Hauptprüfung Fachhochschulreife Baden-Württemberg

Transkript

1 Hauptprüung Fachhochschulreie 3 Baden-Württemberg Augabe 3 Analysis Hilsmittel: graikähiger Taschenrechner Beruskolleg Alexander Schwarz Dezember 3

2 3. Das Schaubild einer Funktion ist symmetrisch zur y-achse und verläut durch den Punkt S(/3) und hat in T(3/) einen Tiepunkt. Geben Sie jeweils die Gleichung - einer Polynomunktion 4.Grades und - einer trigonometrischen Funktion an, deren Schaubild die genannten Bedingungen erüllt. (7 Punkte) Gegeben ist die Funktion mit (x) = 5sin(x) + 5 mit x. Das Schaubild von ist K. 3. Bestimmen Sie die ersten drei Ableitungen von. Geben Sie die Periodenlänge des Schaubilds K als Vielaches von π an. Geben Sie die exakten Koordinaten von vier Wendepunkten an. (6 Punkte) 3.3 Das Schaubild K p der Funktion p mit p(x) = x + 3 schließt mit dem Schaubild K eine Fläche ein. Berechnen Sie den Flächeninhalt mithile einer Stammunktion. (6 Punkte) 3.4 Der Ursprung und der Punkt P(u/p(u)) mit u,6 sind Eckpunkte eines achsenparallelen Rechtecks. Für welchen Wert von u ist der Flächeninhalt des Rechtecks maximal? Geben Sie den maximalen Flächeninhalt an. (5 Punkte) 3.5 Begründen Sie, ob olgende Aussagen wahr oder alsch sind: a) Es gilt (x)dx= b) Die Funktionen g mit g(x) = 5sin(x) + mx besitzt ür jedes m die gleichen Wendestellen wie die Funktion. c) Für, x,5 ist die Tangentensteigung von K bei x=,5π am größten. (6 Punkte) Punkte

3 3. Gleichung der Polynomunktion 4.Grades: Lösung Das Schaubild hat bei x = 3 eine doppelte Nullstelle, da dort ein Tiepunkt vorliegt. Da das Schaubild symmetrisch zur y-achse ist, hat es bei x = -3 ebenalls eine doppelte Nullstelle. Ansatz: (x) = a (x 3) (x+ 3) Einsetzen von S(/3): 3= a ( 3) 3 a= 7 Die Funktionsgleichung lautet (x) = (x 3) (x+ 3) 7 Gleichung der trigonometrischen Funktion: Da das Schaubild symmetrisch zur y-achse ist, wird eine allgemeine Kosinusunktion angesetzt: (x) = a cos(bx) + c Der höchste Punkt ist mit S(/3) au der Höhe 3, der tieste Punkt mit T(3/) au der Höhe. Die waagrechte Mittellinie des Schaubildes verläut au der Höhe 3 + =,5. Damit ist c =,5. Die Amplitude beträgt ebenalls a =,5. π π Die Periode des Schaubildes beträgt 6, damit ist b= =. 6 3 π Die Funktionsgleichung lautet (x) =,5 cos( x) +, Gegeben ist (x) = 5 sin(x) + 5 Die ersten drei Ableitungen lauten (x) = 5 cos(x) = 5 cos(x) (x) = 5sin(x) = 5sin(x) (x) = 5cos(x) = 5cos(x) Die Periodenlänge von beträgt π p= = π 5 Wendepunkte von (x): 3

4 Man erkennt, dass sich die Wendepunkte au der Höhe y = 5 beinden. Ein Wendepunkt hat die Koordinaten W(/5). Die anderen Wendepunkte haben jeweils einen Abstand von einer halben Periode: π π 3 W ( /5) ; W 3( /5) ; W 4( /5) 5 π 3.3 Zur Berechnung der Fläche werden die Schnittpunkte der beiden Schaubilder benötigt. Der GTR lieert als Schnittstellen x =,49 und x =,448 Die gesuchte Fläche hat den Inhalt,448,448 ( x + 3 ( 5sin(x) + 5))dx = ( x + 5sin(x))dx,49,49,448 3 x x 5cos(x),338 = 3,49 FE (GTR) Hinweis: Die Augabenstellung "Berechnen Sie mithile einer Stammunktion" bedeutet, dass die Stammunktion augestellt werden muss, aber man dar zur Berechnung des Integrals trotzdem den GTR verwenden (es wird kein exaktes Ergebnis verlangt). 3.4 Die zu maximierende Rechtecksläche hat die Formel A = OQ PQ 4

5 Mit den Koordinaten P(u/p(u)) und Q(u/) und O(/) ergeben sich die Streckenlängen OQ= u = u und PQ= (u) = (u) Die Zielunktion lautet A(u) = u (u) = u ( u + 3) mit u,6 Gesucht ist das Maximum der Zielunktion, das mit dem GTR bestimmt wird. Für u =,465 existiert ein Hochpunkt mit dem y-wert 4,34. Für die Randwerte gilt A() = und A(,6) = 3,48. Somit ist der größte Wert mit 4,34 das absolute Maximum. An der Stelle u =,465 ist der Flächeninhalt des Rechtecks mit 4,34 FE maximal. 3.5 a) (x)dx= ist alsch. Gemäß GTR ergibt sich (x)dx 49,93. b) Es ist g(x) = 5cos(x) + m und g(x) = 5sin(x) Die zweite Ableitung ist unabhängig von m. Da g(x) = (x) gilt, haben beide Funktionen dieselben Wendestellen. Die y-werte der Wendepunkte können sich jedoch unterscheiden. Die Aussage ist wahr. c) Die Tangentensteigung von berechnet sich mit (x) = 5 cos(x). Einzeichnen der Funktionsgleichung in den GTR: Das Maximum beindet sich bei,34 und nicht bei,5,47 π. Die Aussage ist alsch. 5