Luisenburg-Gymnasium Wunsiedel

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1 Luisenurg-Gymnasium Wunsiedel Grundwissen für das Fach Mathematik Jahrgangsstufe 0 KREIS und KUGEL Bogenlänge rπα = 80 Das Verhältnis r πα = 80 heißt Bogenmaß, ist nur vom Mittelpunktswinkel α ahängig und ist eine andere Möglichkeit, die Größe eines Winkels anzugeen. Gradmaß Bogenmaß 0 π π π π π 3π π Bei Winkeln üer 360 zw. π eginnen die Sinus- und Kosinuswerte von vorn. Kreissektorfläche A = r π Kreissegmentfläche A: 360 Sektorfläche minus Dreiecksfläche Dreieck ist gleichschenklig! α A 4 Kugelvolumen 3 VK = r π Kugeloerfläche O K = 4r π 3 3V 3 K O r = r = K 4π 4π SINUS und KOSINUS Im Einheitskreis (Radius ) gilt für den Mittelpunktswinkel α : Hochwert: y = sinα Rechtswert: = cosα Grundwissen Mathematik 0. Klasse, Luisenurg-Gymnasium Wunsiedel Seite von

2 Vergleich der Sinus- und Kosinuswerte in den anderen Quadranten z.b. für α = 30 : II. Quadrant: sin( ) = sin50 = sin 30 cos( ) = cos50 = cos 30 III. Quadrant: sin( ) = sin 0 = sin 30 cos( ) = cos 0 = cos30 IV. Quadrant: sin( ) = sin 330 = sin 30 cos( ) = cos 330 = cos30 Vorzeichen von Sinus und Kosinus: Sinus- und Kosinusfunktion im Bogenmaß (also ohne Benennung) statt im Gradmaß ACHTUNG: Taschenrechner auf RAD umstellen! Alle Werte wiederholen sich im Astand π (Periodenlänge) Grundwissen Mathematik 0. Klasse, Luisenurg-Gymnasium Wunsiedel Seite von

3 Veränderungen der Sinusfunktion y = a sin a ist die Amplitude (größte Aweichung in y-richtung von der Mittellage) und ewirkt also eine Streckung/Stauchung in y-richtung. hier: a = ; Amplitude hier: a = ; Amplitude y = sin() verändert die Periode von π auf π, ewirkt also eine Streckung/Stauchung in -Richtung. hier: = ; Periode π π hier: = ; Periode = π y = sin( - c) c ewirkt eine Verschieung in -Richtung hier: c = 0 hier: c = also um nach rechts! (Phasenverschieung) y = sin() + d d ewirkt eine Verschieung in y-richtung hier: d = 0 hier: d = also um nach oen! Grundwissen Mathematik 0. Klasse, Luisenurg-Gymnasium Wunsiedel Seite 3 von

4 Beispiel: y = 3sin[( - )] + π Amplitude 3 Periode = π um nach rechts um nach oen 3 EXPONENTIELLES WACHSTUM und EXPONENTIALFUNKTION lineares Wachstum: y = + a eponentielles Wachstum: y = a für a > : Startwert : Anzahl der Zeiteinheiten a: Wachstumsfaktor Die -Achse ist Asymptote. a ist immer positiv und ungleich 0! Wachstum für a> Zerfall oder Anahme für a< Jede Funktion mit einem im Eponenten heißt Eponentialfunktion. Grundwissen Mathematik 0. Klasse, Luisenurg-Gymnasium Wunsiedel Seite 4 von

