Aufgabe Was wissen Sie über die Symmetrie ganzrationaler Funktionen?

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1 R. Brinkmann Seite Lösungen VBKA Ganzrationale Funktionen I Zur Vorbereitung einer Klassenarbeit en: A A A A A A A4 A4 n n Was bedeutet: f(x) = a x + a x a x + a x + a? n n 0 f(x) stellt eine ganzrationale Funktion n ten Grades dar. Der höchste Exponent n gibt den Grad der Funktion an. Die Faktoren a ; a ;... a ; a ; a nennt man Koeffizienten n n 0 Was wissen Sie über die Symmetrie ganzrationaler Funktionen? Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus geraden Exponenten besteht. oder wenn gilt: f ( x) = f ( x ) z.b. f ( ) = f Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus ungeraden Exponenten besteht. oder wenn gilt: f x = f x z.b. f = f Machen Sie eine Aussage über die Symmetrieeigenschaft folgender Funktionen und begründen Sie Ihre Aussage. a) 5 f(x) = 4x x + x b) 4 f(x) = 4x + x c) f(x) = x x + x d) 5 f(x) = 4x x + x + a) 5 f(x) = 4x x + x Punktsymmetrie, da alle Exponenten ungerade sind b) 4 f(x) = 4x + x Achsensymmetrie, da alle Exponenten gerade sind c) f(x) = x x + x keine Symmetrie, da die Exponenten gerade und ungerade sind d) 5 f(x) = 4x x + x + keine Symmetrie, da die Exponenten gerade und ungerade sind Wodurch wird der Verlauf einer ganzrationalen Funktion bestimmt? Der Verlauf einer ganzrationalen Funktion wird durch den Summanden mit der höchsten Potenz bestimmt, also durch a n x n. Erstellt von Rudolf Brinkmann p_gr_fkt_vb_ka_0_e.doc :48 von 0

2 R. Brinkmann Seite A5 A5 A6 A6 A7 A7 Wie verlaufen folgende Funktionsgraphen? a) f(x) = 4x + x + 4 b) 4 f(x) = x + x x + c) 5 f(x) = x + x + x d) f(x) = x + x + a) f(x) = 4x + x + 4 n = (ungerade) a = 4 < 0 II IV b) 4 f(x) = x + x x + n = 4 (gerade) a = > 0 II I c) 5 f(x) = x + x + x n = 5 (ungerade) a = > 0 III I d) f(x) = x + x + n = (gerade) a = < 0 III IV Was wissen Sie über die Anzahl der Nullstellen ganzrationaler Funktionen? Eine ganzrationale Funktion n ten Grades hat höchstens n Nullstellen. Ist der Grad n ungerade, so hat sie mindestens eine Nullstelle. Berechnen Sie die Nullstellen folgender Funktionen und stellen Sie die Funktionsgleichung als Produkt von Linearfaktoren dar. Welcher Art sind die Nullstellen (einfach, doppelt oder dreifach) a) f x x 6x 9x = + b) n n n n f x = 4x + 4x + 8x a) = x 6x + 9x f ( x) = 0 x 6x + 9x = 0 den Faktor x ausklammern x x 6x + 9 = 0 x = 0 x 6x + 9 = 0 quadratische Gleichung p p = 6 ; q = 9 D = q = = p x/ = = doppelte Nullstelle Darstellung als Produkt von Linearfaktoren: = ( )( ) = ( ) f x x x x x x Der Graph hat eine einfache Nullstelle bei x = 0 und eine doppelte Nullstelle bei x = (Berührungspunkt) / Erstellt von Rudolf Brinkmann p_gr_fkt_vb_ka_0_e.doc :48 von 0

3 R. Brinkmann Seite A7 b) f x = 4x + 4x + 8x f x = 0 4x + 4x + 8x = 0 den Faktor x ausklammern x 4x + 4x + 8 = 0 x = 0 4x + 4x + 8 = 0 : 4 quadratische Gleichung Normalform der quadratischen Gleichung x x = 0 x / p 9 9 p = ; q = D == q D = + = = = x = + = p D = ± x = = Darstellung als Produkt von Linearfaktoren: = x( x )( x+ ) Der Graph hat drei einfache Nullstelle bei x = 0 ; x = und bei x = Erstellt von Rudolf Brinkmann p_gr_fkt_vb_ka_0_e.doc :48 von 0

4 R. Brinkmann Seite A8 A8 Berechnen Sie die Nullstellen folgender Funktionen. Machen Sie eine Aussage über den Verlauf des Graphen. Wohin streben die Funktionswerte für große, bzw. kleine x Werte? a) = x 6x + 9x b) = x x + 8x f( x )? für x f x? für x a) f ( x) = x 6x + 9x Nullstellen: f ( x) = 0 x 6x + 9x = 0. Nullstelle über probieren: 6 9 x = keine NS für x = 6 9 x = NS für x = Reduzierung des Grades über Polynomdivision ( x x ) x 6x 9x : x = x 4x+ + 4x + 9x ( 4x 8x) + x ( x ) p x 4x + = 0 p = 4 ; q = D = q = 4 = D = p x = + x/ = ± D x = Die Nullstellen: x = ; x = + ; x = Verlauf des Graphen: von III I Funktionswerte: für x geht f x für x geht f x Erstellt von Rudolf Brinkmann p_gr_fkt_vb_ka_0_e.doc :48 4 von 0

