Quadratische Funktionen (Parabeln)

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1 Quadratische Funktionen (Parabeln) Aufgabe: Gegeben ist die quadratische Funktion = () x. Berechne mit Hilfe einer Wertetabelle die Funktionswerte von bis + im Abstand 0,. Zeichne anschließend die Punkte in ein Koordinatensstem ein. x - -, - -, - -0, 0 0,,, 9 6,6, 0, 0 0,, 6, 9 Spiegelpunkt Beispiel für eine solche Funktion: Seitenlänge eines Quadrats Flächeninhalt des Quadrats Smmetrieachse O - Scheitelpunkt (S) Merke:.) Eine quadratische Funktion heißt Parabel..) Die quadratische Funktion = x bezeichnet man als Normalparabel..) Die Parabel ist eine Kurve mit einer Smmetrieachse..) Den tiefsten Punkt der Parabel bezeichnet man als den Scheitelpunkt (S) der Parabel..) Die Parabel = x fällt im. Bereich bis zum Scheitelpunkt und steigt im. Bereich wieder an. Seite von

2 Die Funktion = ax Aufgabe: Zeichne mit Hilfe einer Wertetabelle folgende Funktionen mit unterschiedlichen Farben in ein Koordinatensstem ein: = x ; = x ; = x ; = x ; = x Überlege: Welche Auswirkungen hat der Faktor a auf den Verlauf der Parabel? x - -, - -, - -0, 0 0,,, 8, 8, 0, 0 0,, 8, 8,,, 0, 0, 0 0, 0,,,, -9-6, - -, - -0, 0-0, - -, - -6, , -8 -, - -0, 0-0, - -, -8 -, -8 -, -, - -, -0, -0, 0-0, -0, -, - -, -, O Seite von

3 Eigene Erklärung: Wenn man die Vorzahl von x bei einer quadratischen Funktion vergrößert, verläuft die Parabel steiler nach oben bzw. nach unten, als wenn man sie verkleinert. Dann wird sie flacher. Merke:.) Die quadratische Funktion = a x nennt man Parabel mit dem Scheitelpunkt S(0/0)..) Steht vor dem x ein negativer Faktor a, dann ist die Parabel nach unten geöffnet Spiegelung an der x-achse bei einem positiven Faktor a nach oben geöffnet..) Für a > 0 gilt: Bei a > verläuft die Funktion steiler, sie ist enger geöffnet als die Normalparabel = x. Beispiele für a > : = x ; = 7 x Bei 0 < a < verläuft die Funktion flacher, sie ist weiter geöffnet als die Normalform = x. Beispiele für 0 < a < : = x ; = x x.) Für a < 0 gilt: Bei a < (-) verläuft die Funktion steiler, sie ist enger geöffnet als die gespiegelte Normalparabel. Beispiel für a < : = x ; = x Bei - < a <0 verläuft die Funktion flacher, sie ist weiter geöffnet als die gespiegelte Normalparab. Beispiel für < a < 0 : = x ; = x.) Bei a = 0 stellt die Funktion ( = 0) die x-achse dar. Bedeutung des Faktors a für die Öffnungsrichtung und die Öffnungsweite der Parabel Richtung: nach unten nach oben Weite: enger weiter weiter enger x-achse Aufgaben dazu: Zeichne folgende Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensstem ein: x ; x ; 0, x ;, x = = = = Lege dazu eine gemeinsame Wertetabelle für alle Funktionen an und berechne mindestens 0 Werte zu jeder Funktion. Weitere Fragestellungen zu der Parabel = a x : Seite von

4 .) Wie breit ist die Parabel = x 0 (0, 0 Einheiten (cm)) über ihrem Scheitelpunkt?.) Welche Höhe besitzt die Parabel = x (0, 0 Einheiten (cm)) rechts von ihrem Scheitelpunkt?.) Wie breit ist die Parabel = x 0 (0, 0 Einheiten (cm)) unter ihrem Scheitelpunkt?.) Welche Tiefe besitzt die Parabel = x (0, 0 Einheiten (cm)) links von ihrem Scheitelpunkt?.) Wie lang wäre eine Strecke, die vom Punkt P(6/0) senkrecht hoch bis zur Parabel = x verläuft? 6.) Wie breit ist die Parabel = x Meter über ihrem Scheitelpunkt bei einer Zentimetereinteilung? zu.) zu.) = x = x = x = x = x = x 0 = x 0 = x 0 = x = = 0 = = x 0 = x = x = = 00 =, = x,6 = x = x = 0 cm = 00 cm = 0 cm, = x,6 = x = x b =, b =, 6 b = b =,6 cm b = 6, cm b = 0 cm zu.) zu.) = 0,x = 0,x = 0,x = 0,x = 0,x = 0,x 0 = 0,x 0 = 0,x 0 = 0,x = 0, = 0, 0 = 0, 0 0 = x 00 = x 0 = x = 0, = 0, 00 = 0, 00 7,07 = x 0 = x,8 = x 7, 07 = x 0 = x, 8 = x = cm = 0 cm = 80 cm b = 7,07 b = 0 b =,8 b =, cm b = 0 cm b =,6 cm zu.) = x x = 6 = x = 00 = 6 00 = x = 6 00 = x = 8 cm, = x, = x b =, = 8, 8 cm Seite von

