Beispielklausur für zentrale Klausuren

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Lisa Hoch
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1 Seite von 5 Beispielklausur für zentrale Klausuren Mathematik Aufgabenstellung Gegeben ist die Funktion f mit f ( = 0,5 x 4,5 x + x 9. Die Abbildung zeigt den zu f gehörigen Graphen. Abbildung a) Ermitteln Sie alle Nullstellen von f. Berechnen Sie die lokalen Extrempunkte des Graphen von f. b) Zeigen Sie, dass der Graph von f den Wendepunkt W( 0) besitzt. Bestimmen Sie eine Gleichung der Wendetangente an den Graphen von f. (8 Punkte) (6 Punkte) c) Zeichnen Sie in Abbildung den Graphen der Ableitungsfunktion f ' ein. An der Zeichnung kann man unterschiedliche Zusammenhänge zwischen den Graphen von f und f ' erkennen. Geben Sie zwei dieser Zusammenhänge an, die Sie selbst auswählen können. (6 Punkte) d) Entscheiden Sie, ob die Aussagen A und B jeweils wahr oder falsch sind, und begründen Sie Ihre Entscheidungen. A Die Steigung der Geraden durch die Punkte A(4 -) und B(6 f(6)) beträgt 5. B Es gibt eine Tangente an den Graphen der Funktion f, die parallel zur Geraden g mit g( = x verläuft. (5 Punkte)

2 Seite von 5 e) Wenn man den Funktionsterm von f verändert, so hat dies Auswirkungen auf den Graphen der Funktion. Abbildung zeigt z. B. den Graphen der Funktion h mit der Funktionsgleichung h ( = f (. + h h Abbildung Abbildung () Betrachten Sie nun die Abbildung. Die zugehörige Funktion bezeichnen wir mit h. Beschreiben Sie mit Worten, wie der Graph von h aus dem Graphen von f hervorgeht, und geben Sie die Funktionsgleichung von h an. () Betrachten Sie nun Funktionen h mit h ( = a f ( + b. Es gibt Zahlen, die man für a und b einsetzen kann, so dass der Graph der zugehörigen Funktion den Tiefpunkt T( -0,5) besitzt. Begründen Sie geometrisch, dass für a = und b = 0, 5 der zugehörige Funktionsgraph diesen Tiefpunkt besitzt. Ermitteln Sie neben a = und b = 0, 5 eine weitere konkrete Möglichkeit, so dass der Graph von h den Tiefpunkt T( -0,5) besitzt. (7 Punkte)

3 Seite von 5 Nr. Beispielklausur für zentrale Klausuren Mathematik Unterlagen für die Lehrkraft - Modelllösungen Punkte a Nullstellen von f: f ( = 0 x = x = x = + Lokale Extrempunkte:,7 f '( =,5 x 9 x + f ''( = x 9 f '() = 0 f ''() = < 0, f () = f '(4) = 0 f ''(4) = > 0, f (4) = 4,7 Damit ergibt sich der Hochpunkt H ( ) und der Tiefpunkt ( 4 ) T. 6 b f '''( = f ''() = 0 f '''() = 0, f () = 0 Damit ergibt sich der Wendepunkt ( 0) Gleichung der Wendetangente t mit m = f '() =,5 W. y = m x + b : Wegen W t ergibt sich: 0 =,5 + b b = 4, 5 und damit die Gleichung der Wendetangente t : y =,5 x + 4, 5. c Zwei mögliche Aspekte: An den beiden Extremstellen des Graphen von f besitzt der Graph von f ' jeweils eine Nullstelle. Für x < ist der Graph von f streng monoton steigend, dort gilt f '( > 0. Graph: Zsh.: 4

4 Seite 4 von 5 f ' Der gewählte Lösungsansatz und weg muss nicht identisch mit dem in der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender f d e A: Die Aussage ist wahr, da für die Steigung der Geraden gilt: (6) ( ) 9 + m = f = = B: Die Aussage ist falsch, da z. B. die Gleichung f '( = nicht lös-bar ist. () Der Graph der Abbildung entsteht aus dem Graphen von f durch Streckung mit dem Faktor in y-richtung. Daraus ergibt sich die passende Funktionsgleichung h ( = f ( ). x () Die Multiplikation mit bewirkt eine Spiegelung des Graphen an H des Graphen von f wird da- der x-achse. Der Hochpunkt ( ) durch zu dem Tiefpunkt ( ). Durch die Addition von 0,5 wird der Graph und damit auch der Tiefpunkt um 0,5 Einheiten nach oben verschoben. Alle Zahlen a und b mit a < 0 und a + b = 0, 5 sind geeignet, eine mögliche weitere Lösung ist daher z. B. a = 0,5 und b = 0 oder a = und b =, 5 oder a = und b =, 5 4 Summe:

5 Seite 5 von 5 Grundsätze für die Bewertung (Notenfindung) Für die Zuordnung der Notenstufen zu den Punktzahlen ist folgende Tabelle zu verwenden: Note Punkte Erreichte Punktzahl sehr gut plus sehr gut sehr gut minus gut plus 54-5 gut 5-48 gut minus befriedigend plus befriedigend befriedigend minus ausreichend plus ausreichend 5-8 ausreichend minus mangelhaft plus 4 - mangelhaft 0-7 mangelhaft minus 6 - ungenügend 0-0

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