Trigonometrie aus geometrischer und funktionaler Sicht

Transkript

1 Trigonometrie aus geometrischer und funktionaler Sicht Der Kosinussatz und der Sinussatz: Wenn in einem Dreieck nur zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind, oder nur die drei Seiten bekannt sind, dann benötigt man den Kosinussatz (den Zusammenhang zwischen den drei Seiten und einem Winkel). Bei spitzwinkligen Dreiecken gilt: C γ u b hₐ D a-u A c B cos(γ) b = u und sin(γ) b = hₐ Der Satz des Pythagoras besagt für das Dreieck ABD: c = (a u) + (h a ) c = a + b ab cos(γ) (Nach Einsetzen und Umformungen) Bei stumpfwinkligen Dreiecken gilt: D v h a γ C γ a A B

2 v = b cos(γ ) und h a = b sin(γ ) Der Satz des Pythagoras besagt für das Dreieck ABD: c = (a + v) + h a c = a + b ab cos(γ) (Nach Einsetzen und Umformungen) Die folgenden Gleichungen gelten, wenn α und β die eingeschlossenen Winkel sind: a = b + c bc cos (α) b = a + c ac cos (β) c = a + b ab cos (γ) Sobald α,β oder γ = 90 gilt, muss der Satz des Pythagoras angewendet werden. Sinussatz sieht wie folgt aus: (Bildquelle: Der Sinussatz bezeichnet eine Beziehung zwischen zwei Seiten und dem jeweiligen Gegenwinkel Anwendung bei zwei gegebenen Winkeln und einer Seite oder zwei gegebenen Seiten und einem Gegenwinkel Quelle: Lambacher Schweizer Mathematik 10 Klett Verlag Seite 40f

3 Trigonometrische Funktionen 1. Die Sinusfunktion f(x) = sin(x) ; sin(x) = sin(x + k ) k є ; 0 x < Wertetabelle: x sin(x) x sin(x) Die Sinusfunktion y = sin (x) ist: 1. punktsymmetrisch zum Ursprung f(x) = f(x). periodisch mit der Periode Die Nullstellen der Sinusfunktion sind das Vielfache von. (kurz: sin(x) = 0 = {k; k } ) Wertemenge: IW = [-1;1]

4 . Die Kosinusfunktion Wertetabelle: f(x) = cos(x) ; cos(x) = cos(x + k ) k є ; 0 x < X cos(x) X cos(x) Die Kosinusfunktion y = cos (x) ist: 1. achsensymmetrisch zur y-achse; f( x) = f (x). periodisch mit der Periode Die Nullstellen der Kosinusfunktion: cos(x) = 0 = { + k; k } Wertemenge: IW = [-1;1] Die Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion werden als Sinus bzw. Kosinuskurve bezeichnet. Quelle: Lambacher Schweizer Mathematik 10 Klett Verlag Seite 48ff

5 3. Die allgemeine Sinusfunktion: 1) f(x) = a sin(x) mit a \ {0} Beispiel: Blau: f 1 (x) = sin(x) orange: f (x) = 0,5sin (x) Grün: F(x) = sin(x) = ; IW = [-a; a] ; Periode: Beschreibung: Dehnung bzw. Stauchung in y-richtung a ist die Amplitude, welche den größten y-wert angibt. a < 0: Funktion wird an der x-achse gespiegelt ) f(x) = sin(b x); x ; b > 0 Beispiel: Lila:f 1 (x) = sin(x) schwarz: f (x) = sin(0,5x) = ; IW= [-1; 1] Periode: b Beschreibung: Dehnung bzw. Stauchung in x-richtung 3) f(x) = sin(x+c) mit x Beispiel: Lila: f 1 (x) = sin (x + ) blau: f (x) = sin (x ) = ; IW = [-1; 1] ; Periode: Beschreibung: Verschiebung in x-richtung um c (Phasenverschiebung)

6 4) f(x) = sin(x) + d; d Beispiel: Grün: f 1 (x) = sin(x) + = ; IW = [d-1; d+1] ; Periode: Beschreibung: Verschiebung in y-richtung um d x a sin(bx + c) ist die allgemeine Sinusfunktion. Quelle: Lambacher Schweizer Mathematik 10 Klett Verlag Seite 53ff, Graphen selbst erstellt mit GeoGebra Potenzfunktionen 1. f(x) = x n ; = ; n Der Graph ist eine Parabel n-ter Ordnung. Eigenschaften für gerade Exponenten: G f ist achsensymmetrisch zur y- Achse für x 0 streng monoton fallend und x 0 streng monoton fallend. Eigenschaften für ungerade Exponenten: G f ist punktsymmetrisch zum Ursprung; Streng monoton steigend. f(x) = x n ; = \ {0} ; n Der Graph ist eine Hyperbel Die x- und y- Achse sind Aysmptoten. Schreibweise für negative Exponenten: x n = 1 x n

