Graphen quadratischer Funktionen und deren Nullstellen

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Judith Baumhauer
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1 Binomische Formeln Mithilfe der drei binomischen Formeln kann man Funktionen bzw. Gleichungen vereinfachen. 1. Binomische Formel ( Plusformel ) a a b+ b 2 = (a+ b) 2 Herleitung: (a+ b) 2 = (a+ b) (a+ b) = a 2 + ab+ ba+ b 2 = a 2 + 2a b+ b 2 Beispiel 1: = (3+ 4) 2 = 7 2 = 49 Beispiel 2: x x = ( x+ 3) 2 2. Binomische Formel ( Minusformel ) a 2 2ab+ b 2 = (a b) 2 Herleitung: (a b) 2 = (a b) (a b) = a 2 ab ba+ b 2 = a 2 2 a b+ b 2 Beispiel 1: = (8 6) 2 = 2 2 = 4 Beispiel 2: x 2 2 x = (x 7) 2 3. Binomische Formel ( Plusminusformel ) a 2 b 2 = (a+ b) (a b) Herleitung: (a+ b) (a b) = a 2 ab+ ba b 2 = a 2 b 2 Beispiel 1: (4+ 2) (4 2) = = 16 4 = 12 Beispiel 2: (x+ 3) (x 3) = x = x 2 9 Seite 1 von 11

2 Parabeln als Graphen quadratischer Funktionen Die Funktion f (x) = x 2 beschreibt den Graph einer Normalparabel. Eine Normalparabel hat folgende Eigenschaften: symmetrisch zur y Achse Schnittpunkt S (0 0) ist der tiefste Punkt Gleichung y=x 2 Öffnungsfaktor a: Definition: Der Koeffizient a bestimmt die Öffnung der Parabel und wird Öffnungsfaktor genannt. Die Gleichung y=ax 2 (mit a R ; a 0 ) entsteht wie folgt aus der Normalparabel: a> 1 enger als Normalparabel alle y Werte der Normalparabel werden mit den Faktor a multipliziert und damit vergrößert 0< a< 1 weiter als die Normalparabel alle y Werte der Normalparabel werden mit dem Faktor a multipliziert und damit verkleinert a Veränderung der Parabel zunächst gemäß dem Öffnungsfaktor a danach: Spiegelung an der x Achse Parabel nach unten geöffnet Scheitel höchster Punkt Alle Parabel mit den Öffnungsfaktor a=1 oder a= 1 können mithilfe der Parabelschablone gezeichnet werden. Seite 2 von 11

3 Die Gleichung y=a( x d ) 2 + e mit a,d,e R ; a 0 beschreibt eine Parabel, die aus der Gleichung y=ax 2 durch Verschiebung um d in x-richtung und um e in y Richtung entsteht. Aus der Gleichung kann man folgende Eigenschaften ablesen: Die Symmetrieachse x=d und den Scheitel S (d /e) Außerdem wird sie Scheitelpunktform der Parabelgleichung genannt. Aus den Koeffizienten a und e kann man die Wertemenge als auch die Anzahl der Schnittpunkte der Parabel mit der x-achse erkennen. Beispiel 1: Eigenschaften: f (x): y = 4(x 3) Verschiebung um 3 nach rechts Verschiebung um 2 nach oben a = + 4 a > 0 nach oben geöffnet S ( 3 2 ) W = [ 2 ; [ Beispiel 2: Eigenschaften: f (x): y = 1 3 ( x+ 2)2 3 2 nach links 3 nach unten a = 1 3 a < 0 nach unten geöffnet S ( 2 3 ) W = [ 3 ; [ Seite 3 von 11

