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Marcus Schubert
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1 Lösungen ================================================================== Aufgabe Bestimme f '(x) a) f(x) = e x f '(x) = e x ( ) = 4 e c x b) f(x) = x e x f '(x) = e x ( ) = + e x c) f(x) = 3 e (x+) = 3 e x f '(x) = 3 e (x+) ( ) = 6 e (x+) d) f(x) = x e x f '(x) = x e x + x e x = (x + x ) e x e) f(x) = sinx e x f '(x) = cosx e x + sinx e x ( ) = (cox sinx) e x f) f(x) = x e x f '(x) = e x + x e x ( ) = ( x) e x g) f(x) = x ex f '(x) = x ex + x ex = ( + x) ex x h) f(x) = e x f '(x) = e x ( x) = x e x x i) f(x) = e f '(x) = e x ( x ) = x e x j) f(x) = e x + e x f '(x) = ex ( + e x ) e x e x ( + e x ) = ex + e x e x ( + e x ) = e x ( + e x ) k) f(x) = f '(x) = 0 ( + e x ) e x ( ) + e x ( + e x ) = e x ( + e x ) l) f(x) = (e x + ) (e x ) f '(x) = e x (e x ) + (e x + ) e x = = e 3x e x + 4e 3x + e x = 6e 3x + e x e x Aufgabe Bestimme f '(x) a) f(x) = ln(x + ) f '(x) = x + = x +

2 b) f(x) = (lnx) f '(x) = lnx x c) f(x) = ln ex e x + f '(x) = e x e x + ex (e x + ) e x e x (e x + ) = ex + e x e x (e x + ) = e x + d) f(x) = x lnx f '(x) = lnx + x x = lnx + x 0 (x + lnx) ( + x e) f(x) = f '(x) = x + lnx (x + lnx) = (x + lnx) = x + x (x + lnx) Aufgabe 3 Beschreiben Sie, durch welche Abbildungen der Graph der Funktion aus der natürlichen Exponentialfunktion hervorgeht. a) f : x e x Verschiebung mit v = 0 b) f(x) = e x Verschiebung mit v = 0 c) f(x) = e x Streckung senkrecht zur y-achse mit dem Faktor d) f(x) = e x Streckung senkrecht zur y-achse mit dem Faktor und anschlie- ßende Spiegelung an der y-achse e) f : x e x Spiegelung an der -Achse und anschließend Verschiebung mit dem Vektor v = 0 f) f : x e x+ = e (x 0,5) x ) Verschiebung tor. v = 0,5, dann zentrische Streckung senkrecht zur y-achse mit dem Fak- 0 Danach Spiegelung an der y-achse, gefolgt von einer Spiegelung an der x Achse, der sich eine Verschiebung mit v = 0 anschließt.

3 Aufgabe 4 Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f. Man findet eine Stammfunktion, wenn man beachtet, dass f(x) = e g(x) f '(x) = e g(x) g'(x) gilt (gültig für die Aufgaben a -e). a) f(x) = e x F(x) = ex b) f(x) = e x F(x) = e x c) f(x) = e x F(x) = ( ) e x = 4 e x d) f(x) = ( e x ) = 4 e x + 4 e x F(x) = x 4 e x + e x e) f(x) = x e x F(x) = e x

4 e x f) f(x) = F(x) = + e x + e x Aufgabe 5 Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f. Man findet eine Stammfunktion, wenn man beachtet, dass f(x) = ln[g(x)] f '(x) = g(x) g'(x) gilt. a) f : x x F(x) = lnx b) f : x x F(x) = ln(x ) c) f : x 3 x F(x) = 3 ln(x ) e d) f : x x e x + F(x) = ln(ex + ) Aufgabe 6 Gegeben ist die Funktion f : x lnx mit der maximalen Definitionsmenge D. x Untersuchen Sie das Grenzverhalten von f und bestimmen Sie die Wertemenge von f. D = R + lim lnx x x = lim lnx x lnx x ( ) = lim x 0+0 lnx x ( 0) = f '(x) = lnx x ( x ) = 0 x =

5 Beachte: lnx besitzt keine Lösung, wie man durch durch eine Extremwertbestimmung sieht. x = 0 Aus dem Grenzwertverhalten von f ergibt sich, dass (ln ) ein globaler Tiefpunkt ist. W = [(ln ) ; [ Abituraufgabe 0 e Gegeben ist die Funktion f : x x mit der Definitionsmenge. Die Abbildung zeigt e x R + 9 den Graphen G f von f. a) Zeigen Sie rechnerisch, dass G f nur einen Achsenschnittpunkt S besitzt und geben Sie die Koordinaten von S an. f besitzt keine Nullstelle. e Wegen f(x) = 0 ist der einzige Achsenschnittpunkt. e 0 = 0, S0 0, + 9 b) Begründen Sie mit Hilfe des Funktionsterms von f, dass lim f(x) = 0 und lim f(x) = x x gilt.

