Inhalt. Vorkurs Mathematik für Studierende der Wirtschaftswissenschaften, Gesundheitsökonomie und Drucktechnik. Visitenkarte.

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1 für Studierende der Wirtschaftswissenschaften, Gesundheitsökonomie und Drucktechnik Dr. Michael Stiglmayr Bergische Universität Wuppertal Fachbereich C - und Informatik Wintersemester 01/016 Inhalt Grundlagen der von Aussagen Umformungsregeln Aussageformen Grundlagen der Beschreibung von Mengen Beziehungen zwischen Mengen von Mengen Regeln für die Verknüpfung von Mengen Zahlenmengen und kombinatorische Grundlagen Intervalle Kombinatorische Grundlagen Multiplikationssatz Permutationen Auswahl mit Berücksichtigung der Auswahl ohne Berücksichtigung der Reelle Seite Visitenkarte Inhalt Dr. Michael Stiglmayr Bergische Universität Wuppertal Fakultät für und Naturwissenschaften Arbeitsgruppe Optimierung und Approximation www: Büro: stiglmayr@math.uni-wuppertal.de D.1.01 Wurzeln, Logarithmen und Beträge Potenzen und Wurzeln Logarithmen Beträge reeller Zahlen der Form Exponentialgleichungen Gleichungssysteme Reelle Seite

2 Inhalt Definition 1.1 Reelle in einer Variablen Reelle Seite Unter einer Aussage versteht man eine Behauptung, von der eindeutig entschieden werden kann, ob sie wahr oder falsch ist. Einer Aussage ordnet man die Wahrheitswerte wahr (w) oder falsch (f) zu. Beispiel 1. A B C D 169 ist eine Primzahl. (f) 169 ist eine Quadratzahl. (w) Wien ist die Hauptstadt der Schweiz. (f) Der ist nützlich. Keine Aussage, da die Behauptung nicht objektiv als wahr oder falsch klassifiziert werden kann, auch wenn wir hoffen, dass viele von Ihnen das am Kursende subjektiv so empfinden. Umformungen Aussageformen Reelle Seite 7 Grundlagen der Bezeichnung 1. Grundlagen der von Aussagen Umformungsregeln Aussageformen Umformungen Aussageformen Reelle Ist A eine Aussage, so bezeichnet A (gesprochen nicht A ) die Negation der Aussage A. A ist wieder eine Aussage, die wahr ist, wenn A falsch ist und falsch ist, wenn A wahr ist. A A w f Umformungen Aussageformen Reelle f w Tabelle : Wahrheitstafel von A Seite 6 Seite 8

3 Beispiel 1. A + = (w) A + (f) B Alle Menschen sind sterblich. (w) B Es existiert ein Mensch, der nicht sterblich ist. (f) Das letzte Beispiel zeigt, dass bei Negationen genau auf die Formulierung zu achten ist. C Alle Menschen sind unsterblich. (f) Umformungen Aussageformen Reelle Beispiel 1.6 A + = (w) B 169 ist eine Primzahl (f) C 169 ist eine Quadratzahl (w) A B + = und 169 ist eine Primzahl (f) A C + = und 169 ist eine Quadratzahl (w) B C 169 ist eine Primzahl und eine Quadratzahl (f) Umformungen Aussageformen Reelle Dies ist nicht die Negation von Aussage B. D Für alle natürlichen Zahlen n gilt n + = 6. (f) D Es existiert eine natürliche Zahl n, so dass n + 6 gilt. (w) Seite 9 Seite 11 von Aussagen Definition 1. Sind A und B Aussagen, so wird durch A B (gesprochen A und B ) eine neue Aussage, die Konjunktion von A und B definiert. A B ist eine wahre Aussage, wenn sowohl A als auch B wahre Aussagen sind. Anders ausgedrückt ist A B falsch, wenn (mindestens) eine der beiden Aussagen falsch ist. A B A B Umformungen Aussageformen Definition 1.7 Sind A und B Aussagen, so wird durch A B (gesprochen A oder B ) eine neue Aussage, die Disjunktion (nicht ausschließendes oder) von A und B definiert. A B ist wahr, wenn mindestens eine der Aussagen A oder B wahr ist. Anders ausgedrückt ist A B nur dann falsch, wenn sowohl A als auch B falsch sind. Meint man entweder A oder B, so schreibt man A B und spricht vom exklusiven Oder. Umformungen Aussageformen w w w Reelle A B A B A B Reelle w f f w w w f f w f w f w w f f f Seite 10 f w w w Seite 1 Tabelle : Wahrheitstafel von A B f f f f Tabelle : Wahrheitstafel von A B und A B

4 Beispiel 1.8 A B C A B A C B C + = (w) 169 ist eine Primzahl (f) 169 ist eine Quadratzahl (w) + = oder 169 ist eine Primzahl. (w) + = oder 169 ist eine Quadratzahl. (w) 169 ist eine Primzahl oder eine Quadratzahl. (w) Umformungen Aussageformen Reelle Beispiel 1.11 A ist Teiler von 18. (w) B ist Teiler von 18. (f) A B Wenn Teiler von 18 ist, dann ist Teiler von 18. (f) B A Wenn Teiler von 18 ist, dann ist Teiler von 18. (w) Umformungen Aussageformen Reelle Bemerkung 1.9 Dieses Beispiel macht deutlich, dass sich das aussagenlogische oder wesentlich vom üblichen Sprachgebrauch unterscheidet. Seite 1 Seite 1 Definition 1.10 Sind A und B Aussagen, so wird durch A B (gesprochen wenn A dann B oder aus A folgt B ) wieder eine Aussage definiert, die Implikation (oder Folgerung) genannt wird. Die Implikation A B ist nur dann eine falsche Aussage, wenn A wahr und B falsch ist. Merke: Aus einer falschen Aussage kann eine wahre Aussage folgen. Aus einer wahren Aussage folgt aber niemals eine falsche! A B A B w w w w f f f w w f f w Tabelle : Wahrheitstafel von A = B Umformungen Aussageformen Reelle Seite 1 Bezeichnung 1.1 Sind A und B Aussagen, dann ist (A B) (B A) ebenfalls eine Aussage, die Äquivalenzrelation A B (gesprochen A äquivalent zu B oder A genau dann wenn B ). A B ist eine wahre Aussage, wenn A und B die gleichen Wahrheitswerte haben, d. h. entweder beide wahr oder beide falsch sind. A B A B B A A B w w w w w w f f w f f w w f f f f w w w Tabelle : Wahrheitstafel von A B Umformungen Aussageformen Reelle Seite 16

5 A B C B C A (B C ) A B (A B) C Beispiel 1.1 A ist Teiler von 18. (w) B ist Teiler von 18. (f) A B Wenn Teiler von 18 ist, dann ist Teiler von 18. (f) B A Wenn Teiler von 18 ist, dann ist Teiler von 18. (w) A B ist Teiler von 18, genau dann wenn Teiler von 18 ist. (f) Umformungen Aussageformen Reelle w w w w w w w w w f f f w f w f w f f f f w f f f f f f f w w w f f f f w f f f f f f f w f f f f Umformungen Aussageformen Reelle f f f f f f f Tabelle : Wahrheitstafel zum Assoziativgesetz A (B C ) (A B) C Seite 17 Seite 19 Umformungsregeln A B B A A B B A (Kommutativgesetz) A (B C ) (A B) C A (B C ) (A B) C (Assoziativgesetz) A (B C ) (A B) (A C ) A (B C ) (A B) (A C ) (Distributivgesetz) ( A) A (Doppelte Verneinung) (A B) ( A) ( B) (A B) ( A) ( B) (Regel von De Morgan) Umformungen Aussageformen Reelle Seite 18 Beispiel 1.1 (Assoziativgesetz) A: ist Teiler von 6. (w) B: ist Teiler von 6. (w) C : ist Teiler von 6. (f) A (B C ): Teiler von 6 und ( und Teiler von 6) (f) (A B) C : ( und Teiler von 6) und Teiler von 6 (f) Das Assoziativgesetz besagt, dass die Klammern weggelassen werden dürfen. Man kann auch sagen: und und sind Teiler von 6. (f) Umformungen Aussageformen Reelle Seite 0 Tabelle : Umformungsregeln für aussagenlogische Terme