5 4 LOGARITHMUS = log p ist diejenige Hochzahl (Eponent), mit der man die Basis potenzieren muss um den Potenzwert p zu erhalten, also: log p = denn = p log 8 = 3 denn 3 = 8 Sonderfälle: log = 0 log = log 0 = lg Es git nur Basen >0 und ungleich! Rechenregeln für den Logarithmus: log ( p q) = log p + log q (Logarithmus eines Produkts) p log ( ) = log p log q (Logarithmus eines Quotienten) q r log ( p ) = r log p (Logarithmus einer Potenz) log p log a p = (Wechsel der Basis) log a Lösen von Eponentialgleichungen z.b. auf eiden Seiten gleiche Basen herstellen und dann Eponenten vergleichen: + + = + = = = 0,5 oder erst noch zusammenfassen: = 7 3 = = 9 = = 7 z.b. eide Seiten logarithmieren (z.b. mit Zehnerlogarithmus): + lg = 3 + ( + )lg = lg3 + = = lg3 lg3 lg lg3 = lg 3 lg3 = ( ) = lg lg3 = lg lg3 lg3 = lg lg3 lg = lg3 ( lg 3 lg ) lg 3 = lg3 lg = lg 3 Grundwissen Mathematik 0. Klasse, Luisenurg-Gymnasium Wunsiedel Seite 5 von

6 5 MEHRSTUFIGE ZUFALLSEXPERIMENTE typische Aufgaenstellungen, z.b. eim n-maligen Würfeln: a) eim n-ten Wurf die erste Sechs: (Die ersten n- Würfe sind keine 6, der letzte schon.) n 6 ) frühestens eim n-ten Wurf eine 6: (Die ersten n- Würfe sind keine 6, der letzte Versuch kann eine 6 sein, muss aer nicht!) n c) Wie oft muss mindestens geworfen werden, damit mit einer WSK von wenigstens 90% mindestens eine Sechs kommt? P( mindestens eine Sechs ) = - P( keine Sechs ) = muss also 90% sein! 6 n n 0, 0, n n 0,9 lg lg 0, n lg lg 0, lg0, n lg n Beachte: Beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer negativen Zahl dreht sich das Ungleichheitszeichen um! edingte WK: P( A B) P B ( A) = ist die WK, dass A eintritt unter der Voredingung, P( B) dass B gilt; am esten mit Vierfeldertafel: A A B P ( A B) P( A B ) P (B) B P( A B) P( A B) P (B) P (A) P (A) Grundwissen Mathematik 0. Klasse, Luisenurg-Gymnasium Wunsiedel Seite 6 von

7 6 GANZRATIONALE FUNKTIONEN f n ( ) = a heißt auch Potenzfunktion oder Parael n-ter Ordnung Ist n gerade, so ist der Graph achsensymmetrisch zur y-achse. Ist n ungerade, so ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. 3 ganzrationale Funktion, z.b. dritten Grades: f ( ) = 0,5( 5 + 6) 3 Zur Nullstellensuche muss man die Gleichung lösen: 0,5( 5 + 6) = 0 Finde die erste Nullstelle durch Proieren: z.b. = Polynomdivision ergit die erste Zerlegung des Terms: 3 ( 5 + 6) : ( ) = 6 Löse 6 = 0 entweder mit der Lösungsformel (Mitternachtsformel aus der 9. Klasse) oder mit Satz von Vieta: 6 = ( 3)( + ) Also heißen die anderen eiden Nullstellen: = 3 und 3 = Somit kann man die Funktion auch komplett in Linearfaktoren zerlegen: f ( ) = 0,5( )( 3)( + ) Arten von Nullstellen: einfache Nst.: schneiden die -Achse; gehören zu einem einfachen Linearfaktor: f() = ( + )( - ) = - = Grundwissen Mathematik 0. Klasse, Luisenurg-Gymnasium Wunsiedel Seite 7 von

8 doppelte Nst.: erühren die -Achse; gehören zu einem zweifachen Linearfaktor: f() = ( - 3)² = = 3 dreifache Nst.: erühren und schneiden die -Achse gehören zu einem dreifachen Linearfaktor: f() = ( - )³ = = 3 = Symmetrie von Funktionen f(-) f() f(-) f() f(-) = f() achsensymmetrisch zur y-achse f(-) = - f() punktsymmetrisch zum Ursprung Grundwissen Mathematik 0. Klasse, Luisenurg-Gymnasium Wunsiedel Seite 8 von