6 lim x e x e x + 9 = 0 und lim x e x e x + 9 = lim x e x = c) Zeigen Sie rechnerisch, dass G f in R streng monoton steigend ist. f '(x) = ex (e x + 9) e x e x (e x + 9) = 8 e x (e x + 9) > 0 dass der Graph von f streng monoton steigt. zeigt, d) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an G f im Achsenschnittpunkt S. f '(0) = 8 ( + 9) = 0,8 Tangentengleichung: y = 0,8 (x 0) + 0, = 0,8x + 0, e) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f. f(x) = ln(e x + 9) f) Begründen Sie, dass f in R umkehrbar ist. Geben Sie den Definitionsbereich und den Wer- tebereich der Umkehrfunktion an und zeichnen Sie den Graphen von in die Abbildung ein. Als streng monoton steigende Funktion ist f umkehrbar. f f D f = W f = ]0; [ und W = D f f = R

7 Das Wachstum von Sonnenblumen der Sorte Alba lässt sich modellhaft mit Hilfe der Funktion f beschreiben. Beginnt man die Beobachtung zwei Wochen nach der Auskeimung einer Sonnenblume dieser Sorte, so liefert f(x) für x [0; 4] im Modell die Höhe der Blume in Me- tern. Dabei ist x die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Monaten. In den Aufgaben g) bis h) werden ausschließlich Sonnenblumen der Sorte Alba betrachtet. g) Berechnen Sie, um wie viele cm eine Sonnenblume innerhalb der ersten zwei Monate nach Beobachtungsbeginn wächst. f() = e e + 9 0,90 Die Sonnenblume ist um 70 cm seit Beobachtungsbeginn gewachsen. h) Berechnen Sie, nach wie vielen Monaten nach Beobachtungsbeginn eine Sonnenblume eine Höhe von,5 m erreicht hat. Beschreiben Sie, wie man den berechneten Wert graphisch überprüfen kann! e x e x + 9 =,5 ex =,5 e x + 3,5 0,5 e x = 3,5 e x = 7 x = ln7 = 3 ln3 3,3 Monate x-koordinate des Schnittpunkts von y =,5 mit dem Graphen von f.

8 i) Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für den Zeitpunkt x M, zu dem die Blumen am schnellsten wachsen. x M, Exakt: x M = ln9 = ln3 Ermitteln Sie anschließend einen Näherungswert für diese maximale Wachstumsrate in Zentimeter pro Tag. 0,5 m month 0,07 cm day j) Ein Biologe nimmt an, dass sich das Wachstum der Blumen von Beobachtungsbeginn näherungsweise durch die Gleichung der Tangente aus Aufgabe d) beschreiben lässt. Untersuchen Sie mithilfe einer Rechnung, ob diese Annahme damit in Einklang steht, dass vom Zeitpunkt des Aufkeimens bis zum Beobachtungsbeginn etwa zwei Wochen vergehen. y = 0,8 x + 0, = 0 x = 0 9, (month) > 0,5 (month) Haben zu Beobachtungsbeginn Sonnenblumen der Sorte Tramonto die gleiche Höhe wie Sonnenblumen der Sorte Alba, so erreichen von da an die Sonnenblumen der Sorte Tramanto im Vergleich zu denen der Sorte Alba jede Höhe in der Hälfte der Zeit.

9 Das Wachstum von Sonnenblumen der Sorte Tramanto lässt sich modellhaft mithilfe einer in R definierten Funktion g beschreiben, die eine Funktionsgleichung der Form I, II oder III besitzt: I y = e x+k e x+k + 9 II y = k ek e x + 9 III y = e kx e kx + 9 k) Begründen Sie, dass weder eine Gleichung der Form I noch eine der Form II als Funktionsgleichung von g infrage kommt. Funktionsgleichung I: Der Graph der Funktion mit dieser Funktionsgleichung geht aus dem Graphen von f durch Verschiebung mit dem Vektor v = 0 hervor. k Wenn k 0, dann haben die Sorten zu Beobachtungsbeginn nicht die gleiche Höhe. Funktionsgleichung II: Damit die Sonnenblume der Sorte Tramonto die gleiche Höhe wie die der Sorte Alba erreicht, muss k = ein. Damit ist die Wachstumsbedingung nicht erfüllt. l) Die Funktionsgleichung von g hat also die Form III. Geben Sie den passenden Wert von k an. k =

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