Kreis - Kugel Länge des Kreisbogens: Flächeninhalt des Kreissektors: Umrechnung ins Bogenmaß: α. α 360. b: Frequenz c: Phasenverschiebung 1,4 1,4 1,0

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1 Wirsberg-Gmnasium Grundwissen Mathematik 0. Jahrgangsstufe Lerninhalte Fakten-Regeln-eispiele Kreis - Kugel Länge des Kreisbogens: Flächeninhalt des Kreissektors: Umrechnung ins ogenmaß: α b π r 0 α π A π r α α G 0 0 Trigonometrie Volumen der Kugel: Oberflächeninhalt der Kugel: V π r A O π r Die alemeine Sinusfunktion: a a sin( b + c) a: Amplitude b: Frequenz c: hasenverschiebung,,,0,0 0, 0, π - - 0, - -0, π π - 0, - -0, π - -0, -0, -,0 -,0 sin sin -, sin sin () sin () -, sin sin (+π/)

2 Eponentialfunktion, Logarithmus Lineares Wachstum(eispiel): 0 +0 Eponentielles Wachstum(eispiel): , ,,, t t Wachstum mit konstantem Zuwachs in gleichen (Zeit-) Schritten Wachstum mit konstantem Wachstumsfaktor in gleichen (Zeit-) Schritten

3 - - Eponentialfunktion, Logarithmus Eponentialfunktionen der Form a a ; a R f : a a Für a> nehmen die Funktionswerte mit wachsendem zu. Der Graph steigt. Für a< nehmen die Funktionswerte mit wachsendem ab. Der Graph fällt. Die Funktionswerte sind stets positiv. Sämtliche Graphen verlaufen durch den unkt (0 ). Die -Achse ist Asmptote des Graphen. Spiegelt man den Graphen von a a an der -Achse, so erhält man den Graphen von a. a eim Übergang vom Graphen g: a a zum Graphen von f: a b a wird jede -Koordinate eines unktes des Graphen von g in der -Richtung mit dem Faktor b gestreckt. Der Graph der Logarithmusfunktion: Spiegelt man den Graphen der Eponentialfunktion a a den Graphen der Logarithmusfunktion ; a log a ; a R + a R + an der Winkelhalbierenden des I. Quadranten, so erhält man

4 Eponentialfunktion, Logarithmus Rechengesetze für Logarithmen: ( u > 0, v > 0, a > 0, a ): Gesetz: eispiel: log a ( u v) log a u + log a v log 8 log + log 8 + loga ( u : v) loga u loga v log : 8 log log 8 log a u ( ) 8 ( ) log u log log 0 a u Umrechnungsformel: log a u. Dabei gilt: u : log0 u a Eponenzialeichungen:. Lösungsmöglichkeit: Tritt die Variable als Eponent auf, so lässt sich die Gleichung oft durch Logarithmieren lösen. eispiel:, (, ) (, 0,8 ), (, 0,8 ),,, 0,8 +, 0,8 0,8, +,,, 0,8. Lösungsmöglichkeit: Substitution eispiel: + u : u + u ± u/ u 0 u + u u ; u u + 0 Die robe zeigt, dass beide -Werte Lösungen sind.

5 Stochastik Vierfeldertafel: (eispiel) eim Lotto werden sechs aus 9 Zahlen gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die gezogene Zahl weder durch noch durch teilbar? Lösung: Ereignis G: Zahl ist gerade. Ereignis S: Zahl ist durch teilbar. Tipp: Zuerst die Vierfeldertafel mit Anzahlen; dann die Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten aufstellen. G G S S 9 Zeilensummen Spaltensummen S S G G Antwort: Mit der Wahrscheinlichkeit ist die gezogene Zahl weder durch noch durch teilbar.

6 Stochastik edingte Wahrscheinlichkeit: ( A) ( A) A A A ( ) A ( ) A ( ) ( A ) Sind A und Ereignisse eines Zufallseperiments mit (A) 0, so versteht man unter der bedingten Wahrscheinlichkeit A () die ( ) A ( A ) Wahrscheinlichkeit des Eintretens von unter der edingung des Eintretens von A. A ( A ) ( A ) Es gilt: A ( ) ( ) ( A) eispiel: ei der Herstellung eines elektronischen auteils ist bekannt, dass der Ausschuss % beträgt. ei einem rüfverfahren werden defekte auteile mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% erkannt. Es passiert jedoch auch, dass das rüfverfahren fälschlicherweise intakte auteile beanstandet. Mit 99,% Wahrscheinlichkeit wird ein intaktes auteil nicht beanstandet. a) Mit welcher WS wird ein intaktes auteil beanstandet? b) Mit welcher WS ist ein auteil defekt, wenn es beanstandet wird? 0,0 0,98 0,99 D 0,0 0,00 D 0,99 Zu b) ( D) Zu a) D ( D ) ( ) ( ) 0,00 0,% ( D) ( ) ( D) ( ) + ( D) ( ) D D 0,0 0,99 80,% 0,0 0,99 + 0,98 0,00 D