5 PARABELSCHABLONEN Bitte auf Pappe kleben und ausschneiden! = ± x = ± x = ± x = ± x Seite von

6 Parabeln, Brücken, Parabeln, Brücken....) Die Müngstener Brücke der Bahnstrecke zwischen Solingen und Remscheid hat einen parabelförmigen Bogen mit der Funktionsgleichung = x. 90 Berechne die Spannweite des Brückenbogens für eine Bogenhöhe von 69 Metern. Fertige dazu zuerst eine kleine Skizze der Brücke an!.) Von einer Hängebrücke ist die Gleichung des parabelförmigen Bogens mit Fertige eine Skizze der Brücke an! = x bekannt. 0 Berechne die Spannweite der Brücke, wenn die Höhe 90 Meter beträgt. Wie ändert sich die Spannweite bei einer Bogenhöhe von Metern?.) Für einige Brücken sind die Werte für h und w gegeben: Brookln-Bridge: w = 86 m ; h = 88 m Golden Gate Bridge: w = 80 m ; h = m Verrazano-Bridge: w = 98 m ; h = m Ermittle die Koordinaten der Punkte A und B und bestimme die Gleichung der Parabel für die einzelnen Brücken..) Bestimme die Parabelgleichung der dargestellten Brücke für h = m und w = 00 m und berechne die Länge der Stützen, wenn der Abstand 0 Meter beträgt..) In der Konstruktionszeichnung rechts ist der Hauptbogen einer Eisenbahnbrücke dargestellt. Bestimme mit den angegebenen Maßen die Parabelgleichung des Bogens. Rechne mit der gefundenen Gleichung und den übrigen Angaben nach, ob die Punkte auf der Parabel liegen. Seite 6 von

7 Parabeln, Brücken, Parabeln, Brücken (Lösungen).) = x = x = x 78,80 = x s = 78,80 = 7,60 m O - -.) = x 0 90 = x = x 0,9 = x bei m s = 6,97 m s = 0,9 = 07,8 m O -.) x = = ax x = 60 = ax = = a = = a 60 Brookln : a = 0, 009 a = 0, 000 = 0,009x Golden Gate : = 0,000x x = 69 = ax = = 69 Verrazano a = 0,0009 = 0,0009x.) x = 0 = ax x = 0 = 0,0 0 x = 0 = 0,0 0 = = a 0 a = 0,0 = h = m = h = m = 0,0x x = 0 h = 9 m x = 0 h = 6 m Seite 7 von

8 .) = ax 6 = a = = a x x = = 9 = 8 = 0,7 6 m 0,7 m =,6 m x 6 9-0,8 -, -,8 6 m 0,8 m =,6 richtig (wenn gerundet wurde) 6 m, m =, richtig 6 m,8 m =,6 richtig (wenn gerundet wurde) Seite 8 von

9 Die Parabel = a x + c Aufgabe: a.) Zeichne mit Hilfe einer Wertetabelle folgende Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensstem ein: = x + = x 6 b.) Notiere die Koordinaten des Scheitelpunktes (S) der Parabeln. c.) Berechne die Koordinaten der Nullstellen (N) der Parabeln. d.) Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte (T und T ) der beiden Parabeln x - -, - -, - -0, 0 0,,, -0, 0,87,87,,87,87,,87 0,87-0, 6, -, - -, -6 -, - -, 6, O Seite 9 von