4 Quadratische Ergänzung: Das quadratische Ergänzen, ist ein Verfahren, mit dem man die allgemeine Form der Parabelgleichung y = a x 2 + b x + c in die Scheitelpunktform y = a ( x d ) 2 + e umwandeln kann. Der Term x 2 ± b x wird zu einem vollständigen Quadrat (x ± b 2 ) 2 ergänzt. Beispiel 1: y = x 2 2x + 3 (allgemeine Form) 1. Den Term x 2 2x zu einem vollständigen Quadrat (x 1) 2 ergänzen: (a b) 2 y = ( x 2 2 x ) +3 y = (a 2 2 a b + b 2 b 2 ) aus der Klammer ziehen und zu 3 addieren. y = ( x 1) y = ( x 1) Beispiel 2: y = 6x x + 60 (allgemeine Form) 1. Den Öffnungsfaktor 6 ausklammern: y = 6 ( x 2 + 5x) Den Term x 2 + 5x zu einem vollständigen Quadrat (x + 2,5) 2 ergänzen: (a+ b) 2 y = 6 ( x x 2,5 + 2,5 2 2,5 2 ) + 60 y = (a a b + b 2 b 2 ) 3. 2,5 2 aus der Klammer ziehen, mit 6 multiplizieren und zu 60 addieren. y = 6 ( x + 2,5) 2 2, y = 6 ( x + 2,5) ,5 Seite 4 von 11

5 Lösen quadratischer Gleichungen Definition: Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung mit reellen Koeffizienten, die in die Form ax 2 + bx + c = 0 durch Äquivalenzumformungen gebracht werden kann. Die Lösungen einer quadratischen Gleichung lassen sich als Nullstelle der zugehörigen quadratischen Funktion interpretieren. Deshalb kann eine quadratische Gleichung zwei, eine oder auch keine Lösung besitzen. Die Lösungen können durch Näherungswerte aus dem Graphen abgelesen werden. Rechnerisches Lösen: Zuerst gründlich überlegen, ob man die Gleichung auch durch inhaltliche Überlegungen einfacher lösen kann! Beispiele: 1) b = 0 2x 2 6 = 0 x 2 = 3 / 2 = ± 3 2) binomische Formel bereits vollständig x x + 4 = 0 (x+ 2) 2 = 0 x = 2 3) c = 0 x 2 x = 0 x(x 1) = 0 = 0 x 2 = 1 Seite 5 von 11

6 Lösen mit der quadratischen Ergänzung: Beispiel 1: 3x 2 6x 9 = 0 x 2 2x 3 = 0 x 2 2x = 0 (x 1) 2 4 = 0 (x 1) 2 = 4 : 3 Zwei Lösungen x 1 = ± 4 = = 2+1 x 2 = 4 +1 = 2+1 = 3 ; x 2 = 1 Beispiel 2: x 2 2x+1 = 0 x 2 2x = 0 ( x 1) 2 = 0 (x 1) = 0 x = 1 Eine Lösung Beispiel 3: x 2 + 4x+ 6 = 0 x x = 0 ( x+ 2) 2 + (( 2 2 )+ 6) = 0 ( x+ 2) = 0 ( x+ 2) 2 = 2 Keine Lösung Wurzel aus 2 ist nicht definiert! Seite 6 von 11

7 Lösen der quadratischen Gleichung mit der Lösungsformel Quadratische Gleichung: ax 2 +bx+c = 0 (a 0) Die quadratische Ergänzung ergibt: / 2 = b ± b2 4 a c 2a = b ± D 2a Betrachtung der Diskriminanten D D = b 2 4 a c Daraus ergeben sich 3 Möglichkeiten! 1. Möglichkeit: D = 0 Gleichung hat eine Lösung Berechnung der Nullstelle: x = b 2a 2. Möglichkeit: D < 0 Gleichung hat keine Lösung 3. Möglichkeit: D > 0 Gleichung hat zwei Lösungen Berechnung der Nullstellen: / 2 Beispiele: = b ± D 2a 1) 0,25 x 2 0,5 x 0,75 = 0 D=( 0,5) 2 4 0,25 ( 0,75) = 1 / 2 = 0,5± 1 2 0,25 = 0,5±1 0,5 = 0,5 0,5 = 1 ; x = 1,5 2 0,5 = 3 zwei Lösungen 2) 0,5 x 2 0,6 x 0,18 = 0 D = ( 0,6) 2 4 ( 0,5) ( 0,18) = 0 x = 0,6 2 ( 0,5) = 0,6 eine Lösung 3) 2x 2 +3x 1,5 = 0 D = ( 2) ( 1,5) = 3 < 0 keine Lösung Seite 7 von 11

