Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Herbst 2012

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1 Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Wissenschaft Fach Name, Vorname Klasse Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Herbst 0 (B) Prüfungstag 0..0 Prüfungszeit Zugelassene Hilfsmittel Allgemeine Arbeitshinweise Spezielle Arbeitshinweise 09:00 - :00 Uhr Mathematische Formelsammlungen (keine selbst angefertigten) ohne Musterlösungen, Taschenrechner ohne Graphikdisplay, keine CAS-Rechner, frei programmierbare Speicher müssen gelöscht sein. Das Handbuch muss vorliegen. Sollte Ihr Taschenrechner die Möglichkeit zum numerischen Differenzieren oder Integrieren bieten oder in der Lage sein, Gleichungen oder Gleichungssysteme zu lösen, dürfen Sie bei Ihren Lösungen davon keinen Gebrauch machen. Ihre Lösungswege sind so zu gestalten und zu dokumentieren, wie sie ohne diese Hilfsmittel durchgeführt werden. Bleistifte dürfen nur für Skizzen benutzt werden. Die Reinschriften und Entwürfe sind nur auf den besonders gekennzeichneten Bögen anzufertigen, die Sie für die Prüfung erhalten. Diese sind zu nummerieren und sofort mit Ihrem Namen zu versehen. Für jede neue Aufgabe ist ein neuer gekennzeichneter Bogen zu beginnen. Schwerwiegende oder gehäufte Verstöße gegen die sprachliche Richtigkeit oder gegen die äußere Form führen zu einem Abzug von bis zu einem Punkt (Malus- Regelung). Bedenken Sie die Folgen einer Täuschung oder eines Täuschungsversuchs! Der Aufgabensatz besteht aus vier verschiedenen Einzelaufgaben, die Sie alle bearbeiten müssen! Gesamtzahl der abgegebenen Lösungsblätter (Reinschrift): Bewertungseinheiten, Gesamtpunkte und Gesamtnote : Blätter Aufgabe Nr.: Soll % Ist Ist (ggf. Zweitkorrektur) Summe: 00 Notenpunkte: 5 Punkte Punkte Maluspunkt - Punkt Punkt Insgesamt: Datum, Unterschrift: Punkte Note: Punkte Note: gilt nur für doppelt qualifizierende Bildungsgänge mit Fachhochschulreife

2 Abschlussprüfung Fachoberschule Herbst 0 Aufgabenvorschlag B /40 Gegeben ist die ganzrationale Funktion f mit: f ( ) = ; IR.. Überprüfen Sie das Symmetrieverhalten des Graphen von f und begründen Sie die Aussage. /. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion f im Unendlichen. /. Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von f mit den Koordinatenachsen. /5.4 Berechnen Sie die Koordinaten der Etrempunkte und bestimmen Sie die Art der Etrema. /.5 Ermitteln Sie die Wendepunkte/Sattelpunkte des Graphen von f und stellen Sie die Gleichung der Wendetangente t W auf. /.6 Berechnen Sie den Winkel α zwischen der Wendetangente t W und der - Achse. /.7 Skizzieren Sie den Graphen von f und den Graphen der Tangente t W im Intervall in das nachfolgende Koordinatensystem. /6 Fortsetzung nächste Seite Aufgabenvorschlag B Abschlussprüfung Fachoberschule Herbst 0 Seite von 5

3 graphische Darstellung zu.7 Aufgabenvorschlag B Abschlussprüfung Fachoberschule Herbst 0 Seite von 5

4 /5 Der Graph der ganzrationalen Funktion f. Grades verläuft durch den Koordinatenursprung und hat an der Stelle = eine waagerechte Tangente. Die Tangente im Wendepunkt W(4 y W ) hat die Steigung m = 4. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung dieser Funktion. Wenn Sie das Gleichungssystem nicht aufstellen können, lösen Sie ersatzweise das folgende Gleichungssystem und bestimmen Sie damit die gesuchte Funktionsgleichung der Funktion f. f( ) = a + a + a+ a ; IR 0 0 = a 0 0 = 4 a + 8 a + a - = 4 a + 4 a + 0,5a 0 = a + a Aufgabenvorschlag B Abschlussprüfung Fachoberschule Herbst 0 Seite von 5

