Ganzrationale Funktionen (ohne Ableitungen) Datei Nr Ausdrucken ist nur von der Mathematik-CD möglich. Mai 2002.

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1 Funktionen Klassenstufe 0/ Teil Ganzrationale Funktionen (ohne Ableitungen) Datei Nr. 80 Ausdrucken ist nur von der Mathematik-CD möglich Mai 00 Friedrich Buckel Internatsgymnasium Schloß Torgelow

2 Funktionen Ganzrationale Funktionen INHALT Einführung Grundlagen. Symmetrie. Verhalten für x. Wertmengen 8 Nullstellen 9. Funktionen. Grades 0. Funktionen. Grades. Funktionen. Grades 7. Funktionen 5. Grades.5 Allgemeines 6 Aufgabenblatt 7 Die Lösungen zu den Aufgaben befinden sich in der Datei 80.

3 Funktionen Ganzrationale Funktionen Einführung Nach der Behandlung der Potenzfunktionen in der Datei 800 schauen wir uns wichtige Eigenschaften der sogenannten ganzrationalen Funktionen an. Wir definieren zuerst: Eine Funktion heißt ganzrational, wenn man ihren Funktionsterm auf diese Form bringen kann: n n f(x) = a x + a x a x + a x + a n n o Die Zahlen a o, a bis a n heißen die Koeffizienten der Potenzen x o, x bis x n. Der Koeffizient a o heißt auch "das Absolutglied", weil er im Grunde ohne x absolut unveränderlich ist, während a x usw. die Variable x dabei haben. Die höchste vorkommende Hochzahl n (mit a n 0 ) heißt Grad der Funktion. Der Term auf der rechten Seite heißt auch Polynom in der Normalform. BEISPIELE: f(x) x x x = + ist eine ganzrationale Funktion. Grades mit den Koeffizienten a =, a = -, a = 0, a = -, und a o =. 5 f(x) x 5x x 0 = + ist eine ganzrationale Funktion 5. Grades mit den Koef- f(x) (x ) fizienten a 5 =, a 0 = a = a 0 = 0, a = - 5 und a =. Weil das Polynom nur ungerade Exponenten hat, nennt man f auch eine ungerade Funktion. = ist eine gerade ganzrationale Funktion. Grades. Dies erkennt man, wenn man das Polynom in die Normalform bringt: f (x) = x - x + Der Definitionsbereich einer Funktion besteht aus allen reellen Zahlen, denen man einen Funktionswert zuordnen kann. Einschränkungen ergeben immer nur diese drei Rechenoperationen: Dividieren: ist durch 0 nicht möglich Ziehen einer Wurzel: ist aus negativen Zahlen nicht möglich Logarithmieren: ist nur bei positiven Zahlen möglich. Da bei ganzrationalen Funktion x weder im Nenner, noch unter einer Wurzel oder in einem Logarithmus vorkommt, haben alle ganzrationalen Funktionen den maximalen Definitionsbereich D = R, d.h. zu jeder reellen Zahl ist ein Funktionswert berechenbar. ( ) Die Zuordnung x f(x) kann man auch geometrisch als Punkt Pxfx ( ) darstellen. Die Menge aller solchen Punkte nennt man den Graph oder das Schaubild der Funktion, oder auch eine Kurve. Es gibt nun einige Merkmale, die rasch erkennen lassen, ob bestimmte Eigenschaften vorliegen. Diese werden nun besprochen.

4 Funktionen Ganzrationale Funktionen Grundlagen. Symmetrieeigenschaften von Kurven Eine ausführliche Behandlung der Methoden zur Symmetrieuntersuchung finden Sie in der Datei "5 Symmetrie" in der Homepage oder auf der Mathematik-CD. Hier die Zusammenstellung der Verfahren: Symmetrienachweis Einfache Symmetrien: Berechne f( - x )! Gilt für alle x R : f(-x) = f(x), dann ist K symmetrisch zur y-achse. f(-x) = - f(x), dann ist K punktsymmetrisch zum Ursprung. Beispiele: () f( x) = x x + 7 Weil f nur gerade Exponenten hat, gilt f( x) = f( x) d.h. das Schaubild von f ist symmetrisch zur y-achse. () ( ) f x = x + x 9 Weil f nur ungerade Exponenten hat, gilt ( ) ( ) ( ) f x = x + x = + x x = f( x) 9 9 d.h. das Schaubild ist punktsymmetrisch zum Ursprung () ( ) f x = x + x 9 Weil f ungerade und gerade Exponenten hat (das Absolutglied gehört zu x 0 ), ist keine Symmetrie erkennbar