10 zu b.) Scheitelpunkt von : S(0/) Scheitelpunkt von : S(0/-6) zu c.) = x + = x 6 0 = x + 0 = x 6 = x 6 = x 8 = x = x 8 =,8 = x =,7 = x 8 =,8 = x =,7 = x N (,8 / 0) N (,7/0) N (,8 / 0) N (,7/0) zu d.) x x 6 + =,x = 0 x = x = = x = = T (/ ) T ( / ) MERKE: Die Funktion = ax + c ist eine Parabel, deren Scheitelpunkt (S) um den Wert c entlang der -Achse verschoben wurde. Die Öffnungsrichtung (nach oben oder unten) und der Verlauf der Parabel (steil oder flach) sind wieder abhängig vom Faktor a. Der Scheitelpunkt dieser Parabeln liegt immer bei S(0/c) Übungsaufgaben dazu: Gegeben sind die folgenden Funktionen: = x = x + a.) Gib die Koordinaten der Scheitelpunkte (S) der Parabeln an. b.) Zeichne sie mit Hilfe der Schablonen in ein gemeinsames Koordinatensstem ein. c.) Berechne die Nullstellen (N) der beiden Parabeln. d.) Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte (T und T ) der beiden Parabeln. zu a.) Scheitelpunkt : S(0/-) zu c.) Nullstellen : N (,8/0) ; N (-,8/0) Scheitelpunkt : S(0/) Nullstellen : N (,7/0) ; N (-,7/0) zu d.) Schnittpunkt und : T (/-) ; T (-/-) Parabeln der Form = ax² + c Seite 0 von

11 O 6 7 x ) Wie lauten die Funktionsgleichungen der hier gezeigten quadratischen Funktionen?.) Wie lauten die Koordinaten der Scheitelpunkte (S S )?.) Ergänze die Koordinaten der folgenden Punkte so, dass sie zu den angegebenen Funktionen gehören: P ( /?)auf ; P ( 8 /?)auf ; P ( /?)auf P (?/ 9)auf ; P (?/ )auf ; P (?/ 0)auf 6 P 7 (?/ 0)auf ; P (?/ )auf 8.) Berechne, wenn möglich, die Koordinaten der Nullstellen (N) der Parabeln..) Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte (P und P ) von mit sowie (P und P ) von mit Seite von

12 Parabeln der Form = ax² + c (Lösungen) zu.) = x + = x = x + 6 = x = x + zu.) S (0 /) S (0 / ) S (0 / 6) S (0 / ) S (0 / ) zu.) P ( / ) auf P ( 8 / 8) auf P (/ ) auf P ( 7 7/ 9) auf P ( 0 0 / ) auf P ( 8,9 8,9 / 0) auf 6 P ( 0,77 0,77 / 0) auf P ( n.l. / ) auf 7 8 zu.) = x + = x = x + 6 = x = x + keine N N (,8 / 0) N (,6 / 0) keine N N (,7 / 0) N (,8 / 0) N (,6 / 0) N (,7 / 0) zu.) mit : mit : x = x + 6 x = x +,x = x = x =, x = 6, 67 x =, =,8 x =,8 =,67 x =, =,8 x =,8 =,67 P (,/,8) P (,/,8) P (,8 /,67) P (,8 /,67) Seite von

13 Die Parabel = a (x - b) Aufgabe: Lege für die Parabel = (x + ) eine Wertetabelle von - bis an (Abstand ). a.) Wo liegt der Scheitelpunkt der Parabel? b.) Wie heißen die Nullstellen der Parabel? c.) Wo schneidet sie die -Achse? x , 0, 0 0,, 8, 8, zu a.) Scheitelpunkt: S(- / 0) zu b.) Nullstellen: N (- / 0) Scheitelpunkt (S) Nullstellen (N) zu c.) Berechnung des Schnittpunktes mit der -Achse = (x + ) x = 0 = (0 + ) = = Schnittpunkt -Achse (S) = (0 / ) O Seite von

14 Merke: Die Funktion = a (x - b) ist eine Parabel mit dem Scheitelpunkt S (-b /0). Die Öffnungsrichtung und die Öffnungsweite sind wieder abhängig vom Faktor a vor der Klammer. Aufgabe: Gegeben sind die quadratischen Funktionen: x 6 und (x ) = + = a.) Zeichne sie mit Hilfe der Parabelschablonen in ein gemeinsames Koordinatensstem ein. b.) Bestimme die Koordinaten ihrer Schnittpunkte (T und T). zu a.) O Seite von

15 zu b.) x x x + 6 = (x ) + 6 = (x 6x + 9) = x x = x x 0 = x x x x x / = ± = + = = = = T(,67 / 0,) T ( / ) = 9 = Aufgabe: Gegeben sind folgende Funktionen: = x = x + = (x + ) = x + a.) Zeichne die vier Funktionen mit unterschiedlichen Farben in ein gemeinsames Koordinatensstem ein. b.) Berechne die Koordinaten der Nullstellen (N) von und. c.) Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte von und und von und O - - Seite von