6 Beispiel 1.1 (Doppelte Verneinung) A ist Teiler von 6. (w) A ist nicht Teiler von 6. (f) ( A) Es gilt nicht, dass nicht Teiler von 6 ist. (w) B Jede Primzahl p > ist ungerade. (w) B Es gilt nicht, dass jede Primzahl p > ungerade ist. (f) bzw. es existiert eine Primzahl p >, die gerade ist. (f) ( B) Es gilt nicht, dass es eine Primzahl p > gibt, die gerade ist. (w) bzw. jede Primzahl p > ist ungerade. (w) Umformungen Aussageformen Reelle Beispiel 1.17 (fort.) (A ( A)), das Gesetz vom Widerspruch, ist eine Tautologie. Es regnet und es regnet nicht ist immer falsch, die Negation daher stets richtig. A A A ( A) (A ( A)) w f f w f w f w Tabelle : Wahrheitstafel von (A ( A)) Umformungen Aussageformen Reelle Seite 1 Seite Definition 1.16 Eine Aussage, die aus der Verknüpfung mehrerer Aussagen hervorgeht, ist eine Tautologie, wenn für alle möglichen Wahrheitswerte der für die Verknüpfung verwendeten Aussagen, die Aussage insgesamt stets wahr ist. Beispiel 1.17 A ( A), der Satz vom ausgeschlossenen Dritten, ist eine Tautologie. Es regnet oder es regnet nicht es gibt keine dritte Möglichkeit. Umformungen Aussageformen Reelle Beispiel 1.17 (fort.) (A = B) (( A) B) ist eine Tautologie. A B A B A ( A) B (A B) (( A) B) w w w f w w w f f f f w f w w w w w Umformungen Aussageformen Reelle A A A ( A) f f w w w w w f w f w w Seite Tabelle : Wahrheitstafel von (A = B) (( A) B) Seite Tabelle : Wahrheitstafel von A ( A)

7 Grundlagen der Definition 1.18 Eine Aussageform ist eine Behauptung, die eine oder mehrere Variablen enthält. Eine Aussageform wird zu einer Aussage, wenn für die Variablen Objekte des zugehörigen Grundbereiches eingesetzt werden. Setzt man Objekte des Grundbereiches ein, so dass die Aussageform eine wahre Aussage ergibt, so nennt man diese Objekte Lösung der Aussageform. Umformungen Aussageformen Reelle Grundlagen der Beschreibung von Mengen Beziehungen zwischen Mengen von Mengen Regeln für die Verknüpfung von Mengen Beschreibung Beziehungen Reelle Seite Seite 7 Beispiel 1.19 Grundbereich: Z (Menge der ganzen Zahlen) A(x ) x + 7 = 0 ist eine Aussageform mit der Variablen x. A( 7) = 0 (w) ist eine Aussage mit dem Wahrheitswert (w). A(0) = 0 (f) ist eine Aussage mit dem Wahrheitswert (f). Bemerkung 1.0 Umformungen Aussageformen Reelle Definition.1 Als Menge bezeichnet man die Zusammenfassung unterschiedlicher Objekte, die Elemente genannt werden. Eine Menge, die kein Element enthält, heißt leere Menge und wird mit dem Symbol { } (oder ) bezeichnet. Zwei Mengen A und B sind gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten. Man schreibt dann A = B. Beschreibung Beziehungen Reelle Aussageformen mit demselben Grundbereich kann man wie Aussagen miteinander verknüpfen und erhält wieder eine Aussageform. Seite 6 Seite 8

8 Beispiel. 1. Menge der Teilnehmer am. Menge der Zahlen,,,7.. Menge der Telefonnummern in Wuppertal Bezeichnung. Beschreibung Beziehungen Definition. A B (gesprochen A ist Teilmenge von B ), wenn jedes Element von A auch Element von B ist, d.h. A B (x A = x B) Beschreibung Beziehungen Mengen werden in der Regel mit großen Buchstaben, die Elemente mit kleinen Buchstaben bezeichnet. Reelle Reelle x A : x ist Element von A. x A : x ist nicht Element von A. Seite 9 Seite 1 Man unterscheidet die aufzählende und die beschreibende Form. Bei der aufzählenden Form werden alle Elemente in beliebiger zwischen zwei geschweiften Klammern aufgelistet, z. B. A = {1,,,, } oder auch A = {,, 1,, }. Häufig ist es unpraktisch oder auch nicht möglich, eine Menge in der aufzählenden Form anzugeben. Bei der beschreibenden Form werden die Elemente mit Hilfe von Aussageformen unter Angabe der Grundmenge spezifiziert, z. B. A = {x N : 1 x }. Beschreibung Beziehungen Reelle Seite 0 Definition. Als Durchschnitt A B zweier Mengen A und B bezeichnet man die Menge aller Elemente, die zu A und zu B gehören, d. h. A B = {x : x A x B}. Ist A B = { }, so heißen A und B disjunkt. Die Vereinigung A B zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die zu A oder zu B gehören, d. h. A B = {x : x A x B}. Die Differenzmenge A\B von A und B ist die Menge aller Elemente von A, die nicht zu B gehören, d. h. A\B = {x : x A x B}. Das Komplement C(A) einer Menge A bezogen auf eine Grundmenge Ω besteht aus allen Elementen von Ω, die nicht zu A gehören, d. h. C(A) = {x Ω : x A} = Ω\A Beschreibung Beziehungen Reelle Seite

9 Beispiel.6 Die Grundmenge Ω sei die Menge aller Studierenden an der Bergischen Universität Wuppertal. W F M S B Menge aller Studierenden der Wirtschaftswissenschaften Menge aller weiblichen Studierenden Menge aller männlichen Studierenden Menge aller Studierenden, die im Unichor singen Menge aller Studierenden, die Basketball spielen Beschreibung Beziehungen A B = B A A B = B A A (B C ) = (A B) C A (B C ) = (A B) C A (B C ) = (A B) (A C ) A (B C ) = (A B) (A C ) (Kommutativgesetz) (Assoziativgesetz) (Distributivgesetz) Beschreibung Beziehungen Reelle C(A B) = C(A) C(B) C(A B) = C(A) C(B) (Regel von De Morgan) Reelle Seite Tabelle : Regeln für die Verknüpfung von Mengen Seite Beispiel.6 (fort.) Wir überlegen nun, wie die folgenden miteinander verknüpften Mengen beschrieben werden können. Ω\W W S M B W \(B S) Alle Studierenden, die nicht Wirtschaftswissenschaften studieren Alle Studierenden, die Wirtschaftswissenschaften studieren oder im Unichor singen Alle männlichen Studierenden, die Basketball spielen Studierende der Wirtschaftswissenschaften, die nicht sowohl Basketball spielen als auch im Chor singen (W \S) (W \B) Studierende der Wirtschaftswissenschaften, die nicht sowohl Basketball spielen als auch im Chor singen Beschreibung Beziehungen Reelle Definition.7 Seien A und B Mengen. Unter dem Kreuzprodukt A B von A und B versteht man die Menge aller möglichen geordneten Paare (Tupel) (a, b), wobei die erste Komponente aus A und die zweite Komponente aus B ist, d. h. A B = {(a, b) : a A, b B}. Beispiel.8 {1, } {, } = {(1, ), (1, ), (, ), (, )} Beschreibung Beziehungen Reelle Seite Seite 6