5 Funktionen Ganzrationale Funktionen Beispiel : f(x) = x x x + x. Verhalten für x Die blaue Linie gibt das Schaubild wieder. Man beobachtet zwei sogenannte Tiefpunkte, wo man kleinste Funktionswerte findet, einen Hochpunkt, in dem der Funktionswert einen Maximalwert hat (zumindest was den Innenbereich angeht, und nach links und rechts außen, also für x ± gehen die Funktionswerte gegen Unendlich. Was das Verhalten nach außen angeht, so beobachten wir ein gleichartiges Verhalten bei der Funktion ( ) gx = x, die nur aus dem ersten Summanden von f besteht. Die dünne Linie zeigt ihr Schaubild. Man könnte sagen: Die Funktion f(x) = x x x + x verhält sich für x ± wie g(x) = x. BEWEIS: Man klammert die höchste x-potenz, also x, aus dem Funktionsterm aus und erhält: f(x) = x - x - x + x= x x + x x Beachte: Ausklammern von x führt in der Klammer zur Division durch x!! Lassen wir nun x ± gehen, dann gehen die Bruchterme in der Klammer gegen 0: lim = lim = lim = 0 x IxI IxI x IxI x Das heißt, für große Werte von x gilt f ( x) g (x) = x z.b. ( ) f 00 = =.79.5 ( ) g 00 = 00 = Beispiel : f(x) = x + x+ x x Ich habe einfach f ( ) ( ) x = f x gewählt. Dies bedeutet eine Spiegelung des Schaubilds an der x-achse. Wir erhalten dieses Ergebnis: Das heißt, für große Werte von x gilt ( ) f x g (x) = x, d.h. für x ± folgt f ( x) Beweis: f(x) = x + x + x x= x x + + x x Für x ± geht die Klammer gegen den Wert. Daraus folgt die Behauptung.

6 Funktionen Ganzrationale Funktionen 5 Beispiel : f(x) = x + x Diese Funktion verhält sich für x ± wie g(x) = x. Beweis: Man klammert die höchste x-potenz, also x aus dem Funktionsterm aus und erhält: f(x) = x + x = x + x x Für x ± gehen der. und. Summand in der Klammer gegen 0, denn lim = lim = 0. x IxI IxI x Das heißt, daß sich f für große IxI wie g(x) = x (dünn) verhält. Also haben wir dieses Ergebnis: Für x f ( ) x und für x f ( ) x Beispiel : f(x) = x x + Auch hier ist wiederum der erste Summand dafür verantwortlich, wohin die Reise geht: Das heißt, daß sich f für große IxI wie g(x) = x verhält. Also haben wir dieses Ergebnis: Für x f ( ) x und für x f ( x) +

7 Funktionen Ganzrationale Funktionen 6 Allgemeine Situation bei ganzrationalen Funktionen: Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion f für x n n mit f(x) = anx + an x ax + ax + ao wird nur durch den Summanden mit der höchsten x-potenz bestimmt. f verhält sich also für x ± ähnlich wie g(x) = a x n n (a) f(x) = x x = x x x Da IxI x Dazu noch vier Musterbeispiele. lim = 0, hat die Klammer den Grenzwert. Für große IxI verhält sich f also wie die Funktion g mit g(x) = x, d.h. für x ± gilt ( ) f x. (b) f(x) = x + x = x x x Da lim = 0, hat die Klammer den Grenzwert. 9 IxI x Für große IxI verhält sich f also wie die Funktion g mit g(x) = x, d.h. 9 für x gilt f( x). und für x gilt f( x) Hier kommen alle reellen Zahlen als y-koordinaten vor, d.h. die Wertmenge ist daher W = R. (c) f(x) = x + x = x + x x Da lim = 0, hat die Klammer den IxI x Grenzwert. Für große IxI verhält sich f also wie die Funktion g mit g(x) = x, d.h. für x ± gilt ( ) f x.

