K2 MATHEMATIK KLAUSUR. Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max) Punkte Notenpunkte

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1 K2 MATHEMATIK KLAUSUR Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max Punkte Notenpunkte PT P. (max Punkte WT Ana A.a b A.c Summe P. (max Punkte WT Geo G.a b S.a S.b Summe P. (max Punkte GTR und Formelsammlung dürfen erst nach Abgabe des Pflichtteils abgeholt werden.

2 Pflichtteil ( Bilden Sie die Ableitung der Funktion f(x = e2x + e x und vereinfachen Sie gegebenenfalls. (2 Geben Sie für die Funktion f(x = ( x eine Stammfunktion an. (3 Lösen Sie die Gleichung 5x 5 3x 3 2x =. (4 Gegeben ist die Funktion f durch f(x = 6 4e,5x. Geben Sie eine Gleichung der Asymptote an. Zeigen Sie, dass f streng monoton wachsend ist. Skizzieren Sie das Schaubild von f einschließlich der Asymptote. (5 Gegeben ist das Schaubild einer Stammfunktion F der Funktion f.

3 a Geben Sie einen Näherungswert für f(3 an. b Bestimmen Sie das Integral 3 f(x dx. c Untersuchen Sie folgende Aussagen auf ihre Richtigkeit und begründen Sie Ihre Antworten: f(x für < x < 5. f hat im Bereich 3 < x < eine Extremstelle. (6 Lösen Sie das Gleichungssystem 2x 3x 2 + x 3 = 2 3x 5x 2 2x 3 = und interpretieren Sie die Lösung geometrisch. (7 Gegeben sind drei Punkte A(3 2, B(2 und C(4 3. Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig und rechtwinklig ist. Bestimmen Sie den Punkt D so, dass das Viereck ABCD ein Quadrat ist. (8 In einem Behälter befinden sich 6 Kugeln mit den Nummern bis 6. Es wird solange ohne Zurücklegen gezogen, bis eine gerade Nummer gezogen wird. a Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass erst im dritten Zug eine gerade Nummer gezogen wird. b Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man höchstens dreimal zieht? (9 Die Menge aller Punkte, die von zwei Punkten P und Q den gleichen Abstand haben, liegen auf einer Ebene E. Beschreiben Sie eine Möglichkeit, eine Gleichung dieser Ebene zu bestimmen.

4 Analysis Sterne ändern ihren Durchmesser mehr oder weniger stark. Bei manchen Sternen sind diese Änderungen der Durchmesser periodisch und äußerst heftig. So wird die momentane Änderungsrate v(t des Durchmessers des Riesensterns RS Pup beschrieben durch v(t = 5,2 sin(,52 t (t in Tagen seit Beobachtungsbeginn, v(t in Mio km/tag. a Skizzieren Sie das Schaubild von v für die ersten 6 Tage. Bestimmen Sie die Periode von v. Geben Sie v(4 und v(35 an und interpretieren Sie dies im Sachzusammenhang. Wann ist die momentane Änderungsrate des Durchmessers maximal? Wie groß ist sie dann? Wie groß ist die mittlere Änderungsrate des Durchmessers während der ersten 6 Tage? b Interpretieren Sie die kleinste positive Nullstelle von v im Hinblick auf die Größe des Sterns. Um wie viel unterscheiden sich der größte und der kleinste Durchmesser? Unsere Sonne hat einen Durchmesser von ca,4 6 km. Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem sich der Durchmesser des Sterns RS Pup seit Beginn der Beobachtung erstmals um,4 6 km verändert hat. c Beim Stern Delta Cephei unterscheiden sich während einer Periode von ca. 5,4 Tagen der größte und der kleinste Durchmesser um ca. 6,8 6 km. Der mittlere Durchmesser beträgt ca. 58,2 6 km. Der Durchmesser wird modellhaft beschrieben durch D(t = a sin(bt + c, t in Tagen seit Beobachtungsbeginn, D(t in 6 km. Ermitteln Sie a, b und c. Bestimmen Sie die maximale Geschwindigkeit, mit der sich der Durchmesser dieses Sterns verändert.

