Aufgaben zu den ganzrationalen Funktionen

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1 Aufgaben zu den ganzrationalen Funktionen. Bestimmen Sie die Nullstellen folgender ganzrationaler Funktionen. a) y x + x 6 b) y x x + x c) y (x + )(x + x ) d) y x 5x + e) y x + x x + 0 f) y x x 5x +50x g) y x + 6x + 9x 5 9 h) y x x x + i) y x 5 x x x x j) y ( x + 6x + 8) k) y x 6 x 5 8. Die Funktion f a : y x (+a)x + (a-)x + a mit a R hat bei x 5 eine Nullstelle. Bestimmen Sie den Wert für a und alle Nullstellen der Funktion..0 Gegeben sind die reellen Funktionen f k ( x) ( x + kx kx 8) mit k R.. Zeigen Sie, dass x für alle Werte von k eine Nullstelle von f k ist und zerlegen Sie damit den Term f k (x) in ein Produkt mit genau einem Linearfaktor.. Untersuchen Sie, für welche Werte von k die Funktion f k neben x noch mindestens eine weitere Nullstelle besitzt. Achten Sie dabei auch auf die Sonderfälle k -6 und k.. Berechnen Sie nun k so, dass die Funktion f k (x) bei x - eine doppelte Nullstelle hat. (Abitur 00 AII). Gegeben sind die reellen Funktionen f k ( x) + kx 8 x + x mit R k > 0 k. Bestimmen Sie mit Hilfe einer geeigneten Fallunterscheidung Lage und Vielfachheit sämtlicher Nullstellen der Funktion f k. (Abitur 999 Nachtermin)

2 5. Gegeben sind die reellen Funktionen f a (x) [ x x (a + )x] mit a R. Bestimmen Sie die Anzahl, Lagen und Vielfachheiten der Nullstellen der Funktion f a (x). Achten Sie dabei auch auf den Sonderfall a Gegeben sind die reellen Funktionen f k (x) 8 (x kx + k x) mit k R 0 +. Ermitteln Sie alle Nullstellen der Funktionen f k (x) und ihre Vielfachheiten in Abhängigkeit von k. 7. Gegeben sind die reellen Funktionen f k (x) k x x mit k R. Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen in Abhängigkeit von k. 8. Gegeben sind die reellen Funktionen f k (x) (x kx + k x) mit k R k 0. Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f k in Abhängigkeit von k. Geben Sie auch die zugehörigen Vielfachheiten an. (Abitur 007 AI) 9. Gegeben ist die reelle Funktion f k (x) k 6 x + k x mit k R k > 0 und D fk R. Der Graph wird mit G fk bezeichnet. (Abitur 008 AII) Bestimmen Sie Lage und Vielfachheit der Nullstellen der Funktion f k. Untersuchen Sie den Graphen G fk auf Symmetrie. 0.0 Gegeben sind die reellen Funktionen f k (x) x ( x k ) mit k! k 0. k Der Graph einer solchen Funktion wird mit G fk bezeichnet. (Abitur 009 AII) 0. Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f k in Abhängigkeit von k. Geben Sie auch die zugehörigen Vielfachheiten an. 0. Bestimmen Sie die Werte von k so, dass der jeweils zugehörige Graph G fk durch den Punkt P(-/) geht.

3 .0 Gegeben sind die reellen Funktionen f a (x) 8 x(x a)(x 5) mit D fa und a. (Abitur 00 AI). Bestimmen Sie in Abhängigkeit von a die Anzahl, Lage und Vielfachheit der Nullstellen von f a.. Bestimmen Sie a so, dass der Punkt P(/-0,5) auf dem Graphen der Funktion f a liegt.. Gegeben sind die reellen Funktionen f a (x) 9 (x a)(x + x 0) mit D fa und a. (Abitur 0 AI) Ermitteln Sie in Abhängigkeit von a die Lage und Vielfachheiten der Nullstellen von f a..0 Gegeben sind die reellen Funktionen g a (x) (x + (6a )x + (a a)x ) mit D ga und a +. (Abitur 0 AII). Untersuchen Sie in Abhängigkeit von a das Symmetrieverhalten von G ga bzgl. des Koordinatensystems.. Berechnen Sie, für welche Werte von a die Funktion g a genau eine Nullstelle besitzt. ( ) mit x,a und. Gegeben sind die reellen Funktionen f a : x x ax + a x a 0. (Abitur 0 AI). Bestimmen Sie die Nullstellen von f a und deren Vielfachheit in Abhängigkeit von a. 5. Gegeben sind die reellen Funktionen f t (x) ( x + ) (x t) D ft t. Bestimmen Sie die Nullstellen von f t sowie deren Vielfachheiten in Abhängigkeit von t. (Abitur 0 AII)