8 Funktionen Ganzrationale Funktionen 7 (d) f(x) = x + x + 5x+ 5 f(x) = x x x x Da lim = 0, hat die Klammer den IxI x Grenzwert -. Für große IxI verhält sich f also wie die Funktion g mit g(x) = x, d.h. für x gilt f( x). und für x gilt f( x) + Hier kommen alle reellen Zahlen als y-koordinaten vor, d.h. die Wertmenge ist W = R Übersicht: Folgende Möglichkeiten gibt es: gerade f(x) = a x +... mit a > 0 z.b. f(x) x... Für x ± gilt ( ) gerade f(x) = a x +... mit a < 0 f(x) = x +... f x. = + z.b. f x. Für x ± gilt ( ) ungerade f(x) = a x +... mit a > 0 z.b. z.b. f(x) x... = + z.b. z.b. 6 ungerade f(x) = a x +... mit a < 0 f(x) = x +... Für x gilt f( x). Für x gilt f( x) und für x gilt f( x) und für x gilt f( x) + 6

9 Funktionen Ganzrationale Funktionen 8. Wertmengen Unter der Wertmenge (oder Wertebereich) einer Funktion versteht man die Menge aller möglichen Funktionswerte, bezogen auf den vorgegebenen Definitionsbereich. Beispiele: () f( x) = x x + 7 von Seite () hat (wie man später nachweisen kann) ihre kleinsten Funktionswerte bei x = und x = -. Dort ist ( ) f ± = 6 + = 8+ = + = Andererseits haben wir auf Seite gezeigt, daß für x folgt f( x). 9 Also können wir davon ausgehen, daß von bis Unendlich alle Werte vor- kommen. Daß sie das auch wirklich tun, und daß kein Zwischenwert fehlt, ist wieder so eine erstaunliche Eigenschaft, die wir hier nicht beweisen sondern nur vermerken können: Hat eine ganzrationale Funktion für x < x die Funktionswerte f( x ) f( x) = y, dann nimmt die Funktion im Intervall [ ] Intervalls [ y ;y ] bzw. [ y ;y ] (je nachdem, ob Zahl ist) an. = y und x ;x jeden Zwischenwert des y die kleinere oder größere 9 Also ist die Wertmenge unserer Beispielfunktion W = ;. () f(x) = x + x von Seite 5 zeigt ein ähnliches Verhalten. Sie hat nun maximale Werte bei ± : ( ) f ± = 6+ = + 8 = Andererseits lautet der erste Summand ( ) gx = x, also gilt für x : f( x). Daher nimmt die Funktion W = ;. alle Werte von bis an: ] ] () Ist der Grad der Funktion ungerade, dann ist die Wertmenge stets W = R, wie man an den Beispielen zuvor sieht: f(x) = x + x : 9 Für x f ( x) und für x f ( x) Also ist W = R.

10 Funktionen Ganzrationale Funktionen 9 Nullstellen Eine Nullstelle ist eine Zahl mit dem Funktionswert 0. Dort schneidet oder berührt das Schaubild die x-achse. Die Berechnung von Nullstellen führt also stets auf das Lösen der Gleichung f( x) = 0. Und schon sind wir mitten in der Algebra und müssen uns an all die besprochenen Verfahren zum Lösen von Gleichungen erinnern. Die erste Frage ist nun diese: Besitzt eine gegebene Funktion überhaupt Nullstellen? Die Antwort darauf kann natürlich nicht umfassend gegeben werden. Aber eines können wir ganz rasch nach dem vorausgegangenen sagen: Funktionen mit ungeradem Grad haben ja eine dieser beiden Eigenschaften: A: Für x f ( x) und für x f ( x) oder B: Für x f ( x) und für x f ( x) Das heißt sie haben die Wertmenge W = R und damit nehmen sie alle reellen Zahlen als Funktionswerte (mindestens) einmal an, also auch die Null. Das bedeutet: Ganzrationale Funktionen mit ungeradem Grad besitzen mindestens eine Nullstelle. Wir gehen nun im Folgenden die Funktionen vom Grad bis zum Grad 5 durch und betrachten sämtliche Möglichkeiten der Nullstellenberechnung in der Übersicht an Beispielen.