10 Zahlenmengen und kombinatorische Grundlagen Definition. (Intervall) Zahlenmengen und kombinatorische Grundlagen Intervalle Kombinatorische Grundlagen Intervalle Multiplikationssatz Permutationen Auswahl mit Auswahl ohne Reelle Seien a, b R mit a < b. Die Menge aller reellen Zahlen zwischen a und b heißt (endliches) Intervall, a und b heißen Randpunkte des Intervalls. Dabei wird unterschieden, ob Randpunkte zum Intervall dazugehören oder nicht. Im einzelnen verwenden wir die folgenden Bezeichnungen. [a, b] = {x R : a x b} (a, b) = {x R : a < x < b} [a, b) = {x R : a x < b} (a, b] = {x R : a < x b} abgeschlossenes Intervall von a bis b offenes Intervall von a bis b halboffenes Intervall von a bis b halboffenes Intervall von a bis b Intervalle Multiplikationssatz Permutationen Auswahl mit Auswahl ohne Reelle Die Länge der Intervalle beträgt jeweils b a. Seite 7 Seite 9 Bezeichnung.1 (Zahlenmengen) natürliche Zahlen N = {1,,,... } ganze Zahlen Z = {...,,, 1, 0, 1,,... } rationale Zahlen Q = { m n : m Z, n N} Da sich jeder Bruch als endliche oder periodische Dezimalzahl darstellen lässt (z. B. 1 = 0. ), kann man die rationalen Zahlen auch angeben als Q = {x : x endliche oder periodische Dezimalzahl}. reelle Zahlen R = {x : x endliche oder unendliche Dezimalzahl} Zu den rationalen Zahlen kommen bei den reellen Zahlen die unendlichen, nicht periodischen Dezimalzahlen dazu. Dies sind die sogenannten irrationalen Zahlen wie z. B. π,. Wenn wir festlegen wollen, dass wir von einer Zahlenmenge nur die nicht-negativen Elemente bzw. die von Null verschiedenen Elemente betrachten wollen, so kennzeichnen wir dies mit einem tiefgestellten + bzw. einem hochgestellten, also z. B. R + = {x R : x > 0}. Auch gewisse unbeschränkte Mengen werden als unendliche Intervalle bezeichnet und mit Hilfe des Symbols gekennzeichnet. [a, ) = {x R : a x } (a, ) = {x R : a < x } (, b] = {x R : x b} (, b) = {x R : x < b} (, ) = R Merke: Unendlich ist keine reelle Zahl und kann deshalb nicht in einem Intervall liegen. Intervalle Multiplikationssatz Permutationen Auswahl mit Auswahl ohne Reelle Seite 0

11 Kombinatorische Grundlagen Beispiel. (fort.) In vielen ökonomischen Fragestellungen treten Fragestellungen auf, bei denen verschiedene Möglichkeiten der Anordnung und Zusammenstellung von Elementen einer Menge zu bestimmen sind. Aufgabenstellungen dieser Art werden in der behandelt. Im Folgenden werden die verschiedenen Fragestellungen zunächst jeweils an einem Beispiel erläutert und dann in allgemeiner Form behandelt. Intervalle Multiplikationssatz Permutationen Auswahl mit Auswahl ohne Aus dem Baumdiagramm lässt sich die Anzahl der Möglichkeiten als 0 ablesen. Jede der beiden Suppen kann mit jedem der fünf Hauptgerichte kombiniert werden, und jede dieser Kombinationen kann wiederum mit jedem der beiden Desserts kombiniert werden. Es gibt also insgesamt = 0 verschiedene Menüzusammenstellungen. Intervalle Multiplikationssatz Permutationen Auswahl mit Auswahl ohne Reelle Reelle Seite 1 Seite Beispiel. Ein Restaurant bietet auf seiner Mittagskarte zwei verschiedene Suppen, fünf Hauptgerichte und zwei Desserts an. Wie viele verschiedene Menüs lassen sich daraus zusammenstellen? S1 S Intervalle Multiplikationssatz Permutationen Auswahl mit Auswahl ohne Satz. (Multiplikationssatz) Seien k N und m i N, 1 i k. Wählt man aus jeder von k Mengen, die jeweils m i Elemente enthalten genau ein Element aus, so gibt es dafür insgesamt m 1 m... m k Möglichkeiten. Intervalle Multiplikationssatz Permutationen Auswahl mit Auswahl ohne H1 H H H H H1 H H H H Reelle Reelle N1 N N1 N N1 N N1 N N1 N N1 N N1 N N1 N N1 N N1 N Abbildung : Baumdiagramm Seite Seite

12 Beispiel. Beispiel.6 (fort.) Wie viele gerade vierstellige Zahlen lassen sich bilden, wenn die erste und die dritte Ziffer ungerade sein sollen? Für die erste und dritte Ziffer gibt es jeweils, für die zweite 10 und für die vierte Ziffer wieder Möglichkeiten, insgesamt also Intervalle Multiplikationssatz Permutationen Auswahl mit Auswahl ohne Für den ersten Hausbesuch kommen alle fünf Patienten in Frage, zu jeder dieser Möglichkeiten gibt es für den zweiten Hausbesuch noch vier Möglichkeiten usw. bis für den letzten Hausbesuch nur noch jeweils eine Möglichkeit besteht, insgesamt also Intervalle Multiplikationssatz Permutationen Auswahl mit Auswahl ohne 10 = 10 Möglichkeiten. 1 = 10 Möglichkeiten. Reelle Reelle Seite Seite 7 Permutationen Beispiel.6 Ein Arzt soll nacheinander Hausbesuche bei fünf seiner Patienten machen. Wie viele Möglichkeiten in Bezug auf die der Patienten hat der Arzt, seine Hausbesuche zu erledigen? 1 Intervalle Multiplikationssatz Permutationen Auswahl mit Auswahl ohne Haben wir allgemein eine Menge mit n Elementen gegeben, so bezeichnen wir jede mögliche Anordnung der n Elemente als Permutation der Elemente. Satz.7 Sei n N. Es gibt n (n 1) (n ) 1 = n! Intervalle Multiplikationssatz Permutationen Auswahl mit Auswahl ohne Reelle gesprochen n Fakultät, Möglichkeiten, n unterscheidbare Elemente anzuordnen. Reelle Seite 6 Seite 8 Abbildung : Baumdiagramm Hausbesuche, Beispiel.6

13 Beispiel.8 Wie viele Permutationen der Buchstaben a, b, c, d, e gibt es? Da es sich um fünf verschiedene Buchstaben handelt, gibt es! = 10 Permutationen. Wie viele verschiedene Anordnungen der Buchstaben a, b, c, d, e gibt es, wenn jede mit a c beginnen soll? Da die ersten zwei Buchstaben bereits festgelegt sind, gibt es noch! = 6 Möglichkeiten. Intervalle Multiplikationssatz Permutationen Auswahl mit Auswahl ohne Satz.10 Seien k, n N mit k n. Von n Elementen lassen sich k Elemente mit Berücksichtigung der auf Arten auswählen. n (n 1) (n ) (n k + 1) = n! (n k)! Intervalle Multiplikationssatz Permutationen Auswahl mit Auswahl ohne Reelle Reelle Seite 9 Seite 1 Auswahl mit Berücksichtigung der Beispiel.9 Auswahl ohne Berücksichtigung der Ein Arzt will zwei der fünf anstehenden Hausbesuchen vor seiner Mittagspause erledigen, die restlichen drei kann er erst nachmittags machen. Wie viele verschiedenen Möglichkeiten gibt es für den Arzt, seine Route für die Hausbesuche am Vormittag zu planen? Abbildung : Baumdiagramm Hausbesuche vormittags, Beispiel.9 Intervalle Multiplikationssatz Permutationen Auswahl mit Auswahl ohne Reelle Seite 0 Beispiel.11 Beim Lotto werden bei einem Tipp 6 verschiedene Zahlen aus den Zahlen von 1 bis 9 ausgewählt. Wie viele Möglichkeiten gibt es, einen Tipp abzugeben? Wir starten mit folgender Überlegung: Wenn wir zunächst die der getippten Zahlen berücksichtigen, so gibt es Möglichkeiten. Die (in der die Kugeln fallen, bzw. die Zahlen getippt werden) ist aber unerheblich. 1,, 7, 1, 17, 9 und, 7, 9, 1, 17, 1 beschreiben den gleichen Tipp, das gleiche Ergebnis. Man kann diese 6 Zahlen auf 6! verschiedene Arten anordnen, ohne dass sich der Tipp ändert. Intervalle Multiplikationssatz Permutationen Auswahl mit Auswahl ohne Reelle Seite Aus dem Baumdiagramm ergeben sich = 0 Möglichkeiten.