16 zu b.) = x + = x + = 0 = 0 0 = x + 0 = x + = x = x = x = x = x N ( / 0) N ( / 0) zu c.) = x N( / 0) = x + = x + = x = x + x + = x + x = ( x + ) x + x = 0 x = ( x + + 8x + 6) x x = 0 x = x + x + 8 x (x ) = 0 x = 0 x = 0 = x + x + 8 = =, S (0 / ) S (/, ) / / 0 = x + 6x + x = 8 ± 6 x = 8 ± x = 8 +,66 =, x = 8,66 =,66 =, 7 = 6,6 S (, /, 7) S (,66/ 6,6) ( ) Seite 6 von

17 Parabeln der Form = a (x - b)² O 6 7 x ) Wie lauten die Funktionsgleichungen der hier gezeigten quadratischen Funktionen:.) a.) Bestimme durch Rechnung die Schnittpunkte (S) der Parabeln - mit der -Achse. b.) Bestimme die Koordinaten der Scheitelpunkte (S) der Parabeln -. c.) Zeichne mit einer Farbe die Spiegelachsen der Parabeln ein. d.) Ergänze die Koordinaten der folgenden Punkte so, dass sie zu den angegebenen Funktionen gehören: P ( 7 /?) auf ; P ( /?) auf ; P (0 /?) auf ; P ( 9 /?) auf P (?/ 9) auf ; P (?/ ) auf 6 ; P (?/) auf 7 ; P (?/ 6) auf 8.) Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte von und sowie von und..) Welche Breite besitzt die Parabel cm oberhalb ihres Scheitelpunktes? Welche Breite besitzt die Parabel cm unterhalb ihres Scheitelpunktes? Welche Breite besitzt die Parabel 0 cm oberhalb ihres Scheitelpunktes? Welche Breite besitzt die Parabel 0 cm unterhalb ihres Scheitelpunktes? Seite 7 von

18 Parabeln der Form = a (x - b)² (Lösungen) zu.) (x ) (x ) (x ) (x ) (x ) = + = = + = + = zu.) zu a.) (x ) (x ) (x ) (x ) (x ) (0 ) (0 ) (0 ) ( = = =, = = 9 = + = = + = + = = + = = + = 0 + ) = (0 ) S(0 / ) S(0 / ) S(0 /,) S(0 / ) S( 0 / 9) zu b.) S ( / 0) S ( / 0) S ( / 0) S ( / 0) S ( / 0) zu c.) x = x = x = x = x = zu d.) P ( 7 / ) auf P ( /,) auf P (0 /,) auf P ( 9 / 8) auf P ( / 9) auf P ( n.l. / ) auf P ( n.l. /) auf P (,8 / 6) auf P ( / 9) auf P ( n. l. / ) auf P ( n.l. /) auf P (,8 / 6) auf zu.) = (x + ) = (x ) = (x + ) = (x ) (x + ) = (x ) (x + ) = (x ) x + x + = (x x + ) (x + 6x + 9) = (x 6x + 9) 9 x + x + = x x + x x = x + 6x 9 x + 6x + = 0 x 7 x + 6 = 0 x + x + = 0 x 0x + 9 = 0 x = 6 ± 6 x = ± 9 x / = 6 ±,66 x = ± / / x = 0, =,76 x = 9 = 6 x =,66 = 9, x = = / S ( 0, /,76) S (9 / 6) S (,66 / 9,) S (/ ) Seite 8 von

19 zu.) = (x + ) = (x + ) = (x ) = (x ) = (x + ) = (x + ) 0 = (x ) 0 = (x ) ±, = x + ± = x + ± 6, = x ± 7,07 = x x = 0,9 x = x = 8, x = 0,07 x =, x = 7 x =, x =,07 Breite : Breite : Breite : Breite : (,) ( 0,9) = ( 7) = 8, (,) = 0,07 (,07) =,8 E 8 E,6 E, E Seite 9 von

20 Beispiel: = (x ) + a b c Scheitelpunkt: ( -b / c) ( / ) Die Parabel = a ( x - b ) + c O Merke: Die Funktion = a (x - b) + c ist eine Parabel mit dem Scheitelpunkt S(-b/c). Die Öffnungsrichtung und Öffnungsweite werden wieder durch den Faktor a angegeben. Da man bei dieser Funktionsgleichung = a (x - b) + c sofort den Scheitelpunkt ablesen kann, nennt man sie Scheitelform der Parabel. Seite 0 von