11 Funktionen Ganzrationale Funktionen 0. Nullstellen ganzrationaler Funktionen. Grades Beispiel : ( ) f x = x + x Das Schaubild stellt eine nach oben geöffnete Parabel dar mit diesen Nullstellen: x + x = 0 Nach der allgemeinen Lösungsformel für quadratische Gleichungen (s.u.) folgt: x ( ) ± = = N xn = ± + = ± = { Ergebnis: Die Schnittpunkte mit der x-achse sind N ( 0 ) und N ( 0). WISSEN: Die allgemeine quadratische Gleichung ax +bx + c = 0 hat diese Lösungen: b± b ac x, = a Ist speziell a =, dann steht im Nenner die Zahl und man kann ganz auf einen Bruch verzichten (siehe Beispiel oben). Die viel angewandte sogenannte p-q-formel bezieht sich auf die Gleichung p p x + px+ q= 0 und führt zur Lösung x, = ± q. Ich werde diese Formel nie anwenden, weil sie oft weniger handliche Ergebnisse liefert, z.b. sehr oft dann, wenn der Koeffizient von x nicht sondern ein komplizierter Term ist.

12 Funktionen Ganzrationale Funktionen Beispiel : ( ) 9 f x = x + x Wir erkennen an dem Minuszeichen vor x, daß die Parabel nach unten geöffnet ist. Nullstellenbedingung: f( x) = 0 d.h. 9 x + x = 0 Es folgt: x x N N ( ) 9 ( ) ± 9 = = ± 9 9 = = Ergebnis: Diese Parabel hat mit der x-achse nur einen gemeinsamen Punkt, S 0. berührt also die x-achse und der Berührpunkt ist der Scheitel ( ) Beispiel : ( ) 5 f x = x + x+ Nullstellenbedingung: f( x) = 0 d.h. Es folgt: x + x+ = 0 5 x + x+ 5 = 0 also x N ± 0 = R Weil der Radikand negativ wird, kann man die Wurzel nicht ziehen, also ist das Ergebnis keine reelle Zahl mehr, was man so anschreibt: R. Die Parabel ist nach oben geöffnet, hat keine gemeinsamen Punkte mit der x-achse, und liegt somit ganz oberhalb dieser Achse. Es gibt einige algebraische Sonderfälle, die wir noch ansehen wollen:

13 Funktionen Ganzrationale Funktionen Beispiel : ( ) f x = x + x Nullstellenbedingung: f( x) = 0 d.h. x + x = 0 Diese Gleichung löst man nicht mit einer Lösungsformel sondern durch Ausklammern von x, weil das Absolutglied Null ist! ( ) x x+ = 0 Nun liegt ein Nullprodukt vor. Dieses wird genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.. Faktor: x N = 0. Faktor: x+ = 0 x = x = Ergebnis: N ( 0 0), N ( 0) Beispiel 5: ( ) f x = x. Nullstellenbedingung: f( x) = 0 N d.h. x = 0 Auch jetzt verwendet man keine Lösungsformel sondern stellt nach x um: x = x = 6 xn =± 6 Ergebnis: N, ( ± 6 0) Zusammenfassung: Eine Parabel kann 0, oder Schnittpunkte mit der x-achse haben. Dazu muß jeweils eine quadratische Gleichung gelöst werden. Fehlt der zweite oder dritte Summand dieser Gleichung (siehe Beispiele und 5), dann sollte man keine Lösungsformel verwenden sondern geschickter rechnen.

14 Funktionen Ganzrationale Funktionen. Nullstellen ganzrationaler Funktionen. Grades Beispiel : ( ) f x = x + x x 6 6 Nullstellenbedingung: f( x) = 0 d.h. x + x x = x + x 6x = 0 Weil das Absolutglied Null ist, klammert man x aus: ( ) x x + x 6 = 0 ± + ± 5 x = 0 x, = = = { Ergebnis: N ( 0 0 ); N ( 0 ); N ( 0). (Die Reihenfolge der Nummern ist egal) Beispiel : f( x) = x x 5x+ 6 Nullstellenbedingung: ( ) f x 0 = d.h. x x 5x+ 6 = 0 () Nun haben wir ein Problem. Es gibt zwar Lösungsformeln für solche Gleichungen. Diese sind für die Schule jedoch ungeeignet. Ich biete eine HILFE an: Ich schreibe die Gleichung () in anderer Form an: ( )( ) x x x 6 = 0 () Zur Probe kann man () ausmultiplizieren und erhält dann die Gleichung (). Aus () folgen dann diese drei Nullstellen: ± + ± 5 x = x, = = = { Ergebnis: N ( 0 ); N ( 0 ); N ( 0).