14 Wurzeln, Logarithmen und Beträge Beispiel.11 (fort.) Bei den oben genannten Möglichkeiten kommt also jeder Tipp 6! mal vor. Um die Anzahl der verschiedenen Tipps zu erhalten, muss man also noch durch 6! dividieren. Es gibt also ! = verschiedene Tipps. Intervalle Multiplikationssatz Permutationen Auswahl mit Auswahl ohne Wurzeln, Logarithmen und Beträge Potenzen und Wurzeln Logarithmen Beträge reeller Zahlen Potenzen und Wurzeln Logarithmen Beträge Reelle Reelle Seite Seite Satz.1 Seien k, n N mit k n. Von n Elementen lassen sich k Elemente ohne Berücksichtigung der auf n (n 1) (n ) (n k + 1) k! Arten auswählen. Man verwendet häufig die abkürzende Schreibweise ( ) n n (n 1) (n ) (n k + 1) = k k! gesprochen n über k oder k aus n. = n! (n k)! k!, Intervalle Multiplikationssatz Permutationen Auswahl mit Auswahl ohne Reelle Potenzen und Wurzeln Definition.1 Für a R, n N ist a n = a a... a } {{ } n Faktoren die n-te Potenz von a. Dabei heißt a Basis und n Exponent. Für a 0 ist: a 0 = 1, a n = 1 a n Potenzen und Wurzeln Logarithmen Beträge Reelle Seite Seite 6

15 Definition.1 Für a R + ist die n-te Wurzel aus a a 1 n = n a die eindeutig bestimmte nicht-negative Zahl, deren n-te Potenz a ergibt. Für a R +, n N, m Z ist a m n = (a m ) 1 n = ( a 1 n ) m = ( n a) m = n a m. Potenzen und Wurzeln Logarithmen Beträge Reelle Beispiel. Herr Huber legt bei seiner Bank einen Betrag von K 0 e mit einer Zinsrate von p% jährlich an. Die Zinsen werden jeweils am Jahresende gutgeschrieben und dem Anlagebetrag zugeschlagen. Sein Guthaben beträgt nach p ( einem Jahr: K 1 = K 0 + K = K p ) 100 zwei Jahren: K = K 1 + K 1... n Jahren: K n = K n 1 + K n 1 p 100 = K 0 ( 1 + p 100 ) p ( 100 = K p ) n 100 Potenzen und Wurzeln Logarithmen Beträge Reelle Seite 7 Dies ist die Zinseszinsformel. Seite 9 Beispiel. Beispiel. = = = 1 = = 16 =, da = 16 = ( ) = = 8 Potenzen und Wurzeln Logarithmen Beträge Reelle Frau Kramer benötigt in n Jahren einen Betrag von K n e. Wie kann sie ausrechnen, welches Kapital sie heute anlegen muss, wenn die Bank ihr Kapital jährlich mit einer Zinsrate von p% verzinst und die Zinsen jeweils dem Kapital gutschreibt. Aus dem ersten Beispiel sieht man: ( K n = K p ) n K0 = 100 K n (1 + p 100 )n K 0 = K n (1 + p 100 ) n Potenzen und Wurzeln Logarithmen Beträge Reelle Seite 8 Seite 60

16 für Potenzen Logarithmen a r a s = a r+s a r b r = (a b) r (a r ) s = a r s = (a s ) r Potenzen und Wurzeln Logarithmen Beträge Definition.6 Seien a R +\{1} (d. h. positiv und ungleich 1) und x R +. Dann ist log a x der Logarithmus von x zur Basis a derjenige Exponent, mit dem a potenziert werden muss, um x zu erhalten: Potenzen und Wurzeln Logarithmen Beträge a r a s = a r s ( a ) r a r = b = a r b r b r a br = a (br ) Reelle Seite 61 log a x = u a u = x. Für Logarithmen zur Basis 10 verwendet man statt log 10 x auch abkürzend die Schreibweise lg x, für Logarithmen zur Basis e, den natürlichen Logarithmus, schreibt man statt log e x auch ln x. Reelle Seite 6 Beispiel. Beispiel.7 = ( ) = = 9 aber ( 7x p y 6q z 1r ) 1 = x p y q z r a b 9 10 a b = a 10 b [ (a) 1 ] ( a ) 1 a = 9 a 7 ( ) = ( ) = = 6 Potenzen und Wurzeln Logarithmen Beträge Reelle log 8 =, denn = 8 lg 100 =, denn 10 = 100 log 9 = 1, denn 9 1 = 9 = log 1 9 =, ( 1 ) denn = = 9 Potenzen und Wurzeln Logarithmen Beträge Reelle [( x 1 ) ] 7 = x 1 = 1 x Seite 6 Seite 6

17 für Logarithmen Für a R +\{1}, x, y R + und p R gilt: a log a x = x log a (a x ) = x log a (xy) = log a x + log a y ( x ) log a = log y a x log a y log a x p = p log a x log a x = log a b log b x bzw. log b x = log a x log a b Die ersten beiden Regeln zeigen, dass Logarithmieren das Potenzieren rückgängig macht. Die letzte Regel benötigt man insbesondere zur Umrechnung in andere Basen. Potenzen und Wurzeln Logarithmen Beträge Reelle Seite 6 Beispiel.9 Herr Huber bekommt von seinem Arbeitgeber eine jährliche Gehaltssteigerung von % zugesagt. Er überlegt, nach wie vielen Jahren er zum ersten Mal mehr als doppelt soviel verdient. Mit G bezeichnen wir Herrn Hubers derzeitiges Gehalt und lösen anschließend die Gleichung ( G = G 1 + ) t : G Beachte G > = 1.0 t Anwendung des Logarithmus lg = lg (1.0 t ) lg = t lg 1.0 lg lg 1.0 = t Rechenregel Logarithmus 17.67, verdient Herr Huber nach 18 Jahren zum ersten Mal mehr als doppelt so viel. Da lg lg 1.0 Potenzen und Wurzeln Logarithmen Beträge Reelle Seite 67 Beispiel.8 Beträge reeller Zahlen Für x > 0 gilt log (8x ) = log 8 + log x = + log x Umrechnen in eine andere Basis: ( 100 ) lg x = lg 100 lg x = lg x Potenzen und Wurzeln Logarithmen Beträge Reelle Definition.10 Unter dem Betrag einer reellen Zahl a versteht man geometrisch den Abstand von a zum Ursprung (Nullpunkt) auf der reellen Zahlengeraden, d. h. { a falls a 0 a = a falls a < 0 Potenzen und Wurzeln Logarithmen Beträge Reelle log 100 = lg 100 lg = lg Seite 66 Seite 68

18 Beispiel.11 = = 0 = 0 { x falls x 0 x = (x ) falls x < 0 { x falls x Potenzen und Wurzeln Logarithmen Beträge Reelle Beispiel.1 Abstand zwischen und 8: 8 = 6 = 6 Abstand zwischen und 10: 10 = 1 = 1 Abstand zwischen 7 und : 7 ( ) = = Potenzen und Wurzeln Logarithmen Beträge Reelle x = x falls x < Seite 69 Seite 71 Sind x 1 und x zwei beliebige reelle Zahlen, so ist der Abstand von x 1 und x auf der Zahlengeraden Somit gibt x 1 x falls x 1 x, d. h. x 1 x 0 x x 1 falls x > x 1, d. h. x 1 x < 0. { x1 x falls x 1 x x x 1 = x 1 x = (x 1 x ) falls x 1 < x Potenzen und Wurzeln Logarithmen Beträge Reelle der Form Exponentialgleichungen Gleichungssysteme Reelle den Abstand zwischen x 1 und x auf der Zahlengeraden an. Seite 70 Seite 7

19 Lösen von In nahezu allen Anwendungen der müssen gelöst werden. Insbesondere ist es wichtig, auch mit umgehen zu können, in denen nicht nur die Variable x, sondern auch andere Namen und mehrere Variable vorkommen. Bei jeder Umformung einer Gleichung muss man im Klaren darüber sein, ob es sich um eine Äquivalenzumformung handelt. Beispiel.1 (fort.) 6 p = 6 p = kürzen Zu aller erst muss man jedoch überprüfen, für welche Werte eine Gleichung überhaupt zulässig ist, d. h. es muss die Definitonsmenge D der Gleichung bestimmt werden. Wenn keine weiteren Einschränkungen vorgegeben sind, nehmen wir als Grundmenge die reellen Zahlen an. Reelle Lösungsmenge: L = { 1 11 } p = 1 11 Reelle Seite 7 Seite 7 Beispiel.1 Beispiel. Für welche Werte von p gilt die Gleichung Für welche Werte von x gilt die Gleichung 6p 1 (p ) = (1 p) 7 (p + )? 6 Definitionsmenge der Gleichung: D = R Lösen der Gleichung: 6p 1 (p ) = (1 p) 7 (p + ) 6 ausmultiplizieren zusammenfassen 6p p + = p 7 6 p 7 p + = 6 p + 6 p Reelle Seite 7 x + x 9 x (x + ) = x + + 1? Definitionsmenge der Gleichung: D = R \ {0, } (da Division durch Null nicht erlaubt) Lösen der Gleichung: x + x 9 = x (x + ) x x (x + ) x + x 9 = x + x + x x 0 x x x + 9 Reelle Seite 76