5 R. Brinkmann Seite A8 b) f ( x) = x x + 8x Nullstellen: f ( x) = 0 x x + 8x = 0 ( ) x + x 8x +. Nullstelle über probieren: 8 x = keine NS für x = 8 x = NS für x = Reduzierung des Grades über Polynomdivision 7 x + x 8x+ :( x ) x x = + x x 7 x 8x 7 x 7x x + ( x ) p x + x = 0 p = ; q = D = q = + = D = x = + p 4 6 x/ = ± D 7 65 x = Die Nullstellen: x = ; x = + ; x = Verlauf des Graphen: von II IV Funktionswerte: für x geht f x für x geht f x Erstellt von Rudolf Brinkmann p_gr_fkt_vb_ka_0_e.doc :48 5 von 0

6 R. Brinkmann Seite A9 Berechnen Sie für f(x) nach dem HORNER Schema die Wertetabelle, berechnen Sie die Nullstellen und zeichnen Sie den Graphen so genau wie möglich. f(x) = x x 5x + Df = { x,5 x } Hinweis: Schrittweite für das HORNER Schema 0,5 x :,5 ;...,5 ; A9 x = fx () = x 5 5 Nullstellen: x = ; x = +,6 ; x = 0,8 4 4 Erstellt von Rudolf Brinkmann p_gr_fkt_vb_ka_0_e.doc :48 6 von 0

7 R. Brinkmann Seite Der Graph einer ganzrationalen Funktion. Grades geht durch die Punkte P ;P 0 ;P 4 ;P 9 4 a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung. b) Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte. c) Ermitteln Sie mit dem Horner Schema die Funktionswerte für x =,5 ; x = 0,5 ; x = 0,5 ; x =,5 ; x =,5 d) Tragen Sie alle bekannten Werte in eine Wertetabelle ein. e) Zeichnen Sie den Graphen cm = Einheit. Hochpunkt P 9 ; Tiefpunkt P,7 0,5 max f) Machen Sie eine Aussage über den Verlauf des Graphen für große und kleine x Werte. g) Machen Sie eine Symmetriebetrachtung. Begründen Sie Ihr Ergebnis. (Das Gleichungssystem) a) Die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion. Grades lautet: = ax + ax + ax + a0 Zunächst wird das Gleichungssystem für die gegebenen Punkte aufgestellt. P( ): f() = a + a + a + a0 = P( 0 ): f() = 8a + 4a + a + a0 = 0 P( 4 ): f( ) = 8a + 4a a + a0 = 4 P4( 9 ): f() = 7a + 9a + a + a 0 = 9 min Erstellt von Rudolf Brinkmann p_gr_fkt_vb_ka_0_e.doc :48 7 von 0

8 R. Brinkmann Seite (Gauß- Algorithmus und Funktionsgleichung) a) Lösung des Gleichungssystems mit Bestimmen der Koeffizienten durch dem Gauß Algorithmus. Rückwärtseinsetzen: a0 a a a 5a = 5 a = II I III I a + a = IV I a + = 0 a = 0 7 a+ a + 7a 0 9 : = : a + 7 = a = a0 + a+ a + a = 0 III+ II a0 5 + = a0 = IV II Funktionsgleichung: 0 7 f(x) = x x 5x : IV III Erstellt von Rudolf Brinkmann p_gr_fkt_vb_ka_0_e.doc :48 8 von 0

9 R. Brinkmann Seite b) y ( x x ) ( x x) Achsenschnittpunkte von f x = x x 5x + 6 P 0 6 aus der Funktionsgleichung abgelesen. Nullstelle aus P 0 P 0 Polynomdivision: x x x 5x+ 6 : x = x + x x 5x x+ 6 ( x 6) + x + x = 0 p p = ;q= D = q D = + = = x = +,0 p 4 x/ = ± D x =,0 4 Schnittpunkte mit der x Achse : Px( 0 );P x + 0 ;P x Erstellt von Rudolf Brinkmann p_gr_fkt_vb_ka_0_e.doc :48 9 von 0

10 R. Brinkmann Seite c) Ermitteln Sie mit dem Horner Schema die Funktionswerte für x =,5 ; x = 0,5 ; x = 0,5 ; x =,5 ; x =,5 5 6 x = = f(,5) 7,9 5 6 x = = f( 0,5) 8, 5 6 x = = f(0,5),4 5 6 x = = f(,5) 0,4 5 6 x = = f(,5),9 d) x,,5 0,5 0 0,5,,5,7,5 f(x) 0 4 7,9 9 8, 6, 4 0 0, 4 0,5 0,9 P P P P P P P P x max y x min x e) Y xx, f) Der Graph verläuft von III nach I g) Keine Symmetrie, da sowohl gerade als auch ungerade Exponenten vorkommen. Min ( ) ( ) Hochpunkt P 9 Max Tiefpunkt P,7 0,5 Erstellt von Rudolf Brinkmann p_gr_fkt_vb_ka_0_e.doc :48 0 von 0