5 /5 Aus einer rechteckigen Glasplatte mit den Seiten a = 40 cm und b = 50cm ist das in der Abbildung dargestellte dreieckige Stück herausgebrochen. Die Bruchkante kann mit der Funktion: f( ) = + 0 ; IR 0 < < 40 beschrieben werden. Aus dem Reststück soll eine rechteckige Platte mit dem Flächeninhalt A herausgeschnitten werden.. Zeigen Sie, dass A eine Zielfunktion ist, mit der der Flächeninhalt der rechteckigen Glasplatte berechnet werden kann: /5 ( ) = ; A A D. Berechnen Sie die Maße u Flächeninhalt maimal wird. und v der Seiten der Platte, sodass der /8. Bestimmen Sie den maimalen Flächeninhalt A der rechteckigen Platte, die aus dem Reststück herausgeschnitten werden soll. / Aufgabenvorschlag B Abschlussprüfung Fachoberschule Herbst 0 Seite 4 von 5

6 4 /0 Die Fassade des Vogelhauses eines Zoos soll ein Fenster in Gestalt eines stilisierten Vogels erhalten. Die Wand hat eine quadratische Grundfläche von 7 m Kantenlänge, die Konturen von Kopf, Rumpf und Schwanz des Vogels werden durch die Graphen der Funktionen f und g mit: f( ) = 0, +, 05,+,5 ; IR g( ) = 0, + ; IR beschrieben (s. Skizze). Die Flügel gehören nicht zur Fensterfläche, sie sollen wie das Auge nachträglich aufgemalt werden. g f 4. Berechnen Sie die Schnittstellen der Graphen von f und g. /6 4. Bestimmen Sie jeweils den Flächeninhalt der Glasflächen von Schwanz, Rumpf und Kopf. /0 4. Ermitteln Sie, wie groß der prozentuale Anteil der Fensterfläche an der Gesamtfläche der Fassade ist. / 4.4 Unterhalb des Vogels soll die Wand bis auf m Höhe mit Anti-Graffiti-Farbe gestrichen werden. Diese Farbe wird in Liter-Gebinden angeboten, ein Eimer kostet 44,00 und reicht für etwa 6,5 m² Wandfläche. Schraffieren Sie den zu behandelnden Bereich und zeigen Sie, dass der Graph von f durch den Punkt P ( ) verläuft. Berechnen Sie die benötigte Menge Farbe sowie die Kosten dieses Vorhabens. / Aufgabenvorschlag B Abschlussprüfung Fachoberschule Herbst 0 Seite 5 von 5

7 Erwartungshorizont B Teil- Erwartete Teilleistung aufgaben. f( ) f( ) f( ) f( ) oder die Eponenten von sind gerade und ungerade, der Graph ist weder achsensymmetrisch zur y-achse, noch punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.. Verhalten im Unendlichen lim f( ) lim f( ). Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen: BE in AB I II III f( ) = 0 = 0 Polynomdivision = ( durch Ausprobieren) + = ( ) : ( ) = = Schnittpunkte mit der Achse : N ( 0), N ( 0) f (0) = / Schnittpunkt mit der y Achse : P (0 ).4 Bestimmung der Etrempunkte: y f = ( ) f = ( ) f ( ) = 6 f ( ) = 0 0 = = = ; = = E E f () = 6 > 0 lokales Minimum f ( ) = 6 < 0 lokales Maimum f() = 4 ; E ( 4) min f( ) = 0; E ( 0) ma.5 Berechnung der Wendepunkte: Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Fachoberschule Herbst 0 Seite von 6