20 Beispiel. (fort.) x = 9 x 0 x (x = x = ) x 0 x x = Lösungsmenge: L = {} Reelle Beispiel. (fort.) Grundmenge: N Definitionsmenge der Gleichung: D = N Lösen der Gleichung: 68B ( B ) = 700 B = 6700 B = : Reelle Der gewünschte Gewinn wird also erreicht, wenn 100 Bücher produziert und verkauft werden. Seite 77 Seite 79 Gesucht sind die Lösungen der n Gleichung Beispiel. a x + b x + c = 0 mit a 0. Ein Unternehmen stellt bücher für Wirtschaftswissenschaftler her. Die Produktion kostet pro Buch e. Außerdem hat das Unternehmen Fixkosten von e Jedes Buch wird für e68 verkauft. Wie viele Bücher müssen verkauft werden, um einen Gewinn von e700 zu erzielen? Wir bezeichnen mit B die Anzahl produzierter und verkaufter Bücher. Dann betragen die Gesamtkosten in e: B , die Einnahmen in e: 68 B. Es soll also 68 B ( B ) = 700 gelten. Reelle Seite 78 Mit den Abkürzungen p = b a und q = c a x + p x + q = 0 ist dies äquivalent zu der n Gleichung in Normalform. Mittels r Ergänzung erhalten wir: x + p x + q = 0 Ergänzung ( x + p ) ( p ) ( + p ) + q = 0 q ( x + p ) ( p ) = q Reelle Seite 80

21 Es können nun verschiedene Fälle eintreten. 1. Fall: ( p ) q < 0 Dann hat die Gleichung keine Lösung, da das Quadrat auf der linken Seite stets nicht-negativ ist: L = { }.. Fall: ( p ) q = 0. Dann ist ( x + p ) = 0 x + p = 0 Definition. (Diskriminante) Der Term ( p ) q heißt Diskriminante der n Gleichung x + p x + q = 0. Am Vorzeichen der Diskriminante kann man die Lösbarkeit der n Gleichung ablesen: ( p ) q < 0 keine Lösung x = p Reelle ( p ) q = 0 eine (doppelte) Lösung Reelle Die Gleichung hat also eine (doppelte) Lösung, d. h. die Lösungsmenge L = { p }. Seite 81 ( p ) q > 0 zwei verschiedene Lösungen Seite 8. Fall: ( p ) q > 0. Dann ist ( x + p ) ( p ) = q x + p = ± (p ) q x = p ± (p ) q Die Gleichung hat also zwei verschiedene Lösungen, wenn ( p ) q > 0, d. h. die Lösungsmenge L = { p (p ) + p q, (p ) q }. Reelle Beispiel. Gesucht ist die Lösungsmenge der Gleichung: x x + = 0. Für die Diskriminante gilt ( ) = 1 > 0; es gibt also zwei verschiedene reelle Lösungen. x x + = 0 x = ± ( ) x = ± 1 x = x = 1 = L = {1, } Reelle Seite 8 Seite 8

22 Beispiel.6 Gesucht ist die Lösungsmenge der Gleichung: x x + = 0. Für die Diskriminante gilt ( 1 ) = 7 < 0; es gibt also keine reelle Lösung. Somit: L = { } Reelle Beispiel.7 Bestimmen Sie, falls möglich, die Zerlegung von x + 1 x in Linearfaktoren. Wir berechnen dazu die Lösungen der Gleichung x + 1 x = 0 Für die Diskriminante gilt ( 1 1 ) + 1 = 1 > 0; es gibt also zwei verschiedene reelle Lösungen. Reelle Seite 8 Seite 87 Faktorisierung Beispiel.7 (fort.) Hat man, falls vorhanden, die reellen Lösungen einer n Gleichung bestimmt, so kann man den n Term faktorisieren, d. h. den Term in Linearfaktoren zerlegen. Sind x 1 und x Lösungen der n Gleichung x + p x + q = 0, so gilt: x + p x + q = (x x 1 )(x x ). Reelle x x 1 = 0 x = 1 1 ± ( 1 1 x = 1 1 ± 7 1 x = 1 x = { } 1 = L =, ) + 1 Reelle Seite 86 Der Term lässt sich also in Linearfaktoren zerlegen: x + 1 x ( = x 1 )( x + ) Seite 88

23 Spezialfälle r Ist in einer n Gleichung c = 0, so lässt sich ax + bx = 0 einfacher durch Ausklammern lösen. Merke: Die Gleichung darf nicht durch x dividiert werden. Die Lösung x = 0 würde sonst verloren gehen. Beispiel.9 Gesucht sind die Lösungen der Gleichung x 1x + 9 = 0. Beispiel.8 Gesucht sind die Lösungen der Gleichung x + x = 0. x + x = 0 x (x + ) = 0 x = 0 x + = 0 Reelle x 1x + 9 = 0 (x ) = 0 x = 0 x = { = L = } Reelle x = 0 x = { = L = 0, } Seite 89 Seite 91 Spezialfälle r der Form Beispiel.10 Einige lassen sich auch einfach durch Anwendung einer binomischen Formel lösen. (a + b) = a + ab + b (a b) = a ab + b (a b)(a + b) = a b Reelle a) x = 16 x = ± 16 x = x = = L = {, } b) x 6 = 6 ist in R nicht lösbar, da bei einem geraden Exponenten die Potenz nicht negativ werden kann. = L = { } Reelle Seite 90 c) x = 6 x = 6 x = = L = { } Seite 9

24 der Form Allgemein gilt für die Lösungsmenge einer Gleichung der Form mit a R und n N: n gerade und a > 0 : L = { n a, n a} n gerade und a = 0 : L = {0} n gerade und a < 0 : L = { } n ungerade und a > 0 : L = { n a} n ungerade und a = 0 : L = {0} n ungerade und a < 0 : L = { n a} Reelle Beispiel.11 Gesucht sind die Lösungen der Gleichung x = x =. { x falls x x falls x < Reelle Seite 9 Seite 9 Beispiel.11 (fort.) 1. Fall: x.. Fall: x <. Beim Lösen von ist es wichtig, genau auf die nötigen Fallunterscheidungen zu achten. Für jeden einzelnen Betrag muss dazu überlegt werden, für welche Werte der Variablen das Argument des Betrags positiv oder negativ ist. x = x = x = 7 x = 7 = L 1 = { 7 } x = x = x = x = 1 = L = { 1} Reelle Seite 9 Die Lösungsmenge von x = ergibt sich nun als Vereinigungsmenge von L 1 und L, d. h. { L = L 1 L = 1, 7 }. Reelle Seite 96

25 Beispiel.1 Beispiel.1 (fort.) Gesucht sind die Lösungen der Gleichung x = x = x = x. { x falls x x falls x < { x falls x x falls x < Damit müssen drei Fälle betrachtet werden: x <, x < und x. Reelle Seite 97. Fall: x <. Dann gilt x = x x = x = x x = = L = { } Die Lösungsmenge von x = x ergibt sich wieder als Vereinigungsmenge der einzelnen Lösungsmengen, d. h. { L = L 1 L L =, 7 }. Reelle Seite 99 Beispiel.1 (fort.) 1. Fall: x. Dann gilt x = x x = x x = x =. Fall: x <. Dann gilt x = x x = x x = 7 x = 7 = L 1 = { } { 7 = L = } Reelle Seite 98 Bemerkung.1 Zur Lösung von muss jeder Betrag mittels Fallunterscheidung aufgelöst werden. Damit erhält man für jeden dieser Fälle eine Gleichung, die auf einem Intervall gültig ist. Eine Lösung einer solchen Teilintervall-Gleichung ist jedoch nur dann Lösung der Betragsgleichung, wenn sie innerhalb des zugehörigen Intervalls liegt. Reelle Seite 100

