 7+2t und, nach Einsetzen in E, x 2 = 1. Die Schnittgerade ist also x = t Diese Gerade ist parallel zur x 1 x 3 -Ebene.

6 6 MATHEMATIK (7) F ist der Lotfußpunkt von C auf AB. Die Hilfsebene senkrecht zu AB durch C hat die Gleichung x 2 + x 3 = 8. Schneiden mit AB ergibt F (1 5 3). Flächeninhalt: A ABC = 1 2 AB CF = = 3 18 = 9 2. Oder mit dem Kreuzprodukt von AB und AC: dessen Betrag ist gleich der Fläche des von diesen Vektoren aufgespannten Parallelogramms, der des Dreiecks ist dann halb so groß: AB AC = = 24 6, AB AC = = 6 18, also ist der Flächeninhalt des Dreiecks gleich 3 18 = 9 2. (8) Wähle einen beliebigen Punkt Q auf E. Bestimme den Mittelpunkt M der Strecke EQ; M liegt auf F. Da E und F parallel sind, können wir n F = n E nehmen. Die Ebenengleichung von F ist ( x OM) n E = 0. Statt Q kann man auch den Lotfußpunkt von P auf E nehmen. Merke: Abstände, ob mit oder ohne HNF, sind zum Aufstellen von Ebenengleichungen vollkommen ungeeignet.

7 K2 KLAUSUR Analysis a) Skizze; Periode ist Abstand zweier Hochpunkte (Ausrechnen) oder mittels π 6,15 = 2π p, was p = 12,3 ergibt. Der Pegelstand schwankt zwischen 2,8 m (Tiefpunkt) und 5,6 m (Hochpunkt). Man kann auch mit Amplitude argumentieren: der Pegelstand liegt höchstens 1,4 m unter den 4,2 m, und höchstens 1,4 m darüber. Am meisten Wasser fießt ab, wenn der Pegelstand am schnellsten abfließt. Also Minimum von f (t), das ergibt t 1 = 11,15 und t 2 = 23,45. Pegelstand um 8 : 30 h ist f(8,5) = 5,58 m. Mittlerer Pegelstand am ersten Tag M = f(t) dt 4,23 m. Der Mittelwert über eine Periode einer Sinusfunktion ist 0. Da f(t) eine um 4,2 nach oben verschobene Sinusfunktion ist, muss der Mittelwert 4,2 m sein. b) Maximaler Pegelstand ist 5, 6 m, also 1 m unterhalb der Kaimauer. Daher sind 2 m unterhalb der Kaimauer ein Pegelstand von 4,6 m. f(t) = 4,6 ergibt t 1 = 5,6 und t 2 = 10, 6, sodass die Briten von ca. 5 : 30 h bis 10 : 30 h plündern könnten. Die Aufgabe war etwas liederlich gestellt. Besser wäre es so gewesen: Um eine ordentliche Plünderung hinzulegen brauchen die Briten 5 Stunden. Zeigen Sie, dass dies möglich ist. Die Fahrt von England bis Hannover dauert 2 Stunden. Wie viele Tage hintereinander (ab dem ersten Tag) können die Briten Hannover ordentlich plündern und bis zum 5-Uhr-Tee wieder daheim sein? Am ersten Tag haben die Briten noch 4,5 h bis zum Tee. Jeden Tag verschiebt sich die Plünderzeit um 0,6 h nach hinten. Am 8. Tag könnten sie also nicht mehr die vollen 5 h plündern. c) Amplitude a = 6,2 3 = 1,6, Mittelwert d = 6,2+3 = 4,6, Verschiebung um 2 nach rechts 2 2 gegenüber f liefert ( π ) g(t) = 1,6 sin 6,15 (t 7) + 4,6. Maximum von f(t) g(t) ergibt t = 11,9.

8 8 MATHEMATIK 3. Geometrie a) Ebenengleichung von E Aufstellen der Parametergleichung x = OA + tab + uap = t u und ( Berechnen ) des Kreuzprodukts der Richtungsvektoren liefert den Normalenvektor 02 n = ; daraus ergibt sich die Koordinatenform der Ebenengleichung 3 E : 3x 2 + 2x 3 = 12. Berechnung der Koordinaten von C, D, F. Beim Wandern entlang der Richtung der x 2 -Achse ändern sich die x 1 - und x 3 -Koordinaten nicht, also muss C (3 c 3), D (5 d 4,5) und F (7 f 3) gelten. Einsetzen in die Ebenengleichung von E liefert jetzt sofort 3c = 12, also c = 2. Entsprechend folgt d = 1 und f = 2, also C (3 2 3), D (5 1 4,5) und F (7 2 3). Notfalls kann man c, d und f auch aus der Zeichnung ablesen (aber nur mit obiger Begründung bezgl. der x 1 - und x 3 -Koordinaten!): von C, D und F aus muss man 2, 3 bzw. 2 LE nach links. Die dritte Möglichkeit: man stellt die Gerade durch C parallel zur x 2 -Achse auf und schneidet mit E: g C : x = t gibt 3(4 + t) = 12, also t = 2 und damit C (3 2 3) etc. b) Neigungswinkel. Neigungswinkel ist der Winkel zwischen E und der x 1 x 2 -Ebene; es folgt ) ( ) ( 2 1 cos α = ) ( ) 00 = 2, 13 also α = 56,3. ( 03 2 Der Neigungswinkel kann auch trigonometrisch bestimmt werden: ist Q der Lotfußpunkt von Q in der Grundebene, so kann man Q (7 0 0) ablesen, und es ist tan α = QQ /Q A = 6/4, also α = tan 1 (3/2) = 56,3. 1

9 K2 KLAUSUR Das Viereck F F D D ist ein Trapez, da F F und D D parallel sind: weiter hat man F F = 0 2, D D = 0 3, F D = 2 0, 0 0 1,5 sodass wegen D D F D = 0 die Höhe des Trapezes gleich F D ist. Also gilt A T = F F D D 2 Die Dachfläche ist also 6,25 m 2 groß. F D = = 25 4 = 6,25. Achtung! Der Winkel D F F sieht nur aus wie ein rechter Winkel, ist aber keiner. Dagegen muss, wenn der Architekt was taugt, der Winkel F F D ein rechter sein. Schnitt der drei Geraden. Schneiden der Geraden durch AB und DF ergibt 7 4t = 7 + 2u 4 = 4 0 = 3 1,5u, also t = 1 und u = 2; der Schnittpunkt ist S(11 4 0). Jetzt fehlt noch die Punktprobe mit der Geraden durch D F. Einsetzen von S in x = t ,5 liefert t = 2, d.h. S liegt auf allen drei Geraden. Achtung! Wenn man sich etwas mehr Mühe macht und nachrechnet, dass AB und DF, sowie AB und D F sich in einem Punkt S schneiden, dann muss S auch der Schnittpunkt von DF und D F sein, da er sicherlich auf beiden draufliegt. Weiter kann es nicht sein, dass AB und DF sich nicht schneiden, da sie offenbar in derselben Ebene liegen. c) Schatten. Die Spitze der Antenne liegt in M (7 2 5). Der Schatten der Spitze liegt auf der Geraden x = t Die Ebenengleichung von F F D D ergibt sich zu 3x 1 + 4x 3 = 33. Schneiden liefert 3(7 4t) + 4(5 5t) = 33, also t = 1 und damit N(6 2,5 3,75). Dies ist 4 der Mittelpunkt der Strecke D F, liegt also in der Dachfläche F F D D. Die Länge des Schattens (sowohl M als auch N liegen in der Dachfläche F F D D) ist damit d = d(n, M) 1,35 m.