5 Geometrie Gegeben ist die Ebene E mit E : 3x + 6x 2 + 2x 3 = 8. a Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden von E mit der x x 2 -Ebene. Berechnen Sie den Winkel, den E mit der x x 2 -Ebene einschließt. Der Punkt P ( 5 wird an E gespiegelt. Bestimmen Sie die Koordinaten des Bildpunktes. b Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden, die durch den Punkt T (2 4 3 geht, zur Ebene E parallel ist und die x -Achse schneidet. Stochastik. Ein Händler erhält Handys in Packungen zu je 2 Stück. Erfahrungsgemäß sind 3 % der Handys defekt. a Der Händler untersucht eine gelieferte Packung. Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält sie mindestens zwei defekte Handys? Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind darin mehr als 7 Handys einwandfrei? b Der Händler erhält eine größere Sendung Handypackungen. Er überprüft zunächst eine Packung. Sind darin mindestens zwei Handys defekt, schickt er die ganze Sendung zurück. Andernfalls überprüft er eine zweite Packung. Wenn er dann bei beiden Überprüfungen insgesamt mindestens drei defekte Handys findet, schickt er die Sendung zurück. Mit welcher Wahrscheinlichkeit schickt er die Sendung zurück?

6 Lösungen Pflichtteil ( Es ist f(x = e2x + e x also f (x = e x e x. = e2x e x + e x = ex + e x, (2 Es ist F (x = 5 ( ( 2 x 2 = 2 ( x (3 Ausklammern und Satz vom Nullprodukt liefert x(5x 4 3x 2 2 =, also x = oder 5x 4 3x 2 2 =. Substitution: x 2 = z ergibt z 2 3z 2 =, also z = und z 2 = 2. Nun hat x 2 = keine Lösung, während x 2 = 2 auf x 2,3 = ± 2 führt. (4 Da e,5x geht für x +, ist f(x 6 und damit y = 6 waagrechte (rechtsseitige Asymptote. f ist streng monoton wachsend, denn f (x = 2e,5x ist positiv, da die Exponentialfunktion immer positiv ist. (5 a Es ist f(3 2 (Steigung der Tangente in x = 3 b 3 f(x dx = F (3 F ( = ( 2 = 2. c f(x für < x < 5: wahr, da F in diesem Bereich streng monoton steigt. f hat im Bereich 3 < x < eine Extremstelle: wahr, da F bei x einen Wendepunkt besitzt. (6 Die beiden Gleichungen beschreiben Ebenen, die Lösungsmenge deren Schnittgerade. a Methode.

7 Wir suchen einen Punkt (x x 2 auf beiden Ebenen; damit ist 2x 3x 2 = 2 und 3x 5x 2 =. Daraus folgt x 2 = 8 und x = 3. Also ist P (3 8 auf beiden Ebenen. Jetzt suchen wir einen Punkt (x x 3 auf beiden Ebenen. Aus 2x + x 3 = 2 und 3x 2x 3 = folgt x = 3 7, x 3 = 8 7, also ( Damit erhalten wir die Gleichung der Schnittgeraden ( ( 38 88/7 ( 38 7 x = + t oder x = + u(. 8 8/7 b Methode 2: Mit x 3 = t erhalten wir 2x 3x 2 = 2 t 3x 5x 2 = + 2t Elimination von x ergibt x 2 = 8 7t, Einsetzen 2x = 2 t + 3(8 7t und damit x = 3 t. Also ist ( ( 38 x = + u. (7 Wir finden AB = 7 ( 2, ( 4 AC = 2 und BC = ( 22. Wegen AB = BC = 3 ist das Dreieck gleichschenklig, wegen AC = 8 ist es nicht gleichseitig. Weiter ist es rechtwinklig in B wegen AB Eine Skizze zeigt, dass AB = liefert D(5 3. ( BC = =. = DC sein muss, und (8 a Erst im dritten Zug gerade: p(uug = = 3 2. ( 2 2 b Gegenereignis: mindestens viermal ziehen, also p(uuug = p(uuu = 3 2 =. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist p = = (9 Normalenvektor der Ebene ist n = P Q. Der Mittelpunkt M von P und Q liegt auf E. Also hat E die Gleichung ( x m n = mit m = OM.

