Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 2011/2012

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1 Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Wissenschaft Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr / Fach (B) Prüfungstag 5. April Prüfungszeit Zugelassene Hilfsmittel Allgemeine Arbeitshinweise Spezielle Arbeitshinweise 9: - : Uhr Mathematische Formelsammlungen (keine selbst angefertigten) ohne Musterlösungen, Taschenrechner ohne Graphikdisplay, keine CAS-Rechner, frei programmierbare Speicher müssen gelöscht sein. Das Handbuch muss vorliegen. Sollte Ihr Taschenrechner die Möglichkeit zum numerischen Differenzieren oder Integrieren bieten oder in der Lage sein, Gleichungen oder Gleichungssysteme zu lösen, dürfen Sie bei Ihren Lösungen davon keinen Gebrauch machen. Ihre Lösungswege sind so zu gestalten und zu dokumentieren, wie sie ohne diese Hilfsmittel durchgeführt werden. Bleistifte dürfen nur für Skizzen benutzt werden. Die Reinschriften und Entwürfe sind nur auf den besonders gekennzeichneten Bögen anzufertigen, die Sie für die Prüfung erhalten. Diese sind zu nummerieren und sofort mit Ihrem Namen zu versehen. Für jede neue Aufgabe ist ein neuer gekennzeichneter Bogen zu beginnen. Schwerwiegende oder gehäufte Verstöße gegen die sprachliche Richtigkeit oder gegen die äußere Form führen zu einem Abzug von bis zu einem Punkt (Malus- Regelung). Bedenken Sie die Folgen einer Täuschung oder eines Täuschungsversuchs! Der Aufgabensatz besteht aus vier verschiedenen Einzelaufgaben, die Sie alle bearbeiten müssen! Gesamtzahl der abgegebenen Lösungsblätter (Reinschrift): Bewertungseinheiten, und Gesamtpunkte und Gesamtnote : Aufgabe Nr. Soll % = BE 4 Ist % = BE Ist (ggf. Zweitkorrektur) Summe: Notenpunkte: 5 Punkte Punkte Maluspunkt - Punkt Punkt Insgesamt: Punkte = Note : Punkte = Note : Datum, Unterschrift: gilt nur für doppelt qualifizierende Bildungsgänge mit Fachhochschulreife

2 Abschlussprüfung Fachoberschule () Aufgabenvorschlag B / 4 Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung 4 f ( x) x x x = + +. Dazu ist ein Rechteck gegeben, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. Die Seiten enthalten jeweils eine Nullstelle bzw. einen Extremalpunkt. -. Geben Sie das Symmetrieverhalten von f begründet an! /. Berechnen Sie die Nullstellen von f! / 5. Berechnen Sie die Extremalpunkte des Graphen von f! / 5.4 Berechnen Sie die Wendepunkte des Graphen von f! / 7.5 Berechnen Sie den Flächeninhalt des beschriebenen Rechtecks! (Falls Sie. bzw.. nicht lösen können, lesen Sie die entsprechenden Werte näherungsweise in der Zeichnung ab!).6 Stellen Sie die Gleichung der Normalen n von f im Koordinatenursprung auf! Tragen Sie die Normale in die Skizze ein!.7 Berechnen Sie die Schnittpunkte der Normalen n mit den Rechteckseiten! (Falls Sie. bzw.. nicht lösen können, beschreiben Sie den Lösungsweg, um die Schnittpunkte zu finden, schrittweise als Text!) / 4 / 4 / Aufgabenvorschlag B Abschlussprüfung Fachoberschule Seite von