21 Die Parabel = a (x - b)² + c O ) Wie lauten die Funktionsgleichungen der hier gezeigten quadratischen Funktionen:.) Benutze die Funktionsgleichungen, um folgende Aufgaben zu lösen: a.) Bestimme durch Rechnung die Schnittpunkte der Parabeln - mit der -Achse. b.) Bestimme die Koordinaten der Scheitelpunkte der Parabeln -. c.) Bestimme die Gleichungen der Spiegelachsen und zeichne sie ein. d.) Ergänze die Koordinaten der folgenden Punkte so, dass sie zu den angegebenen Funktionen gehören: P ( /?) auf ; P ( /?) auf ; P (?/ ) auf ; P (?/ ) auf e.) Wie breit ist die Parabel sieben Einheiten unter ihrem Scheitelpunkt? f.) Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte von und. g.) Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte von und. h.) Bestimme die möglichen Nullstellen der Parabeln. Seite von

22 Die Parabel = a (x - b)² + c (Lösungen) zu.) = 0, (x ) + = (x + ) = (x + ) + = (x ) = 0, (x + ) + zu.) a.) = 0, (0 ) + S (0 / ) = 0, S (0 / ) S (0 / 0,) S (0 / ) S (0 /,) zu.) b.) S ( / ) S ( / ) S ( / ) S (/ ) S ( /) zu.) c.) x = x = - x = - x = x = - zu.) d.) P (-/) auf P (/-,) auf P (/) oder P (/) auf P (,/) oder P (-,/) auf zu.) e.) zu.) f.) 7 x + x = = + = ± + 0, (x ) x/ 9 = + + = + = 0, (x 6x 9) x,7 6,7 = + + = = 0,x x, x,7 0,7 = + 0,x x 0, 0 0,x x, Breite : 6,7 ( 0,7) 7,8 cm = + + = 0 x 6x = x = 0,9 =,67 x =, 7 = T (0,9 /,67) T (,7 / ) zu.) g.) x x + = 0 x =,7 =, x = 0,9 = 0,9 T (,7 /,) T (0,9 / 0,9) zu.) h.) N (0,7/0) und (,8 / 0) N (0,8 / 0) und (,8 / 0) N ( 0,7 / 0) und (,7 / 0) N (,/ 0) und (0,9 / 0) N ( / 0) und ( / 0) Seite von

23 Zusammenfassung der Parabeleigenschaften Hier noch einmal ein Überblick über die Eigenschaften der bisher besprochenen Parabeln in tabellarischer Form: Funktion = x = ax = ax + c = a (x b) = a (x b + ) c Scheitelpunkt (S): (0/0) (0/0) (0/c) (-b/0) (-b/c) Schnittpunkt mit -Achse (S): (0/0) (0/0) (0/c) (0 / a b ) (0 / a b + c) Beispiel: = x = x = x = (x ) = (x ) Scheitelpunkt (S): (0/0) (0/0) (0/-) (/0) (/-) Schnittpunkt mit -Achse (S): (0/0) (0/0) (0/-) (0 / = ) (0 / = 9) Faktor a gibt Auskunft über die Form und Öffnungsrichtung der Parabel: engere oder weitere Öffnung als die Normalparabel = x ; nach oben oder nach unten geöffnet. Der Wert c gibt die Verschiebung des Scheitelpunktes der Parabel in -Richtung (nach oben oder nach unten) an. Der Wert b gibt die Verschiebung des Scheitelpunktes der Parabel in x-richtung (nach links oder nach rechts) an. Beispiel: Gegeben ist die Funktion = 0, ( x + ) + Scheitelpunkt: S(-/) S(-b/c) Öffnungsrichtung: nach unten (da a<0) Öffnungsweite: weiter als Normalparabel (da -<a<0) Um den Schnittpunkt der Parabel mit der -Achse zu bestimmen, setzt man x = 0 und berechnet den -Wert: Schnittpunkt mit der -Achse: = 0, (0 + ) + = 0, S(0/-0,) Um die Nullstellen der Parabel zu berechnen, setzt man = 0 und berechnet die beiden x-werte: 0 = 0, ( x + ) + 7 x 0,7 N ( 0,7 / 0) O 6 7x x, 8 N (,8 / 0) Seite von