15 Funktionen Ganzrationale Funktionen Nur wie kommt man ohne diese Hilfe aus? In der Klammer ( x ) steht die erste Nullstelle x = ( aus x = folgt x = 0 ). Also geht es doch zunächst darum, eine Lösung irgendwie zu finden. Etwa x = durch Probieren: f() = 5+ 6 = 0. Dann kennt man x = als erste Lösung und muß den Faktor (x ) ausklammern. Dazu hat man zwei Verfahren zur Auswahl. METHODE : Ausklammern durch Polynomdivision Gegeben ist f( x) = x x 5x+ 6 und bekannt ist f( ) = 0. Ziel ist daher das Ausklammern des Faktors ( x ). (x x 5x + 6):(x ) = x x 6 (x x ) x 5x (x + x) 6x + 6 ( 6x+ 6) 0 Damit haben wir f in dieses Produkt zerlegt: ( ) ( )( ) f x = x x x 6 METHODE : Ausklammern durch das Horner-Schema Gegeben ist f( x) = x x 5x+ 6 und bekannt ist f( ) = 0. Ziel ist daher das Ausklammern des Faktors ( x ). Koeffizientenschema nach Horner: x = Daher haben wir f in dieses Produkt zerlegt: ( ) ( )( ) f x = x x x 6 In der ersten Zeile stehen die Koeffizienten von f. Die. Zeile beginnst stets mit der Zahl 0. Dann wird die. Zahl der. Spalte zur. Zahl der. Spalte addiert. Das Ergebnis () wird mit der bekannten Lösung x = multipliziert und in die. Zeile geschrieben. Dann wieder vertikale Addition, dann wieder Multiplikation mit der Lösungszahl usw. Am Ende ergibt sich der Funktionswert der Zahl x=, also hier 0! Die drei Zahlen der. Zeile sind die Koeffizienten für das Divisionsergebnis! Nach der Aufspaltung in ein Produkt muß man nur noch die quadratische Gleichung lösen, die sich aus der. Klammer ergibt, wie dies auf Seite geschehen ist.

16 Funktionen Ganzrationale Funktionen 5 In Beispiel und hatte die Funktion Nullstellen. Da der Grad ungerade ist, gibt es mindestens eine Nullstelle. Es kann nun auch Funktionen mit nur zwei oder einer Nullstelle geben. Sehen wir uns dazu weitere Beispiele an: Beispiel : ( ) f x = x + x Da auch hier ein Absolutglied vorhanden ist, muß wieder eine Nullstelle durch Probieren gefunden werden. Da man dazu normalerweise keine Zeichnung hat, beginnt man bei, dann usw: () f = + 0 ( ) f = 8+ 6 = 0 Also ist x = eine Lösung der Nullstellengleichung x + x = 0. Daher kann man (x - ) ausklammern. Und dazu gibt es wieder Polynomdivision oder Hornerschema. Ich verwende ab jetzt nur das schnellere Hornerschema: Dazu vereinfache ich jedoch die Gleichung, indem ich durch Multiplikation mit - den Bruch verschwinden lasse: x +0x x+ 6 = 0 Bekannte Nullstelle: x = : Koeffizientenschema: x = Erg.: ( x )( x+ x 8) = 0 Achtung Das ist nicht f(x) sondern f(x)! Nullstellenberechnung daher: ( )( ) x x + x 8 = 0 x = ± + ± 6 x, = = = ist also eine doppelte Nullstelle (Berührstelle! ) Ergebnis: N ( 0) ; N ( 0) {

17 Funktionen Ganzrationale Funktionen 6 Beispiel : ( ) f x = x + x + x+ Suche nach Nullstellen: () f = ( ) f = + + = 0 d.h. x = - ist eine Nullstelle von f. Daher läßt sich der Linearfaktor ( x + ) ausklammern. Nullstellengleichung: x + x + x+ = 0 x + x + x+ = 0 () Koeffizientenschema nach HORNER: x Also ( )( ) x+ x + = 0 x = - x = hat keine reelle Lösung. Die Funktion hat also nur eine einzige Nullstelle. Beispiel 5: ( ) f x = x + x x+ Hier hat man keine Chance, eine ganzzahlige Nullstelle zu finden. Wir können also keine Nullstellen berechnen. Später gibt es eine Näherungsmethode, die es gestattet, die einzige Nullstelle beliebig genau zu ermitteln. Man erkennt, daß die Schaubilder von ganzrationalen Funktionen. Grades eine Welle haben können, oder wie hier einen Terrassenpunkt (waagerechte Tangente) oder wir oben weder noch.