26 Exponentialgleichungen Beispiel.1 Die Lösung einer einfachen Exponentialgleichung x = a x = b mit a, b > 0, a 1 erhält man durch Anwenden des Logarithmus zur Basis a als x = log a b, da log a a x = x log a a = x. Reelle x = log = L = {log } Will man mit dem Taschenrechner einen Näherungswert für die Lösung berechnen, so muss man log in einen Quotienten aus Logarithmen zur Basis 10 oder e umwandeln, d. h. Reelle Seite 101 log = lg lg = ln ln 1.8. Seite 10 Einfache lineare Gleichungssysteme I Beispiel.1 Beispiel.16 1 x = 1 x = log 1 1 x = log 1 1 x = = L = { } Reelle In dem folgenden (einfachen) Modell bezeichne Y das Bruttoinlandsprodukt (BIP), C den Konsum und I 0 die fest vorgegebene Gesamtinvestition jeweils in Geldeinheiten. Das Modell besteht nun in der Annahme, dass das BIP die Summe aus Konsum und Gesamtinvestition ist, und dass der Konsum eine lineare Funktion des BIP ist, Y =C + I 0 C =a + by Reelle Seite 10 mit festen Parametern a > 0 und 0 < b < 1. Es stellt sich nun die Frage, ob dieses Gleichungssystem lösbar ist und was gegebenenfalls die Lösung ist. Seite 10

27 Einfache lineare Gleichungssysteme II Will man das Problem für verschiedene Parameterwerte behandeln, ist es ziemlich unpraktisch, für alle diese Parameterwerte das Gleichungssystem neu zu lösen. Sinnvoller ist es, im Falle der Lösbarkeit, die Lösungen für Y und C in Abhängigkeit von den Parametern zu bestimmen. Versuchen Sie selbst zu verifizieren, dass Y = das Gleichungssystem a 1 b b I 0, C = b 1 b I 0 + a 1 b Reelle Dafür gibt es drei verschiedene Möglichkeiten: 1. Es gibt eine eindeutig bestimmte Lösung. (geometrisch: Die Geraden schneiden sich in einem Punkt.). Es gibt unendlich viele Lösungen. (geometrisch: Die Geraden sind gleich.). Es gibt keine Lösung. (geometrisch: Die Geraden sind parallel aber nicht gleich.) Reelle Y =C + I 0 C =a + by löst. Seite 10 Seite 107 Lösen linearer Gleichungssysteme mit zwei und Unbekannten Wir setzen zunächst voraus, dass alle Koeffizienten ungleich Null sind. (1) a a a 11 x 1 + a a 1 x = a b 1 Sei also (1) a 11 x 1 + a 1 x = b 1 () a 1 x 1 + a x = b Geometrisch sind dies die zweier Geraden im R. Wir suchen nun Wertepaare (x 1, x ), die beide erfüllen, d. h. geometrisch gemeinsame Punkte der beiden Geraden. Reelle () ( a 1 ) a 1 a 1 x 1 a 1 a x = a 1 b (I ) (a 11 a a 1 a 1 ) x 1 = a b 1 a 1 b (1) ( a 1 ) a 1 a 11 x 1 a 1 a 1 x = a 1 b 1 () a 11 a 11 a 1 x 1 + a 11 a x = a 11 b Reelle (II ) (a 11 a a 1 a 1 ) x = a 11 b a 1 b 1 Seite 106 Seite 108

28 1. (I ) und (II ) sind Bestimmungsgleichungen für x 1 und x. Man kann nachrechnen, dass (I ) und (II ) auch gültig sind, wenn Koeffizienten Null sind.. Der Wert D = a 11 a a 1 a 1 bestimmt Lösungsmöglichkeit des Gleichungssystems. Man bezeichnet ihn daher als Determinante..1 Ist D 0, so hat das lineare Gleichungssystem die eindeutige Lösung x 1 = a b 1 a 1 b a 11 a a 1 a 1, x = a 11b a 1 b 1 a 11 a a 1 a 1. Ist D = 0 und a b 1 a 1 b = 0 und a 11 b a 1 b 1 = 0, so hat das lineare Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.. Ist D = 0 und (a b 1 a 1 b 0 oder a 11 b a 1 b 1 0), so hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. Reelle Seite 109 Damit gilt: (I ) D x 1 = D x1 (II ) D x = D x und 1. D 0. Dann ist x 1 = Dx 1 D, x = Dx D, also {( Dx1 L = D, D )} x, D. D = 0 und D x1 = 0 und D x = 0. Dann wird aus (I ) und (II ) 0 = 0, also L = {(x 1, x ) : a 11 x 1 + a 1 x = b 1 }.. D = 0 und (D x1 0 oder D x 0). Dann ist (I ) oder (II ) nicht erfüllbar, also: L = { }, Reelle Seite 111 Bezeichnung.17 a 11 a 1 D = a 1 a = a 11a a 1 a 1 heißt Determinante zweiter Ordnung. Ebenso: b 1 a 1 D x1 = b a = b 1a b a 1 und a 11 b 1 D x = a 1 b = a 11b a 1 b 1 D x1 und D x erhält man aus D, indem man die 1. bzw.. Spalte durch die rechte Seite des Gleichungssystems (1) und () ersetzt. Reelle Seite 110 Beispiel.18 Es soll das lineare Gleichungssystem gelöst werden. x 1 x = 1 x 1 + x = Dazu berechnen wir die zugehörigen Determinanten. D = 1 = D x 1 = 1 = 9 D x = 1 = 1 Da D 0 ist, ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar und es gilt x 1 = D x 1 D =, x = D x D = 1. Die Lösungsmenge ist somit L = {(, 1)}.

29 Beispiel 6. lineare Reelle Gesucht sind alle x R, für die 1 x + > erfüllt ist. Definitionsmenge der Ungleichung: D = R 1 x + > 1 x > 8 x < 16 lineare Reelle Somit ist L = (, 16 ). Seite 11 Seite 11 Beispiel 6.1 Gesucht sind alle x R, für die x x erfüllt ist. Lösung durch Vorzeichendiagramme Vorzeichendiagramme Definitionsmenge der Ungleichung: D = R x x x 6 x lineare Reelle Für, deren linke Seite in Faktoren zerlegt ist und deren rechte Seite 0 ist, lassen sich die Lösungsmengen gut mit Hilfe von Vorzeichendiagrammen bestimmen. 1. Bestimme für jeden Faktor die Intervalle mit positivem bzw. negativem Vorzeichen. lineare Reelle Somit ist L = [, ).. Die Vorzeichen werden für die einzelnen Faktoren in ein Diagramm eingetragen.. Berechne die Vorzeichenverteilung des Gesamtproduktes. Seite 11 Seite 116

30 Beispiel 6. Beispiel 6. (fort.) Gesucht sind alle x R, für die (x )(x + ) < 0 gilt. Vorzeichendiagramm Vorzeichendiagramm x < x = < x < x = x > x 0 + x (x + )(x ) Für die Lösungsmenge der Ungleichung ergibt sich somit L = (, ) x x 0 + (x + 1)(x ) Für die Lösungsmenge der Ungleichung ergibt sich somit L = [ 1, ] lineare Reelle Seite 119 Beispiel 6. Gesucht sind alle x R, für die x x 0 gilt. Definitionsmenge der Ungleichung: D = R Hier müssen wir zunächst x x faktorisieren. x x = 0 x = 1 ± 1 + Also ist x x = (x + 1)(x ), d. h. x = 1 x = x x 0 (x + 1)(x ) 0 lineare Reelle Seite 118 Beispiel 6. Gesucht sind alle p R, für die p p 1 p gilt. Definitionsmenge der Ungleichung: D = R\{1} Wir formen die Ungleichung zunächst äquivalent um. p p 1 p p p 1 + p 0 p + (p )(p 1) p 1 p p p 1 0 p(p ) 0 p 1 0 lineare Reelle Seite 10