24 Die Parabel = ax + dx + e Aufgabe: Gegeben ist die Parabel = x + x + a.) Berechne die Nullstellen (N, N ) der Parabel. b.) Berechne die Schnittstelle (S ) der Parabel mit der -Achse. c.) Zeichne die Punkte in ein Koordinatensstem ein. d.) Versuche, mit Hilfe einer Schablone und der Punkte die Parabel zu zeichnen. e.) Bestimme die Koordinaten des Scheitelpunktes (S) der Parabel aus der Zeichnung O zu a.) Berechnung der Nullstellen: = x + x + 0 = x + x + x = ± / x = +,7 = 0,7 x N ( 0,7 / 0) N (,7 / 0) =,7 =,7 Seite von

25 zu b.) Berechnung des Schnittpunktes mit der -Achse: = x + x = + + = S (0/ ) zu e.) Scheitelpunkt der Parabel: Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei S(-/-) Aufgabe: Gibt es eine Möglichkeit, den Scheitelpunkt aus der Gleichung = x + x + zu berechnen? Dazu müsste man die Gleichung bringen. = x + x + in die Form = a (x b) + c (Scheitelpunktform) = x + x + = x + x + + / = (x + x + ) = (x ) + S ( / ) quadratische Ergänzung! Merke: Die Funktion = ax + dx + e ist eine Parabel, deren Scheitelpunkt aus der Funktionsgleichung nicht direkt ablesbar ist. Um den Scheitelpunkt (S) bestimmen zu können, muss man sie in die Form = a (x b) + c (Scheitelpunktform) umformen. Dies geschieht mit Hilfe der quadratischen Ergänzung. Aufgabe: Gegeben ist die Funktion: f(x) = = x x + 8.) Berechne die Nullstellen (N ;N ) der Parabel..) Berechne den Schnittpunkt mit der -Achse (S)..) Berechne den Scheitelpunkt (S). zu.) = + = ± = + = + = = + = = x x 8 x/ 6 0 x x 8 x 8 N (8/0) 0 x 0x 6 x N ( / 0) Seite von

26 zu.) zu.) = = 8 = x x S (0/ 8) + 8 = + = + x x 8 / x 0x 6 = x 0x = (x 0x + ) 9 = (x ) = S(/,) (x ), 9 / : Aufgabe: Gegeben ist die Funktion: f(x) = = x + 6x,.) Berechne die Nullstellen (N ; N )..) Berechne den Schnittpunkt mit der -Achse (S)..) Berechne den Scheitelpunkt (S). zu.) = x + 6x, x/ =, ±,, = + = + =, 0 x 6x, x, 0 x N (,/0) = x +, x =, = 0, N ( 0, / 0) zu.) zu.) = x + 6x, 0 6 0, =, S (0/,) = + = x + 6x, / = + 0, x x, 0, x x,,, 0, (x x,) 0, = (x, = (x, S(,/ ) ) / ) + : ( ) = + + = + ( ) = ax + dx +e = a (x+b) + c Aufgabe: Gegeben sind folgende Funktionen: f(x) = = x 6x + g(x) = = x + 8x + h(x) = = x 9x +,.) Bestimme die Koordinaten des Scheitelpunktes (S) jeder Funktion..) Zeichne alle Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensstem ein..) Berechne die Koordinaten der Nullstellen (N, N ) der Funktionen..) Gib die Koordinaten der jeweiligen Schnittpunkte (S ) mit der -Achse an. Seite 6 von

27 zu.) = x 6x + = x 6x (x 6 = x + 9) = (x ) S( / ) = x + 8x + = x + 8x (x = + + = (x + ) S( / ) 8x 6) = x 9x +, = x 9x + 0, 0, +, (x 9x 0,) = + + (x,) = + S(, / ) zu.) O Seite 7 von

28 zu.) = x 6x + 0 = x 6x + x = ± 9 / x = + = x = = N ( / 0) N (/ 0) = x + 8x + 0 = x + 8x + x = ± 6 / x = + = x = = 6 N ( / 0) N ( 6 / 0) = x 9x +, 0 = x 9x +, x =, ± 0,, / x =, ± / nicht lösbar! keine Nullstellen! zu.) = x 6x = + = S (0 / ) = x + 8x = = S (0 /) = x 9x +, = =, S (0 /,), Aufgabe: Gegeben sind folgende Funktionen: h(x) = = x 6x + 9 s(x) = = x + x +.) Bestimme die Koordinaten des Scheitelpunktes (S) jeder Funktion..) Berechne die Koordinaten der Nullstellen (N, N ) der Funktion..) Gib die Koordinaten der jeweiligen Schnittpunkte (S ) mit der -Achse an. zu.) = x 6x + 9 / = + 0, x x 0, x x 9 0, (x x ) 8 0, = (x + ) + 8 / = (x + ) S( / ) : ( ) = = ( ) = 0,x + x + / = x 6x 6 = + x 6x = + (x 6x 9) = (x ) / = 0,(x ) + 7, S( / 7,) ( ) : ( ) zu.) = + = ± + x 6x 9 x/ = + = + 0 x 6x 9 x = N ( / 0) 0 x = + x x = = N ( / 0) = + + = ± + 0,x x x/ 9 6 = + + = + = 6, 87 N (6,87 / 0) 0 0,x x x,87 = = = 0,87 N ( 0,87 / 0) 0 x 6x 6 x,87 Seite 8 von