18 Funktionen Ganzrationale Funktionen 7. Nullstellen ganzrationaler Funktionen. Grades Wer den Abschnitt. über die Funktionen. Grades gelesen hat, kann ahnen, daß es jetzt noch schwieriger wird, die Nullstellen zu bestimmen. Aber genau wie im. Beispiel von. gibt es auch hier Fälle, in denen es noch ganz einfach geht.. Fall: Nullstellen über biquadratische Gleichungen WISSEN: Eine Gleichung der Form ax + bx + c = 0 heißt biquadratisch (zweifach quadratisch), da sie im Grunde eine quadratische Gleichung für x darstellt. Mit der allgemeinen Lösungsformel erhält man somit b± b ac x = a Daraus werden dann erst die wirklichen Nullstellen bestimmt. BEISPIEL : ( ) f x = x x + 6 Nullstellenbedingung: f( x) = 0 führt auf x x + 6 = x 8x + = 0 Ich habe bewußt nicht mit 8, sondern nur mit multipliziert, weil der Koeffizient die Lösung vereinfacht (man benötigt keinen Bruch mehr!) : x = 8 ± 6 = 8 ± 6 8 = 8 ± = { Aus Aus x = folgt x, =± =± x = folgt x, =±. Ergebnis: N ( ± 0 ); N ( ± 0).,, BEISPIEL : ( ) f x = x x + 9 (Rote Kurve; um nach oben verschoben) 8 Nullstellen: 8 x x + 9 = 0 x 8x + 6= 0 x = 8 ± 6 6 = 8 ± 6 7 R. Es gibt keine Nullstellen!

19 Funktionen Ganzrationale Funktionen 8 BEISPIEL : ( ) f x = x + x + 8 Nullstellengleichung: x + x + = 0 ( ) 8 x x 8 = 0 x = ± 9 ( 8) = ± 9+ 6 { x = ± 5 = 8 Aus x = 8 x = ± 8, Aus x = folgt keine Nullstelle. Ergebnis: N, ( ± 8 0) Die Beispiele bis hatten nur gerade Exponenten, also gilt f( x) = f( x), d.h. die Schaubilder sind symmetrisch zur y-achse!!. Fall: Nullstellen über Ausklammern von x oder x BEISPIEL : f( x) = x + x x Nullstellengleichung x + x x = 0 x + x x = 0 x ausklammern: ( ) x x + x = 0 x = 0 x = ± ( ) = ± + 8, { x, = ± = Erg.: N ( 0 0) N ( 0 ); N ( 0) ist doppelte Nullstelle (Berührpunkt)

20 Funktionen Ganzrationale Funktionen 9 BEISPIEL 5: f( x) = x + x Nullstellengleichung: x + x = 0 x x+ = 0 x ausklammern: ( ) = x+ = 0 x = x 0 Dabei liegt bei 0 eine dreifache Nullstelle vor. An der Abbildung erkennt man, daß dies offenbar eine Besonderheit ist. Man nennt diese Nullstelle einen Terrassenpunkt. Ergebnis: N ( 0 0 ); N ( 0). Fall: Nullstellen über reine Potenzgleichungen BEISPIEL 6: ( ) f x = x Nullstellengleichung: = = = ± x 0 x 6 x, BEISPIEL 7: ( ) f x = x + Nullstellengleichung: x + = 0 x = Diese Gleichung hat keine reelle Lösung. Die Funktion hat keine Nullstellen (Rechte Abbildung, obere Kurve).

21 Funktionen Ganzrationale Funktionen 0. Fall: Nullstellen über Probierlösung finden BEISPIEL 8: ( ) 9 f x = x x + x+ Nullstellengleichung: 9 x x + x+ = 0 x 9x + x+ = 0 () Man braucht wiederum eine Probierlösung um einen Faktor ausklammern zu können. Kennt man die Abbildung nicht, dann würde man etwa diese Rechnungen durchführen: () 9 8 f = + + = + = 0 ( ) 9 f = + = + = 0 ( ) 9 f = = 9+ 5= 0 Also haben wir zwei Nullstellen gefunden. Weil x = - eine Nullstelle ist, können wir den Faktor ( x + ) ausklammern. Koeffizientenschema von Gleichung () nach Horner: (Achtung: Man muß von x +0x 9x + x+ = 0 ausgehen!) 0-9 x = x+ x x 8x+ = 0 Also können wir die Gleichung () so aufspalten: ( ) ( ) Nun kennen wir noch die Nullstelle x =. Daher können wir aus der. Klammer den Faktor (x ) ausklammern. Wir setzen also einfach das Hornerschema für diese neue Nullstelle fort: x = x x 8x+ = x x + x 6 = 0 und erhalten ( ) ( )( )