7 Ganzrationale Funktionen otenzfunktionen mit natürlichen Eponenten: Darunter versteht man Funktionen mit der Zuordnungsvorschrift a n a ( N n ). n ist der Grad der otenzfunktion. Gerade Eponenten: Die Graphen sind achsensmmetrisch bezüglich der -Achse. a>0: Für <0 nehmen mit wachsenden -Werten die -Werte ab, für >0 zu. Ungerade Eponenten: Die Graphen sind punktsmmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs. a>0: Mit wachsenden -Werten nehmen die Funktionswerte zu ,8^ 0,8^ 0,8^ ,8^ 0,8^ 0,8^ 0,8 a<0: Für <0 nehmen mit wachsenden Funktionswerten die -Werte zu, für >0 ab ,8-0,8-0,8 a<0: Mit wachsenden -Werten nehmen die Funktionswerte ab ,8-0,8-0,8-0,

8 Ganzrationale Funktionen egriff des olnoms: Terme, die aus Summen von otenzen (mit Eponenten aus N 0 ), derselben Variablen und zugehörigen Koeffizienten bestehen, nennt man olnome. Der höchste in einem olnom bei einer Variable vorkommende Eponent heißt Grad des olnoms. eispiele: a) b) + eispiele: Zu a) Der Grad beträgt wegen Zu b) Der Grad beträgt 8.. egriff der ganzrationalen Funktion: Darunter versteht man eine Funktion, deren Funktionsterm ein olnom ist. eispiel: 8 9 ei p : a + handelt es sich um eine ganzrationale Funktion vom Grad 8. Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion für betragsmäßig große -Werte (eispiele): a + a + 0, Fortsetzung: Nächste Seite

9 Ganzrationale Funktionen a a Ist der höchste vorkommende Eponent gerade, so verläuft der Graph von oben nach oben oder von unten nach unten. Ist der höchste vorkommende Eponent ungerade, so verläuft der Graph von unten nach oben oder von oben nach unten. Das Ermitteln von Nullstellen bei ganzrationalen Funktionen: eispiel: p : a +. Schritt: Finden einer Nullstelle durch sstematisches robieren Man erhält z.... Schritt: olnomdivision ( + ) : ( - ) - + -( - ) (- + 8 ) - - ( - ) 0 Dividiere durch. Multipliziere das Ergebnis mit -. Subtrahiere - von Schritt: Nullsetzen des Ergebnisterms der olnomdivision. + 0 ; 0 ; ; Ergebnis: Die Nullstellen lauten: Der Funktionsterm von p zerfällt in Linearfaktoren: p : a ( ) ( ) ( ) Fortsetzung: nächste Seite

10 Funktionen und ihre Graphen Man spricht von einer k-fachen Nullstelle, wenn in der vollständig faktorisierten Form des Funktionsterms der entsprechende Linearfaktor k-mal vorkommt. eispiel: f : a ( - 0 ) ( - (-)) ( - ) f hat bei 0 eine einfache, bei - eine doppelte und bei eine dreifache Nullstelle Vielfachheit und Graph ei gerader Vielfachheit einer Nullstelle überquert der Graph die -Achse bei dieser Nullstelle nicht. Mögliche Graphenverläufe: ei ungerader Vielfachheit einer Nullstelle überquert de Graph die -Achse bei dieser Nullstelle. Mögliche Graphenverläufe: bzw. bzw. Verschieben von Funktionsgraphen: Sind zwei Funktionen f und g gegeben und gilt g()f( + a) + b, so entsteht der Graph von g aus dem Graphen von f durch Verschiebung um a in -Richtung (a>0: nach links, a<0: nach rechts), und um b in -Richtung (b>0: nach oben, b<0: nach unten). g()f(+())+ G f + + G g

11 Funktionen und ihre Graphen Strecken und Spiegeln von Funktionsgraphen: Gilt für zwei Funktionen f und g die Gleichung g( ) k f ( ) mit k > 0, so ist der Graph von g gegenüber demjenigen von f in -Richtung von der -Achse aus mit dem Streckungsfaktor k gestreckt. Der Graph der Funktion g mit g( ) f ( ) geht aus dem Graphen von f durch Spiegelung an der -Achse hervor. Gilt für zwei Funktionen f und g die Gleichung h( ) f ( k ) mit k > 0, so ist der Graph von h gegenüber demjenigen von f in -Richtung von der -Achse aus mit dem Streckungsfaktor k gestreckt. Der Graph der Funktion h mit h( ) f ( ) geht aus dem Graphen von f durch Spiegelung an der -Achse hervor. Achsensmmetrie bezüglich der -Achse f(-)f() unktsmmetrie bezüglich des Ursprungs f(-)-f() f(-) - f() - f(-) f() Grenzwerte im Unendlichen: Kommen die Funktionswerte f() einer Funktion f für beliebig groß werdende -Werte einer Zahl a beliebig nahe, so nennt man a den Grenzwert der Funktion f für gegen plus unendlich ( + ). Schreibweise: lim f ( ) a + Die Gerade a ist waagerechte Asmptote des Graphen von f. Entsprechend ist der Grenzwert für definiert. eispiele: a) lim lim lim b) lim cos + eistiert nicht, da die Funktionswerte zwischen - und + schwanken.