8 Erwartungshorizont B Teilaufgaben Erwartete Teilleistung BE in AB I II III f ( ) = 6 f ( ) = 0 6= 0; W = 0 f (0) = 6 f (0) = kein Sattelpunkt f(0) = ; W(0 ) Bestimmung der Tangentengleichung: f ( W ) = m f (0) = t : y = m + n = 0 + n n = y = ( Tangentengleichung).6 Bestimmung des Winkels: m = tan α α = 7, 6.7 Graphen der Funktionen f und t w 4 Summe 8 0 mögliche BE 40 Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Fachoberschule Herbst 0 Seite von 6

9 Erwartungshorizont B Teil- Erwartete Teilleistung aufgaben Ansatz: f( ) = a + a + a+ a f ( ) = a + a + a f ( ) = 6a+ a 0 BE in AB I II III Bedingungsgefüge:. f (0) = 0 (Graph geht durch den Ursprung). f () = 0 (Steigung der Tangente an der Stelle = ). f (4) = 4 (Steigung im Wendepunkt ) 4. f (4) = 0 (Wendepunkt bei W(4 y )) W Gleichungssystem: I. 0 = a 0 II. 0 = a + 4a + a III. -4 = 48a + 8a + a IV. 0 = 4a + a Lösen des Gleichungssystems (ebenso Ersatz-LGS) 5 Daraus ergibt sich (auch Ersatz-LGS): a = ; a = 4; a = ; a = 0 0 Für die Funktionsgleichung gilt: f( ) = 4 + Summe mögliche BE 5 Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Fachoberschule Herbst 0 Seite von 6

10 Erwartungshorizont B Teil- Erwartete Teilleistung aufgaben. Bestimmung der Zielfunktion: Auv (, ) = u v Hauptbedingung u = 40 v= f( ) = 0 + Nebenbedingung BE in AB I II III daraus folgt A(): A ( ) = (40 )(0 + ) = = Bestimmung von u und v: A ( ) = + 0 A ( ) = A ( ) = = 0 = 0 A (0) = < 0 ; lok. Maimum u = 40 = 0cm v = + 0 = 0cm. Bestimmung des maimalen Flächeninhalts: Auv (, ) = u v = 0cm 0cm = 900cm Summe mögliche BE 5 Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Fachoberschule Herbst 0 Seite 4 von 6

11 Erwartungshorizont B Teil- Erwartete Teilleistung aufgaben 4. Ansatz f( S) = g ( S), Umformen liefert die Differenzfunktion h ( ) = 0, +,5 4,+,5 =0 Durch Ablesen/Einsetzen erhält man die erste Schnittstelle =. Division durch 0, und Polynomdivision mit (,5 + 4,5) : ( ) =,5 +,5 liefert die weiteren Schnittstellen = 4,5 und = Zu berechnen sind drei Integrale über die Differenzfunktion h ( ) = 0, +, 5 4,+,5 Mit der Stammfunktion H( ) = + +, A = h( ) d, 9m Schwanz 0 4,5 A = h( ) d, 04 =, 04m Rumpf 7 A = h( ) d, 4m Kopf 4,5 4. Der Flächeninhalt der gesamten Fassade beträgt 7 7 = 49m, der Gesamtinhalt der Fensterfläche ist A + A + A =,9m +, 04m +, 4m 4.4 Schwanz Rumpf Kopf = 5,67m Per Dreisatz errechnet man 5,67 00 : 49 =,57%. Schraffur: BE in AB I II III Zu zeigen ist außerdem f () =, somit ist die obere Grenze für die zweite Teilfläche. Zu berechnen sind wiederum drei Teilflächen: Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Fachoberschule Herbst 0 Seite 5 von 6

12 Erwartungshorizont B Teilaufgaben Erwartete Teilleistung = ( 0, + ) = 5 + 0,9 0 0 A d m ( 0,, 05,,5) A = + + d ,5 4, m = + + = A = 4 = m Die zu streichende Gesamtfläche ist A = 0,9 + 4, + = 7,m. ges BE in AB I II III Bei einer Ergiebigkeit von 6, 5m pro Liter benötigt man 7,: 6,5,74l von der Farbe. Man muss also drei Eimer kaufen, die Kosten betragen demnach 44, =,. Summe mögliche BE 0 Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Fachoberschule Herbst 0 Seite 6 von 6