8 Analysis a Periode: entweder als Abstand zweier benachbarter Hochpunkte, oder mit p = 4,3. Die Periode beträgt 4,3 Tage. 2π,52 v(4 4, 4: nach 4 Tagen (die Musterlösung des Nachtermins sagt: am 4. Tag; das ist natürlich falsch nimmt der Sterndurchmesser um 4,4 Mio km pro Tag zu. v(35 4, 3: nach 35 Tagen nimmt der Sterndurchmesser um 4,3 Mio km pro Tag ab. Hochpunkt (des Schaubilds von v(t : (, 3 5, 2; nach etwa,3 Tagen ist die ÄNderungsrate maximal, nämlich 5,2 Mio km pro Tag. Mittlere Änderungsrate 6 v(t dt, : Die mittlere Änderungsrate während der ersten 6 Tage ist, Mio km pro 6 Tag. b Die minimale positive Nullstelle ist bei t 2, 7; dort wechselt das Vorzeichen von v(t von + nach, also ist nach 2,7 Tagen der Durchmesser maximal. Durchmesser ist minimal bei t = und maximal bei t = 2, 7, also 2,7 v(t dt 68, 4: der Unterschied zwischen minimalem und maximalem Durchmesser ist 68,4 Mio km. Änderung des Durchmessers: x v(t dt =, 4 liefert x, 9: nach etwa,9 Tagen hat sich der Durchmesser erstmals um,4 6 km verändert. c Parameter: a = 2 6, 8 = 3, 4; b = 2π 5,4, 64, c = 58, 2. Maximale Geschwindigkeit: Maximum von D ist D ( 4; der Durchmesser ändert sich maximal um 4 Mio km pro Tag.

9 Geometrie a Schnittgerade mit x 3 = : ( setze x( 2 = t; dann ist 3x = 8 6t, also 6 2 x = 6 2t und somit x = + t die Schnittgerade. Winkel: cos α = ( 36 2 ( Lotgerade x = OP + t n = 7 = 2 7, also α 73, 4. ( 5 + t( 36 2 ; schneiden mit E liefert 3( + 3t + 6( 5 + 6t + 2( + 2t = 8, also t = 8 und so t =, also L(2 3. Spiegeln: OP = OP +2P ( ( L = 5 +2( =. Also ist P ( b Die Gerade geht ( durch ( T und einen Punkt P (x, hat also die 24 x 2 Gleichung x = + t 4. Damit sie zu E parallel ist, muss der 3 3 Richtungsvektor senkrecht auf den Normalenvektor stehen: = ( ( ( = 3x 36, also x = 2 und damit x = + t ( x Stochastik. a X = Anzahl defekter Handys in einer Packung; n = 2; p =, 3 p(x 2 = p(x [= binomcdf(2,.3, ] =.2: die Wahrscheinlichkeit beträgt 2 %. Mehr als 7 einwandfrei, also mindestens 8 einwandfrei, also höchstens 2 defekt: p(x 2 =.979: die Wahrscheinlichkeit ist etwa 97,9%. b Die Sendung wird zurückgeschickt, wenn in der ersten Packung mindesten 2 Handys defekt sind, oder in der ersten genau eines und in der zweiten mindestens 2, oder in der ersten keines und in der zweiten mindestens 3. Da sich die einzelnen Möglickeiten gegenseitig ausschließen, ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit gleich Jetzt ist p = p(x 2 + p(x = p(x 2 + p(x = p(x 3. p(x 2 =.2, p(x = p(x 2 = =.4, p(x = p(x 3 = =.,

10 also p =.7: er schickt sie mit einer Wahrscheinlichkeit von 7 % zurück.