4 6.0 Gegeben sind mit dem Parameter k! \ { 0} und D hk! die quadratischen Funktionen h k : x! kx + ( k ) x + k +. (Abitur 0 AII) k 6. Untersuchen Sie, für welchen Parameterwert k der Graph von h k symmetrisch zum Koordinatensystem ist. Erläutern Sie Ihr Vorgehen. 6. Weisen Sie nach, dass D k + k k die Diskriminante der Gleichung h k (x) 0 ist. 6. Bestimmen Sie nun diejenigen Werte k, für die die quadratische Funktion h k mindestens eine Nullstelle besitzt. 7. Gegeben sind die ganzrationalen Funktionen ( ) mit D fa ", a " und a > 0. (Abitur 05 AII) f a : x! a x + x 7x + Zerlegen Sie f a (x) in Linearfaktoren und geben Sie die Nullstellen der Funktion f a mit der jeweiligen Vielfachheit an.

5 Lösungen.a) Lösungsformel und x - b) Ausklammern und dann Lösungsformel 0, x + 5 und x 5 c) Lösungsformel -, x - und x d) Substitution, x, x - und x - e) Eine Lösung durch Ausprobieren ( x ) und dann Polynomdivision (x )(x + x 0) Lösungsformel x -5 und x f) Ausklammern x(x x 5x + 50) Lösung durch Ausprobieren (x ) und dann Polynomdivision (x x 5x + 50) (x )(x 5) 0, x, x 5 und x -5 g) x (x + 6x + 9) Lösungsformel / 0 und x / - h) Eine Lösung durch Ausprobieren (x ) und dann Polynomdivision (x )(x 0,5x 0,5) Lösungsformel, x - und x,5 i) Ausklammern Lösung durch Ausprobieren erraten (x ) und dann Polynomdivision die Gleichung dritten Grades liefert wieder durch Ausprobieren eine weitere Lösung (x -); führe wieder Polynomdivision durch löse die entstehende quadratische Gleichung mit der Lösungsformel keine weiteren reellen Nullstellen; j) Substitution keine reellen Nullstellen k) Substitution 5, 7 x und x. Einsetzen der Nullstelle 0 5 ( + a)5 + (a )5 + a 6a 0 a 5 Nullstellen der Funktion y x 8x + x + 0: x 5, x und x -

6 . f k () ( + k k 8) (8 + k k 8) 0 ( x ( x + kx x ) ( k + ) x ( k + ) x kx 8) kx 8 : ( kx x) x 8 (x 8) x ) x + ( k + ) x + f k ( x) ( x )( x + ( k + ) x + ). Nullstellen: f k (x) 0 x x + ( k + ) x + 0 x / ( k + ) ± ( k + ) ( k + ) ± k + k D k + k ( k )( k + 6) Mindestens eine weitere Nullstelle, wenn D 0. Skizze: D 0 : (k )(k + 6) 0 k k 6 k x / eine weitere Nullstelle k 6 x / keine weitere Nullstelle ] ; 6[ ] [ D > 0 : k ; ] ; 6[ [ [ für k ; hat f k (x) mindestens eine weitere Nullstelle. aus Teilaufgabe b) folgt: k

7 . Nullstellen: f k (x) 0 ) 8 x x x ( x / / 0 8 ± + 8x + 8k) 0 6 8k 8 ± 6 k 6 k 0 k x / 0 ( doppelte Nst.) x / ( doppelte Nst.) ) 6 k > 0 0 < k < x / 0 ( doppelte Nst.) x k (einfache Nullstelle) ) 6 k < 0 k > x / 0 (doppelte Nullstelle) x 8 6 k (einfache Nullstelle) 5. Nullstellen: f a (x) 0 [ x x (a + )x] 0 x [ x x (a + ) ] 0 0 x x (a + ) 0 x / ) 5 + 8a 0 a 5 8 : zwei Nullstellen ± 9 ( (a + )) ± 5 + 8a 0 (einf ache Nullstelle) x (doppelte Nullstelle) ) 5 + 8a > 0 a > 5 8 (außer a ) : drei Nullstellen 0 (einf ache Nullstelle) x + x 5 + 8a (einf ache Nullstelle) 5 + 8a (einf ache Nullstelle) ) 5 + 8a < 0 a < 5 8 : eine Nullstelle 0 (einf ache Nullstelle) ) a : [ x x ] 0 x (x ) 0 zwei Nullstellen 0 (doppelte Nullstelle) x (einf ache Nullstelle)

