Eigenschaften von Funktionen. Aufgabe 1. Führen Sie eine ausführliche Funktionsuntersuchung für folgende Funktion durch:
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- Katrin Burgstaller
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1 Aufgabe 1 Führen Sie eine ausführliche Funktionsuntersuchung für folgende Funktion durch: f ( x) Ä Å x Ç 0,5x Ç 2 4
2 Aufgabe 2 Führen Sie eine ausführliche Funktionsuntersuchung für folgende Funktion durch: 1 3 f ( x) Ä Å x Ç1, 5x Å1 4
3 Aufgabe 3 Führen Sie eine ausführliche Funktionsuntersuchung für folgende Funktion durch: f ( x) Ä Å x Ç1, 5x Å x 4
4 Aufgabe a) Untersuchen Sie die Funktion f É xñ x x Ä Å 6 Ç 8. b) Bestimmen Sie die Steigungen in den Nullstellen von f und bestätigen Sie, dass die Summe dieser Steigungen null ergibt. c) Begründen Sie das Ergebnis aus b) mithilfe der Symmetrieeigenschaften von f. d) Sind die Steigungen der Tangenten nach oben bzw. unten beschränkt? e) Die Extrempunkte von f bestimmen ein Dreieck. Berechnen Sie dessen Flächeninhalt und Umfang. f) Ermitteln Sie den Schnittpunkt der Wendetangenten.
5 Aufgabe Gegeben ist die Funktion f É xñ Ä x Å x Ç 3x 6 3 a) Untersuchen Sie den Graphen von f auf Achsenschnittpunkte, Extremwerte und Wendepunkte. Zeichnen Sie den Funktionsgraphen. b) Vom Ursprung aus werde eine Tangente an den Graphen von f gelegt. Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente und geben Sie die Koordinaten des Berührungspunktes an. Zeigen Sie, dass die Tangente den Graphen von f in O (0; 0) orthogonal schneidet c) Für k Ö Ä ist fk É xñ Ä x x 3x 2 3k Å 3k Ç. Zeigen Sie, dass f zur Funktionenschar f k gehört und untersuchen Sie allgemein die Lage des Graphen in Bezug zur Gerade 1 y Ä Å x. 3
6 Aufgabe Gegeben ist die Funktion f É xñ Ä 1 x Å 1 x 20 3 a) Begründen Sie, dass der Funktionsgraph symmetrisch zum Koordinatenursprung ist. b) Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Graphen mit der 1. Achse sowie die Extrem- und Sattelpunkte. Zeichnen Sie den Graphen für Å3 Ü x Ü c) Für k Ö Ä ist fk É xñ Ä kx Å x. 3 Untersuchen Sie den Graphen von fk in Abhängigkeit von k auf Extrempunkte. Bestimmen Sie die Ortslinie der Kurvenschar. (Zeichnet man alle Funktionen der Kurvenschar f k, so liegen die Extrempunkte dieser Schar auf einer Funktion, die man als Ortslinie bezeichnet. Sie finden Hinweise dazu im Lehrbuch auf Seite 229.) d) Begründen Sie, dass unabhängig von k jede Funktion fk aus c) stets mindestens einen Extrempunkt hat.
7 Aufgabe 7 Ein Bauunternehmen baut an Schienenstrecken Lärmschutzwälle, die die angrenzenden Wohngebiete vor Fahrgeräuschen schützen sollen. Das Profil eines solchen Walls und des sich anschließenden Abflussgrabens ist im Intervall [0; 7] nach der Funktionsgleichung g É xñ Ä x Å x Ç x (x in Metern) geformt, wobei die x-achse das waagrechte Gelände darstellt. Bestimmen Sie die Höhe und Breite des Lärmschutzwalls sowie die Tiefe und Breite des rechts neben dem Wall liegenden Abflussgrabens und skizzieren Sie dann das Gesamtprofil in einem Koordinatensystem (alle Endergebnisse sind in der Einheit m, auf cm genau anzugeben).
8 Aufgabe 8 Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f dritten Grades mit dem Definitionsbereich R. Die Abbildung zeigt den Graphen G f von f. a) Bestimmen Sie mithilfe von G f die Funktionsgleichung von f, indem Sie geeignete Punkte vom Graphen ablesen. b) Berechnen Sie die Koordinaten des Hoch- und des Wendepunktes. c) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente t(x) an G f im Schnittpunkt mit der y-achse. In welchem Punkt S schneidet die Tangente G f? Zeichnen Sie die Tangente in die Abbildung ein a) f É xñ Ä x Å x Ç x Ç Zuatzaufgabe: Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die von der in Teilaufgabe c bestimmten Tangente t und G f eingeschlossen wird. Hinweis: Die Fläche unter einer Kurve wird mittels Integrale bestimmt á 1 à â1 ä á 1 à á 1 à 55 î å x Ç1 dx x x ç Ä é Ç Ä ã Ç Å ã Ç Ä 6 è å 6 ç å 6 ç ê ë í ì ê ë ê ë 6 0
9 Aufgabe 9 Die Flugweite eines geworfenen oder gestoßenen Gegenstandes hängt von der Anfangsgeschwindigkeit, dem Abwurfwinkel und der Abwurfhöhe ab. Vernachlässigt man den Luftwiderstand, dann lässt sich die Flugbahn einer Kugel näherungsweise durch eine Parabel beschreiben. Dabei soll gelten: - Die Abwurfhöhe h 0 betragt 2,20 m. - Der höchste Punkt der Flugbahn wird nach 8 m erreicht. - Die Kugel landet bei 19,5 m. a) Bestimmen Sie eine Funktion 2. Grades f (x) = ax 2 + bx + c, welche die Flugbahn näherungsweise beschreibt. b) Berechnen Sie den Abwurfwinkel und den Aufprallwinkel.
10 Aufgabe 10 Eine Funktion dritten Grades verläuft durch den Koordinatenursprung und hat bei 2 und +6 Extremstellen. Ermitteln Sie die Gleichungen aller Funktionen, die diese Bedingungen erfüllen. 4 fk x Ä x Å 2kx Å 3k x, 3k (Lösung: É Ñ Abbildung für k = 2: )
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