29 zu.) = x 6x + 9 = = 9 S (0 / 9) + 9 = 0,x + x + = 0, 0 0 = S (0 / ) + + Anwendungsaufgaben Aufgabe: Die Sprungparabel eines Flohs hat die Gleichung = -0,x + 0,x + 0,. (x in Dezimeter) zu a.) a.) Wie hoch springt der Floh? b.) Wie weit springt der Floh? = 0,x + 0,x + 0, = 0, (x x) + 0, = + +, + 0, 0, (x x ) 0 = 0, (x + ) 0,9 S( 9 /0, ) Sprunghöhe : 0,9 dm = 9 cm zu b.) = ,x 0 x x x = ± + / x = + = x = = = + 0,x 0, Sprungweite : dm ( dm) = 6 dm = 60 cm Seite 9 von

30 Parabeln (Abschluss).) Wie lauten die Funktionsgleichungen der hier gezeigten Funktionen: O 6 7 x ) Berechne die Koordinaten der Nullstellen von, und..) Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte von und sowie von und..) Ergänze die Koordinaten der folgenden Punkte so, dass sie zu den angegebenen Funktionen gehören: P (-/?) auf ; P (?/-) auf..) Überprüfe durch Rechnung: Liegt der Punkt T(/96) auf der Parabel? Anwendungsaufgaben: 6.) Christian wirft im Sportunterricht seinen Ball aus, m Höhe senkrecht nach oben. Mit der Gleichung h = t + 9t +, kann er näherungsweise die Maßzahl der Höhe berechnen, die der Ball nach einer bestimmten Zeit (in Sekunden) erreicht hat. a.) Wie hoch fliegt Christians Ball? b.) Wie viel Zeit bleibt ihm, um den Ball in m Höhe wieder aufzufangen? Seite 0 von

31 7.) Bei den Bundesjugendspielen wirft Heiko seinen Ball in der Form einer Parabel. Diese kann beschrieben werden mit der Funktionsgleichung = 0,0x + 0,6x +,. a.) Wie weit fliegt der Ball? b.) In welcher Entfernung von Heiko hat er den höchsten Punkt erreicht? c.) In welcher Höhe hat Heiko den Ball abgeworfen? 8.) Ein Springbrunnen besitzt zwei entgegen gesetzt gerichtete Wasserdüsen. Die Flugbahn des Wassers stellt eine Parabel dar. Die Wasserdüsen sind 0 cm über dem Wasser angebracht. Der Höhepunkt der Wasserflugbahn liegt, m hoch und 60 cm von der Brunnenmitte entfernt. Wie lautet die Funktionsgleichung der Flugbahn? 9.) Bob Beamon (USA) stellte bei den Olmpischen Spielen 968 in Mexiko-Cit einen neuen Fabelweltrekord im Weitsprung der Männer auf. Er übertraf dabei die bis dahin bestehende Bestmarke um sagenhafte cm. Die Flugbahn seines Körperschwerpunktes wird annähernd durch die Funktion: = 0,07x + 0,88x +, beschrieben. Welche Fragestellungen sind möglich? Versuche sie rechnerisch zu beantworten! Seite von