22 Funktionen Ganzrationale Funktionen Jetzt müssen wir uns die ganze Rechnung genauer anschauen und dabei einige Erkenntnisse gewinnen: Wir sollen eine Gleichung. Grades lösen. Mit einer Probierlösung (z.b. x = - ) können wir den Faktor (x+) ausklammern und es bleibt immer noch eine Gleichung. Grades übrig. Daher ist es erforderlich, eine zweite Probierlösung zu kennen, etwa x =. Damit läßt sich (x - ) ausklammern. Die ganze Rechnung sollte man nun nicht wie oben dargestellt auf zwei Etappen durchführen, sondern direkt nacheinander so: 0-9 x = x = Und dann können wir die Gleichung (), also x 9x + x+ = 0 so schreiben: ( x+ )( x )( x + x 6) = 0 ± + ± 5 x = x = x, = = = { Jetzt sehen wir auch, daß diese Funktion Nullstellen besitzt, wobei als doppelte Nullstelle in Erscheinung tritt: Ergebnis: N ( 0 ); N ( 0) ; N( 0) Die doppelte Nullstelle stellt sich im Schaubild als Berührpunkt der x-achse dar. Man kann dies graphisch ganz schön so erkennen. Man schiebe eine Kurve mit Nullstellen nach oben. Dann rücken die beiden Nullstellen immer mehr zusammen. Schließlich fallen sie zu einer Nullstelle zusammen, wenn die Kurve die x-achse berührt. Dies ist dann die doppelte Nullstelle!

23 Funktionen Ganzrationale Funktionen BEISPIEL 8: ( ) f x = x x + 9x x Nullstellengleichung: x x + 9x x = 0 x x + 8x x 8 = 0 () Bei dieser Aufgabe (bitte ignorieren Sie zuerst einmal das Schaubild rechts) finden Sie durch Rechnung nur eine Nullstelle, x =. ( ) f = = = 0 Man könnte ja x = - 0,5 probieren, aber man sucht eigentlich immer nur ganzzahlige Probierlösungen. Dann bleibt nur eines übrig, nämlich zu testen, ob die eine gefundene Probierlösung x = vielleicht sogar eine doppelte Lösung ist. Dies macht man dann so: Koeffizientenschema nach HORNER: x = x = Weil das Hornerschema noch ein zweites Mal die Schluß-Null ergeben hat, ist die Zahl eine doppelte Lösung der Gleichung (): Produktdarstellung der Nullstellengleichung () : ( ) ( ) x x x = 0 x, ± 9+ 6 ± 5 = = = Nun ist x = sogar eine dreifache Nullstelle!!! Ergebnis: N ( 0 ); N ( 0) Bemerkung: Es spricht nichts dagegen, nach diesem doppelten Hornerschema sogar den Versuch zu wagen, x = ein drittes Mal auf Lösung zu testen. In diesem Beispiel klappt es sogar, und dann würde die Rechnung so aussehen:

24 Funktionen Ganzrationale Funktionen Koeffizientenschema nach HORNER: x = x = x = Die dritte 0 ist der Beleg dafür, daß die Zahl sogar eine dreifache Nullstelle der Funktion ist! Käme hier eine andere Zahl statt 0 heraus, dann wäre nur eine doppelte Lösung! Die Faktorenzerlegung sieht jetzt so aus: ( x ) ( x+ ) = 0 Die zweite Klammer liefert jetzt ganz schnell die zweite Nullstelle x + = 0 x =.