9 Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion im Unendlichen: Nur der Grad (höchster vorkommender Eponent) entscheidet zusammen mit dem davor stehenden Faktor (Koeffizienten): f() = 0,5 3 -,5 + Das 0,5 ist positiv, also kommt der Graph von links unten und geht nach rechts oen. lim f ( ) = ± g() = Das Minus vor dem 4 ist negativ, also kommt der Graph von links unten und geht nach rechts unten. lim f ( ) = Groverlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktion z.b. f() = ( + ) ( - )² ( - ) Der Grad ist 4 (höchster Eponent nach dem Ausmultiplizieren). Koeffizient ist positiv, also kommt der Graph von links oen und geht nach rechts oen, d.h. lim f ( ) = + = - ist einfache Nst., also Schnittstelle = ist doppelte Nst., also Berührstelle 3 = ist einfache Nst., also Schnittstelle Dann muss der Graph zwangsläufig etwa so verlaufen: Grundwissen Mathematik 0. Klasse, Luisenurg-Gymnasium Wunsiedel Seite 9 von

10 7 Das Verhalten z.b. einer gerochen-rationalen Funktion im Unendlichen: falls lim f ( ) = +, so heißt f divergent falls lim f ( ) = a, so heißt f konvergent gegen die feste Zahl a z.b. + f ( ) = Nenner immer positiv, also D f = R + 5 Zähler immer ungleich 0, also keine Nullstellen lim f ( ) = lim + = lim = 5 + = also: waagrechte Asymptote y = TRICK: höchste Nennerpotenz ausklammern und kürzen! Die Brüche, die nur im Nenner ein enthalten, werden alle 0!!! y = G f Grundwissen Mathematik 0. Klasse, Luisenurg-Gymnasium Wunsiedel Seite 0 von

11 8 Der Einfluss von Parametern im Funktionsterm auf den Graphen am Beispiel ( ) ( ) f = + (Scheitelform! also S(/)) oder f ( ) = + 3 a) Verschieung in y-richtung Verschieung in y-richtung nach oen: f() + d, falls d > 0 Verschieung in y-richtung nach unten: f() + d, falls d < 0 f() + = ( - )² + + = ( - )² + 3 S(/3) f() - = ( - )² + - = ( - )² S(/0) Hänge das d hinten ans Ende des Funktionsterms an! ) Verschieung in -Richtung Verschieung in -Richtung nach rechts: f( - ), falls > 0 Verschieung in -Richtung nach links: f( - ), falls < 0 f( - ) = ( - - )² + = ( - )² + S(/) f( -(-)) = ( + - )² + = ( + )² + S(-/) Ersetze jedes im Funktionsterm durch das ( - )! c) Strecken oder Stauchen in y-richtung Strecken in y-richtung mit dem Faktor c: c f(), falls c > Stauchen in y-richtung mit dem Faktor c: c f(), falls 0 < c < f() = [( - )² +] = ( - )² + 4 S(/4) 0,5 f() = 0,5 [( - )² +] = 0,5 ( - )² + S(/) Schreie den Faktor c vor den ganzen Funktionsterm! Grundwissen Mathematik 0. Klasse, Luisenurg-Gymnasium Wunsiedel Seite von

12 d) Strecken oder Stauchen in -Richtung Strecken in -Richtung mit dem Faktor a: f(a), falls 0 < a < Stauchen in -Richtung mit dem Faktor a: f(a), falls c > f(0,5) = (0,5 - )² + = [0,5 ( - )]² + = 0,5 ( - )² + S(/) f() = ( - )² + = [ ( - 0,5)]² + = 4 ( - 0,5)² + S(0,5/) Ersetze jedes vorkommende im Funktionsterm durch a! e) Spiegeln des Graphen Achsenspiegeln an der -Achse: Achsenspiegeln an der y-achse: Punktspiegeln am Ursprung: -f() f(-) -f(-) -f() = - [( - )² + ] = - ( - )² - f(-) = (- - )² + = ( + )² + -f(-) = - [(- - )² + ] = -( + )² - S(/-) S(-/) S(-/-) Schreie das - vor den ganzen Term zw. vor jedes vorkommende zw. eides! Grundwissen Mathematik 0. Klasse, Luisenurg-Gymnasium Wunsiedel Seite von