32 Parabeln (Abschluss) Lösungen zu.) = 0,x + = (x + ) = 0,x + = 0,(x ) = (x 6) + zu.) = 0,x + = 0,x + = 0,(x ) = (x 6) + 0 = 0,x + 0 = 0,x + 0 = 0,(x ) 0 = (x 6) + = 0,x = 0,x 0 = 0,(x 6x + 9) 0 = ( x x + 6) + 0 = x = x 0 = 0,x,x +, 0 = x + x 7 + x =,6 N( / 0) 0 = 0,x,x,7 0 = x + x 67 x =,6 0 = x 6x 7 0 = x x +, N (,6/0) N (,6/0) x = ± x = 6 ± 6, / / x = + = 7 x = 6 +,8 = 7,8 x = = x = 6,8 =, N (7/ 0) N (7,8 / 0) N ( / 0) N (,/ 0) zu.) und : und : / 0,x + = 0,x + 0,(x ) = (x 6) + 0,x + 0,x + = 0 0,(x 6x + 9) = (x x + 6) + x x 6 = 0 0,x,x +, = x + x 7 + x = 0, ± 0, + 6 0,x,x,7 = x + x 67 x = 0, +, =, x,x + 6, = 0 x = 0,, = x + x + 9 = 0 = 0, x/ = ± 9 9 = x = +,7 6 = 7, T ( / 0,) x =,7 6 =,9 T ( / ) = 0,9 =,79 T (7, / 0,9) T (,9/,79) Seite von

33 zu.) x = = = 7, = 0,x + = 0,(x ) = 0, + = 0,(x 6x + 9) P ( / 7,) / = 0,x, x +, = 0,x,x,7 0 = 0,x,x +, 0 = x 6x + x = ± 9 x = + = x = = P ( / ) P (/ ) zu.) x = ; = 96 = 0,(x ) 96 = 0,( ) 96 = 0, 0 96 = 0, = = 96 ( w) zu 6.) h = t + 9t +, a.) 0,h = t,8t 0,6 0,h = t,8t + 0,8 0,8 0,6 0,h = (t 0,9),07 h = (t 0,9) +, b.) h = t + 9t +, t = 0,9 ± 0,8+ 0,06 / = t + 9t +, t = 0,9 + 0,9 = 8, 0 = t + 9t + 0, t = 0,9 0,9 = 0 0 = t,8t 0,06 S(0,9/,) Christians Ball erreicht nach 0,9 Sekunden eine Höhe von, m. Christian bleibt,8 Sekunden Zeit, um den Ball in m Höhe wieder aufzufangen. Seite von

34 zu 7.) / a.) = 0,0x + 0,6x +, 0 = 0,0x + 0,6x +, 0 = x 0x 7 x = ± + 7 x = + 7, =, x = 7, =, b.) = 0,0x + 0,6x +, 0 = x 0x 7 0 = x 0x = (x ) 00 = 0,0(x ) + 6 N (,/0) N (,/0) S( / 6) w =, m +, m =,6 m Der Ball fliegt,6 m weit. In m Entfernung von Heiko erreicht er den höchsten Punkt von 6 m Höhe. zu c.) Heiko hat den Ball in einer Höhe von, m abgeworfen. zu 8.) x = 0 cm ; = 0 cm ; c = 0 cm ; b = 60 cm = (x 60) a =? = (x 0x + 600) = a(x b) + c = x + x = a(0 60) + 0 = x + x = a( 60) = 600a = 600a 90 = a 600 = a 0 = (x 60) Seite von

35 zu 9.) Fragestellung: Bei welcher Weite trifft sein KSP auf? 0,07x 0,88x, 0 0,07x 0,88x, 0 = x 6,7x 9,96 x =,607 ±,96 + 9,96 / x =,607 +,9 = 8,9 m Sprungweite KPS = + + = + + (x =,607,9 =, ) Fragestellung: Wie hoch war sein KSP an der höchsten Stelle des Sprungs, und bei welcher Weite passierte das? = 0,07x + 0,88x +, = 0,07(x 6,7x), = 0,07(x 6,7 = 0,0 + x +,96) + 0,69 +, 7(x,607),789 + S(,6/,78) Nach,6 m erreichte sein KSP eine Höhe von,78. Fragestellung: Bei welcher Sprungweite ist sein KSP,0 m hoch in der Luft? = 0,07x + 0,88x +,,0 = 0,07x + 0,88x +, 0 = 0,07x + 0,88x 0,6 0 = x 6,7x + 6,07 x =,607 ±,96 6,07 / x =,607 +,8 =,9 m (,9 m) x =,607,8 =,69 m (, m) Er befand sich also ca.,6 m weit über einer Höhe von,0 m. Fragestellung: Welche Höhe hatte sein KSP bei 6 m Sprungweite? = 0,07x + 0,88x +, = + +, 0,07 6 0,88 6 =,87 m, 9 m Sein KSP war bei einer Sprungweite von 6 m,9 m hoch. Sprungweite (x) Höhe KSP (),0 m,7 m,0 m,68 m,0 m,78 m,0 m,76 m,0 m,6 m 6,0 m,9 m 7,0 m,0 m 8,0 m 0,6 m Seite von

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