25 Funktionen Ganzrationale Funktionen. Nullstellen ganzrationaler Funktionen 5. Grades Hier nur einige exemplarische Beispiele BEISPIEL : 5 ( ) f x = x + x x Nullstellengleichung: x + x x = x x + x = 0 x ausklammern: ( ) x = 0 x, = ± + 8 = ± = { Die 0 ist dreifache Nullstelle (Terrassenpunkt). Ergebnis: N ( 0 0 ); N ( 0 ); N ( 0) BEISPIEL : 5 ( ) f x = x x x 8 Nullstellengleichung: x x x = x 6x 7x = 0 ( ) x x 6x 7 = 0 6± ± 9 x = 0, x = = = { Aus Aus x = 9 x = ±., x = folgt keine Lösung. Ergebnis: N ( 0 0 ); N ( ± 0), Bemerkung: Diese Funktion hat nur ungerade Hochzahlen, also gilt f( x) = f( x), d.h. ihr Schaubild ist punktsymmetrisch zum Ursprung!

26 Funktionen Ganzrationale Funktionen 5 BEISPIEL : ( ) 5 ( ) f x = x + x x x + 6x+ 6 9 Nullstellengleichung: 5 x + x x x + 6x + 6 = 0 () Wir benötigen Probierlösungen um nach dem Ausklammern einen quadratischen Term übrig zu haben. () f = ( ) 0 9 ( ) f = ( ) = 0 9 ( ) f = ( ) = 0 9 ( ) f = ( ) = 0 9 Also kennen wir die Nullstellen -, und Und können die Faktoren ( x+ )( x )( x+ ) ausklammern. Wir wenden das Horner-Schema dreimal fortgesetzt an: x = x = x = Die Nullstellengleichung () läßt sich also in diese Produktform bringen: ( )( )( ) ( ) x+ x x+ x 9 = 0 x = 9 x = ± Ergebnis: N ( 0 ); N ( 0 ); N ( 0 ) ; N ( 0 ) ; N ( 0). 5,5

27 Funktionen Ganzrationale Funktionen 6.5 Nullstellen ganzrationaler Funktionen Wir wollen noch eine ganz allgemeine Untersuchung über Nullstellen ganzrationaler Funktionen machen. Zuerst wollen wir folgenden Satz beweisen: SATZ: Es sei f eine ganzrationale Funktion vom Grad n und es sei x N eine bekannte Nullstelle von f. Dann besitzt f den Faktor (x x N ). Beweis: Wenn man den Funktionsterm f(x) durch (x x N ) dividiert, dann liefert die Polynomdivision eine Funktion g(x), deren Grad um kleiner ist, also der von f, also n, und es kann ein Rest r übrig bleiben: ( ) ( ) ( ) f x : x xn = g x r Also ist doch ( ) ( ) ( ) f x = x x g x + r Nun setzen wir x = x N ein, das ergibt ( ) ( ) ( ) N N N N = 0 = 0 N f x = x x g x + r, denn x N war ja eine Nullstelle von f. Also folgt r = 0. Nun überlegen wir weiter: Mit anderen Worten: f( x) ( x x ) g( x) =, was zu beweisen war. Nach dem Ausklammern des Faktors ( x x N ) hat der andere Faktor g(x) den Grad n. Daraus kann man sich überlegen, wie viele Nullstellen es überhaupt beim Grad n geben kann. Die Antwort lautet maximal n Denn mehr als n Faktoren kann man nicht ausklammern, wenn die Funktion mit ax n +... beginnt. Also wissen wir: N Eine ganzrationale Funktion vom Grad n hat höchstens n Nullstellen Und da zwischen zwei Nullstellen entweder ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt liegt, wissen wir auch gleich, daß die Anzahl dieser Extrempunkte höchstens n - ist.

28 Funktionen Ganzrationale Funktionen 7 AUFGABENBLATT Bestimme die Nullstellen folgender Funktionen () ( ) 5 f x = x x () f( x) = x x () ( ) f x = x () ( ) f x = x x+ 8 (5) ( ) f x = x (6) f( x) = x x 8 6 (7) ( ) 5 f x = x + x x (8) ( ) f x = x x x+ (9) ( ) f x = x + x x (0) ( ) 9 f x = x x+ 0 0 () ( ) 5 f x = x x () ( ) f x = x + x + 8 () ( ) 5 f x = x + x + x () ( ) f x = x + x x x (5) ( ) f x = x + x + x f x = x + x x x+ 6 (6) ( ) ( ) 5 (7) f( x) = x x (8) f( x) = x x + x 5 (9) ( ) 5 f x = x x x und ( ) gx = x x x 8 5 (0) ( ) f x = x + x x x x