8 6. Nullstellen: f k (x) 0 8 (x kx + k x) 0 8 x(x kx + k ) 0 0 x kx + k 0 x / k ± 6k k ) k 0 : eine Nullstelle bei x 0 (dreifache Nullstelle) ) k R + : zwei Nullstellen bei x 0 (einf ache Nullstelle) und bei x k (doppelte Nullstelle) k k 7. Nullstellen: f k (x) 0 k x x 0 x(k x ) 0 0 k x 0 x k x k ) k 0 : eine Nullstelle bei x 0 (dreifache Nullstelle) ) k R (außer k 0) : drei Nullstellen bei x 0 (einf ache Nullstelle), bei x k (einf ache Nullstelle) und bei x k (einf ache Nullstelle) 8. f k (x) 0 (x kx + k x) 0 x(x kx + k ) 0 0 x kx + k 0. Fall : k 0. Fall : k 0 x / k ± k k k ± k k eine Nullstelle bei x 0 (dreifache Nullstelle) zwei Nullstellen bei x 0 (einfache Nullstelle) und bei x k (doppelte Nullstelle) k 9. Nullstellen : - k 6 x + k x 0 x (- k 6 x + k ) 0 x 0 - k 6 x + k 0 x 8 k f k (x) hat zwei Nullstellen bei x 0 (dreifach) und bei x 8 k (einfach) Symmetrie : G fk ist weder achsensymmetrisch zur y - Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung, da unabhängig von k > 0 gerade und ungerade Potenzen auftreten.

9 0. x ( x k k ) 0 x 0 k k 0 x k + k x k + k x k + k D 0 : k + k 0 k(k + ) 0 (k 0) (k 0 nach Voraussetzung) k k f hat eine Nullstelle bei x 0 (dreifach) D > 0 : k + k > 0 Skizze von (k + k) : k ] ; [ ]0; [ f k hat drei Nullstellen bei x 0 (einfach), x - k + k (einfach) und bei x - k + k (einfach) D < 0 : k + k < 0 k ] ;0[ f k hat eine Nullstelle bei x 0 (einfach) 0. ( ) ( ) k k 9 k k 9 k k k 9 k 0 k k. f a (x) 0 8 x(x a)(x 5) 0 0 x a x 5 a 0 : f a hat zwei Nullstellen bei x 0 (doppelt) und bei x 5 (doppelt) a 5: f a hat zwei Nullstellen bei x 0 (einfach) und bei x 5 (dreifach) a \ 0;5 { } : f a hat drei Nullstellen bei x 0 (einfach), bei x a (einfach) und bei x 5 (doppelt). f a () 8 ( a) ( 5) a a

10 . f a (x) 0 ) x a 0 x a ) x + x 0 0 x / ± x 9 ( 0) x 5 ± 9 ± 7 a : f hat zwei Nullstellen bei x (doppelt) und x -5 (einfach) a 5 : f -5 hat zwei Nullstellen bei x (einfach) und x -5 (doppelt) a \ 5; { } : f a hat drei Nullstellen bei x a (einfach), bei x (einfach) und bei x -5 (einfach). g a (x) ( x + (6a )x + (a a)x ) a : g (x) x x ist achsensymmetrisch zur y-achse, weil nur gerade Exponenten auftreten G g a + \ : G g a weder achsensymmetrisch zur y-achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung

11 . g a (x) 0 x x + (6a )x +a a 0 0 x + (6a )x +a a 0 x / 6a + ± 6a 8a +6 (a a) g a hat genau eine Nullstelle, wenn -a +6 < 0 a +6 0 a (a ) D a x / 0 Skizze von ( a +6) : 6a + ± a +6 a ; ; a ; (da a + ). 5. ( ) 0 ( ) f a (x) 0 x ax + a x x x ax + a 0 x ax + a 0 x / a ) a 0 : x 0 (dreifache Nullstelle) )a > 0 : x 0 (einfache Nullstelle) x / a (doppelte Nullstelle) f t (x) (x + ) (x t) f t (x) 0 ) x + 0 ) x t 0 x t t : f hat eine Nullstelle bei x - (dreifach) t \ { } : f t hat zwei Nullstellen bei x (doppelt) und bei x t (einfach) 6. h k (x) kx + ( k )x + k + k wegen k 0 kann nur Achsensymmetrie vorliegen k 0 (weil nur gerade Exponenten auftauchen dürfen) k 0,5 G h0,5 achsensymmetrisch zur y-achse, weil auch die Definitionsmenge symmetrisch

12 6. kx + ( k )x + k + k 0 ( ) k D k k + k k k + k k + k k 6. k + k k 0 k + k k 0 k(k k + ) 0 k 0 k k + 0 (k ) 0 k ( ) : Skizze von k + k k k ;0 { } 7. x + x 7x + 0 x (durch Pr obieren) ( x + x 7x + ) :(x ) x + x x + x 0 (x )(x + ) 0 x x f a (x) a (x ) (x + ) f a hat zwei Nullstellen bei x (doppelt) und bei x - (einfach)