3 Abschlussprüfung Fachoberschule () Aufgabenvorschlag B /5 Eine punktsymmetrische ganzrationale Funktion f fünften Grades verläuft durch den Punkt P (,5). Die Tangente von f an der Stelle Die zweite Ableitung an der Stelle x = ist gleich. x = verläuft durch den Punkt P ( ). Bestimmen Sie das Gleichungssystem zur Berechnung der Funktionsgleichung dieser Funktion. Die Lösung dieses Gleichungssystems ist nicht erforderlich. Lösen Sie stattdessen das folgende Gleichungssystem und bestimmen Sie damit die gesuchte 5 Funktionsgleichung f ( x) = ax + bx + cx der Funktion f. 5a + 4b + c = 7 5a + b + c = 8,5 a 8b c = 5 / 5 Gegeben ist die Funktion f mit f( x) = x 8x + 6 x ; x [;4]. (siehe Zeichnung) In die vom Graphen von f und der x-achse eingeschlossene Fläche soll ein möglichst großes Dreieck einbeschrieben werden. Die untere Seite des Dreiecks liegt auf der x- Achse vom Ursprung bis zur Stelle x. Die rechte Seite ist eine Parallele zur y-achse mit dem Punkt A auf dem Graphen von f. a b. Weisen Sie nach, dass die Funktionsgleichung der Zielfunktion zur Bestimmung des Flächeninhaltes wie folgt lautet: Ax = x x x + ( ) 4 8 / 5. Wie groß sind die Seiten a und b des Dreiecks mit dem größten Flächeninhalt? / 7. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks. / Aufgabenvorschlag B Abschlussprüfung Fachoberschule Seite von

4 Abschlussprüfung Fachoberschule () Aufgabenvorschlag B 4 Runden Sie alle Ergebnisse und Zwischenergebnisse auf Stellen nach dem Komma. / Eine Werbeagentur hat für einen Kunden ein Firmenlogo entworfen, das den Buchstaben W darstellt und an der Fassade der Firmenzentrale des Kunden angebracht werden soll. In der Abbildung ist das Logo durch die grau gefärbte Fläche dargestellt, deren Ränder die Graphen der Funktionen f und g mit den Funktionsgleichungen 4 f( x) =,5x x + 4 und 4 gx ( ) =, 4x,8 x + 4, 6 sind. ( LE m) Das Logo ist 6,5 m hoch und ganz oben 6 m breit. 4. Berechnen Sie das Integral Fläche durch eine Schraffur in der Abbildung. I = f( x) dxund markieren Sie die entsprechende 4. Am oberen Ende des Logos soll in der Weihnachtszeit der Zwischenraum durch eine Lichterkette überbrückt werden, die mindestens die Länge a haben muss (siehe Abbildung ). Berechnen Sie a. / 7 / 8 4. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Firmenlogos. / 5 Ende der Aufgabenstellung Aufgabenvorschlag B Abschlussprüfung Fachoberschule Seite von

5 Abschlussprüfung Fachoberschule Erwartungshorizont für Aufgabenvorschlag B Teilaufgaben BE in AB Erbrachte Teilleistung I II III BE Begutachtung. Keine Symmetrie, da sowohl gerade als auch ungerade Exponenten vorhanden. Nullstellenberechnung 4 f( x) = x + x + x= x( x + x+ ) = x = oder x + x + = Nullstelle x N = Aus der Skizze Nullstelle x = entnommen und Polynomdivision N ( x x ) : ( x ) x x = + + durchgeführt Die Gleichung x + x+ = gelöst und die Nullstellen x = und x 4 = berechnet N N. Notwendige Bed. f ( x) = 4x + 6x+ = Aus der Skizze Extremstelle x E = entnommen und Polynomdivision ( 4x + 6x+ ):( x+ ) = 4x + 4x+ durchgef. Die Gleichung 4x + 4x+ = gelöst und die Extremstellen xe,66 und xe,66 berechnet Hinr. Bed. f ( x E ) geprüft f ( x) = x + 6 f ( ) = 6< HP f (,66) 6,9 < HP f (,66) 4,9 > TP y-koordinaten berechnet und Punkte angegeben HP (- ); HP (,66 4,848); TP(-,66 -,48) 5 Zwischensumme: Aufgaben..bis. Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Fachoberschule Fach Seite von 6