31 Beispiel 6. (fort.) Vorzeichendiagramm Beispiel 6.6 p < 0 p = 0 0 < p < 1 p = 1 1 < p < p = p < p p 0 + p p(p ) p 1 0 +! 0 + Das Symbol! im Diagramm soll andeuten, dass der Wert nicht zur Definitionsmenge gehört. Für die Lösungsmenge der Ungleichung ergibt sich somit L = [0, 1) [, ). lineare Reelle Seite 11 Gesucht ist die Lösungsmenge der Ungleichung x 10 1 x. Da { x 10 falls x 10 x 10 = 10 x falls x < 10 müssen zwei Fälle betrachtet werden. lineare Reelle Seite 1 Beispiel 6.6 (fort.) 1. Fall: x 10. Dann gilt. Fall: x < 10. Dann gilt x 10 1 x x 10 1 x x 10 1 x x x Mehr noch als den muss man beim Lösen von darauf achten saubere Fallunterscheidungen zu verwenden. lineare Reelle Seite 1 1 x 10 x 0 Somit ist L 1 = [10, 0] 10 x 0 x Somit ist L = [ 0, 10) Die Lösungsmenge von x 10 1 x ergibt sich nun als Vereinigungsmenge von L 1 und L, d. h. [ 0 ] L = L 1 L =, 0. lineare Reelle Seite 1

32 Beispiel 6.7 Gesucht ist die Lösungsmenge der Ungleichung x + x 1 +. Beispiel 6.7 (fort.). Fall: x <. Dann gilt x + x 1 + x x x 7 { x + falls x Da x + = x falls x < { x 1 falls x 1 und x 1 = x + 1 falls x < 1 lineare Reelle Somit ist L = (, ) Die Lösungsmenge von x + x 1 + ergibt sich wieder als Vereinigungsmenge der einzelnen Lösungsmengen, d. h. ) L = L 1 L L = (, 1 ] [ 1,. lineare Reelle müssen drei Fälle betrachtet werden. Seite 1 Seite 17 Beispiel 6.7 (fort.) für 1. Fall: x 1. Dann gilt x + x 1 + x + x 1 + Somit ist L 1 = [1, ). Fall: x < 1. Dann gilt Somit ist L = [, 1 x + x 1 + x + x ] x 1 x 1 1 x lineare Reelle Seite 16 Für a, b, c, d R gilt: a > 0 b > 0 = a + b > 0 a > b a + c > b + c a > b c > d = a + c > b + d a > 0 b > 0 = ab > 0 a > 0 b < 0 = ab < 0 a > b c > 0 ac > bc a > b c < 0 ac < bc a > b c > d = ac > bd ab > 0 (a > 0 b > 0) (a < 0 b < 0) ab < 0 (a > 0 b < 0) (a < 0 b > 0) a > b b > c = a > c lineare Reelle Seite 18

33 für Reelle in einer Variablen Definition 7.1 Für a, b, R +, n N gilt: a < b a n < b n a < b a n > b n Sinngemäß gelten entsprechende Regeln, wenn man die < und >-Zeichen durch und -Zeichen ersetzt. lineare Reelle Seite 19 Eine reelle Funktion f ist eine Zuordnung, die jedem Element aus einer Menge D f eindeutig eine reelle Zahl, den Funktionswert f (x ) zuordnet. D f heißt Definitionsbereich von f, die Menge aller möglichen Funktionswerte W f heißt Wertebereich von f. Bezeichnung 7. Ist f eine Funktion, so bezeichnen wir häufig den Wert von f an einer Stelle x mit y = f (x ). x heißt dann unabhängige Variable oder Argument von f, y heißt abhängige Variable. Reelle Seite 11 Reelle in einer Variablen Funktionsdefinition Reelle in einer Variablen Reelle können auf unterschiedliche Weise gegeben sein, z. B. durch Angabe einer Formel (des Funktionsterms), einer Wertetabelle oder Grafik. Ist eine Funktion durch eine Formel gegeben, so besteht der Definitionsbereich aus allen Werten, für die die Formel einen eindeutigen Wert ergibt, es sei denn, ein anderer (kleinerer) Definitionsbereich ist explizit angegeben. Reelle Seite 10 Seite 1

34 Beispiel 7. Es sei 1 f (x ) = x + x 1 Zur Bestimmung des Definitionsbereiches müssen wir feststellen, für welche Werte von x der Nenner Null wird. Es gilt x + x 1 = 0 x = 1 ±. Also ist D f = R \ { 1 +, 1 }. Beispiel 7. Es sei g(x ) = x Reelle Häufig werden in den Wirtschaftswissenschaften als einfache Modelle lineare Modelle verwendet. Eine Funktion f : x y f (x ) = a x + b mit reellen Konstanten a und b, heißt lineare Funktion. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade mit der Steigung a und dem y-achsenabschnitt b. Reelle Da die Wurzel nur für nicht-negative Zahlen definiert ist, gilt D g = (, ]. Seite 1 Seite 1 Eindeutigkeit Wichtig an der Definition einer Funktion ist die Eindeutigkeit der Zuordnung. Nicht jede Gleichung mit zwei Variablen ist eine Funktion. Die Gleichung x + y = beschreibt einen Kreis um den Koordinatenursprung mit Radius. Die Kreisgleichung ist keine Funktionsgleichung, da zu jedem x (, ) zwei Werte y = ± x gehören, die Zuordnung ist also nicht eindeutig. Grafisch bedeutet die Eindeutigkeit der Zuordnung, dass jede Parallele zur y-achse den Funktionsgraphen höchstens einmal schneiden darf. Reelle Seite 1 Beispiel 7. Die geschätzte jährliche Nachfrage für Reis in Indien im Zeitraum betrug q = 0.1 p + 0.1, wobei p den Preis und q den Konsum pro Person bezeichnet. Bei steigendem Preis nimmt die Nachfrage ab q(p) Abbildung : s Modell für die Abhängigkeit der Nachfrage vom Preis p An diesem Beispiel kann man auch sehen, dass Modelle (häufig) nur in bestimmten Bereichen verwertbar sind. Da negativer Konsum nicht möglich ist, ist das Modell sicher nicht brauchbar für 0.1p < 0, d. h. p > = 1 1. Reelle Seite 16

35 Beispiel 7.6 Ein einfaches Modell einer Kostenfunktion ist die Darstellung der Gesamtkosten als Summe der Fixkosten und der als proportional zur produzierten Menge x angenommenen variablen Kosten, z. B. C (x) 10 C (x ) = 0.x x 1 Abbildung : Kostenfunktion Steigt die Produktion um eine Einheit, so steigen die Kosten um 0. Einheiten. Reelle Seite 17 Zwei-Punkte-Formel einer Geraden Die Gleichung einer Geraden durch die Punkte (x 1, y 1 ) und (x, y ) mit x 1 x ist gegeben durch y = y y 1 x x 1 } {{ } Steigung x + y 1 y y 1 x x 1 x 1 } {{ } y-achsenabschnitt Parallelen zur y-achse sind keine Funktionsgraphen. Die zugehörigen Geradengleichungen lassen sich aber in der Form x = c mit einer Konstanten c angeben. Reelle Seite 19 Punkt-Steigungs-Formel einer Geraden Die Gleichung einer Geraden mit der Steigung a durch den Punkt (x 1, y 1 ) ist gegeben durch y = a x + (y 1 a x 1 ) } {{ } y-achsenabschnitt Reelle In vielen Modellen werden verwendet, die zunächst auf einen Minimalwert fallen und dann ansteigen oder erst auf einen Maximalwert ansteigen und dann fallen. Einfache mit diesen Eigenschaften sind f (x ) = ax + bx + c mit Konstanten a, b, c, und a 0. Der Graph der Funktion ist eine Parabel. Sie ist nach oben geöffnet, wenn a > 0 und nach unten geöffnet, wenn a < 0 ist. Zur Bestimmung der Nullstellen (Schnittpunkte mit der x -Achse) ist die Gleichung ax + bx + c = 0 Reelle Seite 18 zu lösen (vgl. Kapitel ). Eine Funktion besitzt am sogenannten Scheitelpunkt ein Minimum falls a > 0 und ein Maximum falls a < 0. Seite 10