8 BMT Aufgaben Aufgabe 1: (nach BMT 2008) Geben Sie einen möglichen Funktionsterm für die Funktion f bzw. g an, die die jeweils angegebene Eigenschaft haben soll. Eine Definitionsmenge braucht nicht angegeben zu werden; es wird die für den jeweiligen Term maximal mögliche voraussetzt. Die Funktion f hat genau zwei Nullstellen 0 und 5: z.b. f(x) = x (x -5 ) = x² 5x ( Das ist eine Parabel) Aufgabe 2: (nach BMT 2010) Eine Parabel ist gegeben durch die Gleichung y = 0,5x² x 4. Carolin hat mit Hilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen berechnet, dass die Parabel bei = 2 und x 2 = 4 die x Achse schneidet. a) Bestätigen Sie Carolins Ergebnisse durch ausführliches Rechnen. y = 0,5 x 2 x 4 D = b 2 4a c = ( 1) 2 4 0,5 ( 4) = 9 / 2 = b ± D 2a = ( 1) ± 9 2 0,5 = 1 ± 3 1 = 4 1 = 4 x 2 = 2 1 = 2 b) Carolin beginnt nun, den x Wert des Scheitels der Parabel durch quadratische Ergänzung zu bestimmen. Ergänzen Sie sinnvoll, was ihr ältere Bruder dazu sagen könnte. Das geht hier einfacher. Wegen der Symmetrie der Parabel liegt der x Wert des Scheitels in der Mitte zwischen den Nullstellen, also bei x = 1. Leider lässt sich dieses Verfahren bei den Parabeln, die die x Achse nicht schneiden, nicht anwenden. Seite 8 von 11

9 Aufgabe 3: (nach BMT 2011) Marie möchte ihren Pool mit einer Brücke überspannen, deren Auflagepunkte 6 m voneinander entfernt sind. Dazu fertigt sie eine Graphik an, die den Brückenbogen vereinfacht darstellt. Der Brückenbogen wird durch eine Funktionsgleichung der Form I, II, III mit a IR 0 beschrieben. I y = a ( x 2 9) II y = a x (x 3) III y = a x (x 6) a) Begründen Sie, dass weder eine Gleichung der Form I noch eine der Form II zur Beschreibung des Brückenbogens infrage kommt. I : Scheitel bei x = 0 (Normalparabel um 9 nach unten verschoben) II: Nullstelle bei 0 und 3 b) Der Brückenbogen wird also durch eine Funktionsgleichung der Form III beschrieben. Berechne Sie mithilfe der Graphik den passenden Wert von a. y = a x ( x 6) Punkt einsetzen z.b. Scheitel S ( 3 1 ) 1 = a 3 (3 6) 1 = a 3 ( 3) 1 = a ( 9) : ( - 9) a = 1 9 Seite 9 von 11

10 Aufgabe 4: (nach BMT 2012) Eine Parabel ist gegeben durch die Gleichung f (x) = 1 2 x 2 3x + 4 a) Geben Sie die Koordinaten des Schnittpunkts der Parabel mit der y Achse an. f (0) = = =4 Sy ( 0 4 ) b) Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der Parabel mit der x Achse. x (1 /2 ) = b± b2 4 a c 2 a = ( 3)± ( 3) = 3± = 3± 1 1 = 3±1 1 = 4 1 = 4 x 2 = 2 1 = 2 S = (4 / 0) S x 2 = (0 / 2) Aufgabe 5: (nach BMT 2014) Berechnen Sie jeweils alle Lösungen der Gleichung über der Grundmenge IR, ohne die Lösungsformel für quadratische Gleichungen zu verwenden. a) (x 2) 2 = 12 (x 2) 2 = 9.. x 2 = ± x = ±3 + 2 = 5 x 2 = 1 Seite 10 von 11

11 b) 3 x 2 6x = 0 3x 2 6 x = 0 3 x (x 2) = 0 3x = 0 = 0 x 2 = 0 x 2 = 2 Aufgabe 6: (nach BMT 2015) Die Abbildung zeigt eine zur Normalparabel kongruente Parabel mit der Gleichung y = f(x). Geben Sie einen passenden Term f(x) an. f (x) = 3 x 2 Die Normalparabel ist um 3 nach oben verschoben und nach unten geöffnet. Seite 11 von 11

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