6 Erwartungshorizont B Land Berlin Zwischensumme: Aufgaben..bis..4 Notwendige Bed. f ( x) = x + 6= Wendestellen xw,77 und xw,77berechnet Hinreichende Bed. f ( x) = 4x geprüft f (, 77) < Links-Rechts-Wendepunkt f (, 77) > Rechts- Links-Wendepunkt y-koordinaten berechnet und Punkte angegeben WP (,77;,644) WP =(-,77;-,64).5 Breite = LE Höhe = 5,96 LE A =5,588 FE.6 Normalensteigung m N = = f () Normalengleichung nx ( ) = x Einzeichnen der Normalen.7 Schnittpunkt mit der senkrechten Seite n( ) = P( ) Schnittpunkt mit der waagerechten Seite nx ( ) =,48 x =, 696 Q, 696,48 S s ( ) Alternative: Lösungsweg beschrieben Möglichkeit von Schnittpunkten der Normalen mit der senkrechten bzw. waagerechten Rechtecksseite formuliert y P als Funktionswert von n beschrieben x Q als Nullstelle von n beschrieben 5 4 Mögliche BE: 4 Erreichte BE Endsumme Aufgabe Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Fachoberschule Seite von 6

7 Erwartungshorizont B Land Berlin Aufg. Erwartete Teilleistung Ansatz: 5 f ( x) = ax + bx + cx 4 f ( x) = 5ax + bx + c f ( x) = ax + 6bx Bedingungsgefüge:. f ( ) =,5 Punkt P (,5). Δy f '( ) = mt = Δ x Anstieg bei x = (,5) = = 5,5 ( ). f ''( ) =. Ableitung bei x = BE in AB Erbrachte Teilleistung I II III BE Begutachtung Gleichungssystem: a b c =,5 5a + b + c = 5,5 a 6b = Lösungen des gegebenen Gleichungssystems a= ; b= ; c=,5 Funktionsgleichung: 5 f ( x) = x + x +,5x 5 Summe: Mögliche BE: 5 Erreichte BE Endsumme Aufgabe Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Fachoberschule Seite von 6

8 Erwartungshorizont B Land Berlin Aufg. Erwartete Teilleistung. Hauptbedingung HB: Flächeninhalt eines Dreieckes: A = gh Ax ( ) = x f( x) = x( x 8x + 6x) 4 = x 4x + 8x = x x 4x+ 8. A ( x) = x x + 6x A ( x) = = x x + 6x = x 6x + 8x = x x 6x+ 8. ( ) x = Flächeninhalt Null 6 6 x/ = ± 8 = ± 4 x = 4 Flächeninhalt Null x = f() = 8 a = und b = 8 Ax ( ) = x f( x) = 8= 8 Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von 8 FE. BE in AB Erbrachte Teilleistung I II III BE Begutachtung Summe: Mögliche BE: 5 Erreichte BE Endsumme Aufgabe Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Fachoberschule Seite 4 von 6

9 Erwartungshorizont B Land Berlin BE in AB Erbrachte Teilleistung Aufg. 4 Erwartete Teilleistung I II III BE Begutachtung ( ) 4. I = f ( x) dx = f ( x) dx = F( ) F( ) wegen Symmetrie F ist Stammfunktion von f F x =,5x x + 4x 5 ( ) ( ) ( ) F = 6,5 und F = I =, Schraffur 4. Ansatz: ( ) 4 g x = 6,5,4x,8 x,65 = Substitution x = z führt zu der Gleichung,4z,8 z,65 = z 4,5z 4,5 = z = -,789 ( nicht sinnvoll) und Lösungen: z = 5,89 Resubstitution ergibt x / =± 5,89 =±,986 Also ist a = 4,596m 4,596m Zwischensumme: 8 6 Aufgaben 4. bis 4. Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Fachoberschule Seite 5 von 6

10 Erwartungshorizont B Land Berlin 4. Der gesuchte Flächeninhalt ist Ages = A A A, wobei A = Flächeninhalt des Rechtecks von bis der Höhe 6,5 = 7,5,98 ( ), ( s.o. ) A = f x dx = und A = Inhalt der Fläche zwischen dem Graph von g und der Gerade h mit h x = 6,5 ( ) ( ) ( ) ( ) A d x dx = D,98 D Zwischensumme: 8 6 Aufgaben 4. bis 4. 4 d ist die Differenzfunktion von g und h 4 d( x) = h( x) g( x) =,4x +,8 x +,65 D ist die Stammfunktion von d 5 D( x) =,8x +,6x +,65 x D(,97) 5,946 und D( ) = A,89 A ges,8 Das Logo hat einen Flächeninhalt von ca.,8 m². 5 BE Summe: 7 Mögliche BE: Erreichte BE Endsumme Aufgabe 4 Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Fachoberschule Seite 6 von 6