36 Beispiel 7.7 (Bestimmung des Minimums) Bestimmung der Scheitelpunktform Es sei f (x ) = x x +. Der Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel. Somit besitzt die Funktion ein Minimum. Wir bringen die Funktionsgleichung mittels r Ergänzung auf eine andere Form. f (x ) = x x + = (x x + 1) + = (x 1) + An dieser Darstellung (Scheitelpunktform) lässt sich nun ablesen, dass die Funktion an der Stelle x = 1 ein Minimum besitzt mit f (1) =. Der Scheitelpunkt ist S(1, ). Reelle Seite 11 f (x ) = ax + bx + c ( = a x + b ( b a x + a ( = a x + b a ) + c b a Da ( x + b ) a 0 für alle x R und a, c und b a Für a > 0 hat die Funktion an der Stelle x = b a f ( b a ) = c b a. Für a < 0 hat die Funktion an der Stelle x = b a f ( b a ) = c b a. Der Scheitelpunkt ist S( b a, c b a ). ) ) b a + c konstant sind, gilt: ein Minimum ein Maximum Reelle Seite 1 Beispiel 7.7 (fort.) f (x) Reelle Beispiel 7.8 Wir bestimmen das Maximum von f (x ) = x + 8x + 0. Es gilt: f (x ) = (x x + ) = (x ) + 8 f (x ) besitzt also an der Stelle x = ein Maximum f () = 8. Reelle 1 x 1 6 Seite 1 Seite 1 Abbildung : Funktion f (x) = x x +, Minimum bei (1, )

37 Beispiel 7.8 (fort.) f (x) x 1 6 Reelle Beispiel 7.9 (fort.) Wir bestimmen den Wert von Q, der den Gewinn maximiert und berechnen den maximalen Gewinn. Umformen in die Scheitelpunktform liefert G(Q) =.(Q 0) Der Gewinn wird also maximal für Q = 0 mit einem Gewinn von G(0) = Reelle Abbildung : Funktion f (x) = x + 8x + 0, Maximum bei (, 8) Seite 1 Seite 16 Beispiel 7.9 Beispiel 7.9 (fort.) Ein Unternehmen hat für die Herstellung und den Verkauf von Q Einheiten seines Produktes Gesamtkosten von 1000 G(Q) C = Q + 0. Q. Der Preis pro Einheit ist beim Verkauf von Q Einheiten 70 Der Gesamterlös ist somit P = 10 Q. R = PQ = (10 Q)Q Reelle 00 0 Reelle und der Gesamtgewinn (in Abhängigkeit von Q) G(Q) = R C = (10 Q)Q (Q + 0. Q ). Seite Q Abbildung : Gesamtgewinn G(Q) = R C = (10 Q)Q (Q + 0. Q ), Maximum bei (0, 1000) Seite 17

38 Normalparabel y = x y y = 1 x y = x Die einfachste Funktion ordnet jeder reellen Zahl x ihre Quadratzahl x zu, d. h. f : R R +, f : x x. Der Graph ist die nach oben geöffnete Normalparabel, S(0, 0) der Scheitelpunkt. Die Normalparabel ist symmetrisch zur y-achse, d. h. x und x besitzen denselben Funktionswert. Reelle y = 1 x x 1 y = 1 x Reelle Seite 18 y = x 6 y = x y = 1 x Seite 10 Streckung bzw. Stauchung der Normalparabel Wir betrachten nun etwas allgemeinere der Form g : R W g, g : x a x mit einem Faktor a 0. Dabei ist der Wertebereich { R+ falls a > 0 W g = R falls a < 0, und der Scheitelpunkt ist unverändert S(0, 0). Für a > 1 ist die Parabel enger, für a < 1 weiter als die Normalparabel. Ist a < 0, so ist der Graph zusätzlich an der x -Achse gespiegelt. Reelle Verschieben der Normalparabel Verschiebt man die Normalparabel um y 0 in y-richtung, dann lautet der Funktionsterm der verschobenen Parabel g(x ) = x + y 0 mit Wertebereich W g = [y 0, ) und Scheitelpunkt S(0, y 0 ). Für y 0 > 0 wir die Parabel nach oben, für y 0 < 0 nach unten verschoben. y 1 y = x + y = x + 1 y = x y = x 1 Reelle Seite x 1 Seite 11

39 Verschiebt man die Normalparabel um x 0 in x -Richtung, dann ergibt sich der Funktionsterm der verschobenen Parabel durch Ersetzen von x durch x x 0, d. h. g(x ) = (x x 0 ) mit Wertebereich W g = [0, ) und Scheitelpunkt S(x 0, 0). Für x 0 > 0 wir die Parabel nach rechts, für x 0 < 0 nach links verschoben. y 1 y = (x ) y = (x 1) y = x y = (x + 1) Reelle Bemerkung 7.10 Man kann auch den Graphen jeder beliebigen anderen Funktion strecken bzw. stauchen, an der x -Achse spiegeln und verschieben. Streckung bzw. Stauchung mit dem Faktor a, Spiegelung an der x -Achse, falls a < 0 entspricht der Multiplikation des Funktionsterms mit dem Faktor a. Verschiebung um y 0 in y-richtung entspricht der Addition der Konstanten y 0 zum Funktionsterm. Verschiebung um x 0 in x -Richtung entspricht dem Ersetzen von x durch x x 0 im Funktionsterm. Reelle Seite 1 Seite 1 1 x 1 Eine Kombination von Stauchung bzw. Streckung, Verschiebung um y 0 in y-richtung und Verschiebung um x 0 in x -Richtung liefert allgemein f (x ) = a(x x 0 ) + y 0 (Scheitelpunktform). Durch Ausmultiplizieren und Umbenennen der Parameter erhält man f (x ) = ax + bx + c (allgemeine Parabelform). Hat die Parabel an den Stellen x 1 und x Schnittpunkte mit der x -Achse, so lässt sich der zugehörige Funktionsterm auch in der Form angeben. f (x ) = a(x x 1 )(x x ) (Nullstellenform) Reelle und sind Spezialfälle einer allgemeineren Klasse von, den n. Definition 7.11 Eine Funktion P : R R mit P(x ) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 mit Konstanten a n, a n 1,..., a 1, a 0 R, a n 0 heißt Polynom vom Grad n. Die Konstanten a n, a n 1,..., a 1, a 0 heißen Koeffizienten, a n Leitkoeffizient oder führender Koeffizient. Weiter definiert man P(x ) = 0 als das Nullpolynom. Reelle Seite 1 Seite 1

40 Beispiel 7.1 Beispiel 7.1 Kostenfunktionen werden häufig durch kubische dargestellt, d. h. P(x ) = 0.x + x 1 ist ein Polynom vom Grad mit den Koeffizienten a 0 = 1, a 1 =, a = 0, a = 0.. P(x ) = x 7 +x +x 1 ist ein Polynom vom Grad 7 mit den Koeffizienten a 0 = a = a = a = a 6 = 0 und a 1 = a = a 7 = 1 1. f (x ) = x + x + ist kein Polynom. Reelle C (Q) = aq + bq + cq + d, mit a > 0, b < 0, c > 0, d > 0. C (Q) stellt die anfallenden Kosten für die Herstellung von Q Einheiten eines Produktes dar. Das Absolutglied stellt die Fixkosten dar. Wenn die Produktion steigt, steigen die Kosten zunächst schnell Dann wird die Steigerungsrate bei den Kosten langsamer, da die Produktionseinrichtungen besser ausgenutzt werden können. Reelle Seite 16 Wird noch mehr produziert, steigen die Kosten wieder schneller, da z. B. Überstundenzuschläge bezahlt und neue Anlagen gebaut werden müssen etc. Seite 18 Nullstellen von n Beispiel 7.1 (fort.) In vielen Problemstellungen ist es wichtig, etwas über die Anzahl und die Lage der Nullstellen, d. h. die Lösungen der Gleichung P(x ) = 0 zu wissen. Ein Polynom n-ten Grades besitzt höchstens n reelle Nullstellen. Hat man eine Nullstelle x 1 von P(x ) gefunden, so lässt sich P(x ) auch schreiben als P(x ) = (x x 1 )P n 1 (x ) mit dem Linearfaktor (x x 1 ) und einem Polynom P n 1 (x ), das einen Grad niedriger ist als P(x ). Reelle y Q 0.01Q + 0.8Q + 10 Reelle Mit P n 1 (x ) kann man wieder genauso verfahren. Seite x Seite 19