7 Negative gerade Funktion : f(x) = x Negative ungerade Funktion : f(x) = x 3 Quelle: Lambacher Schweizer Mathematik 10 Klett Verlag Seite 108ff, Graphen selbst erstellt mit GeoGebra

8 Exponentialfunktion 1. Einschub: Linearer Zuwachs: konstanter Anstieg in gleichen Abschnitten Um f(0) zu bestimmen gilt: f(x) = f(0) + x d wobei d der Zuwachs ist und f(0) der y-achsenabschnitt. d = f(x) f(x 1) f(x) x Absolute Zunahme. Exponentielles Wachstum: konstanter Wachstumsfaktor a = Um g(0) zu bestimmen gilt: g(x) = g(0) a x g(x) g(x 1) Quelle: Lambacher Schweizer Mathematik 10 Klett Verlag Seite 64f 3. Weitere Verallgemeinerung der Expontionalfunktion: f(x) = b a x Mit a > 0 und a 1 Wobei b der Anfangswert f(0) und a der Wachstumsfaktor (0 < a < 1: Abnahme bzw. negatives Wachstum und 1 < a: Zunahme bzw. positives Wachstum) ist. Eigenschaften der Exponentialfunktion: 1. = +. Die Wertemenge ist 3. Alle Expontentialkurven verlaufen im I. und II. Quadranten 4. a > 1: Kurven sind streng monoton steigend (grüne Kurve f(x) = x ) 0 < a < 1: Kurven sind streng monoton fallend (rote Kurve g(x) = 0,5 x )

9 5. Jede Exponentialkurve schneidet den Punkt P (0 1) 6. a > 1 Der negative Teil der x Achse ist die Asymptote 0 < a < 1 Der positive Teil der x Achse ist die Asymptote 7. Die Kurve mit ( 1 a ) x ist die Spiegelung der Kurve mit a x an der y Achse 4. Verdopplungs- und Halbwertszeit: Die Zeit, in der sich die y- Werte einer Funktion verdoppeln, bezeichnet man als Verdopplungszeit T D. Es gilt: f(t + T D ) = f(t) und (hier) f(t) = x

10 Die Halbwertszeit T H bezeichnet die Zeit, in der sich die Funktionswerte halbieren. Es gilt: g(t + T H ) = 1 g(t) und (hier) g(t) = 0,5 x Quelle: Lambacher Schweizer Mathematik 10 Klett Verlag Seite 69f, Graphen selbst erstellt mit GeoGebra Exponentialgleichungen Definition: Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung mit einer Variablen im Exponenten. Exponentialgleichungen lassen sich durch Substitution und Logarithmieren lösen. Beispiel: 16 a 6 4 a + 8 = 0 4 a 4 a 6 4 a + 8 = 0 Substitution: 4 a = u u u 6u + 8 = 0 u 6u + 8 = 0 u 1/ = (6)± ( 6) u 1 = 6+ = 4 u = 6 = = 6± 36 3 = 6± 4 Rücksubstitution: u 1 : 4 a = 4 a = 1 u : 4 a = log 4 () = a a = 0,5 = {0,5; 1} = 6± Quelle: Lambacher Schweizer 10 Mathematik Seite 83ff

11 Der Logarithmus Anmerkung: Eine Umkehrfunktion entsteht, wenn man y mit x vertauscht. f: y = x ( normale Funktion) f 1 : x = y (Umkehrfunktion) Geometrisch gesehen wird die normale Funktion an der Winkelhalbierenden des ersten und dritten Quadranten y = x gespiegelt. Gesucht wird die Umkehrung des Potenzieren mit x und da die Exponentialfunktion streng monoton ist, ist diese Funktion umkehrbar. Die Lösung der Exponentialgleichung a x = b, wobei a > 0 und a 1 und b > 0, wird der Logarithmus von b zur Basis a genannt und wird wie folgt verschriftlicht: x = log a b Beispiel: 8 = 56 8 = log 56 log a b ist die eindeutig bestimmte Zahl, mit der a potenziert werden muss, sodass man b erhält. a log a b = b Rechenregeln: log a x + log a y = log a (x y) log a x log a y = log a (x y) log a x t = t log a x log a (a) x = x log a (a) = 1 log a (1) = 0

12 Wie sieht die Logarithmusfunktion graphisch aus? Bildquelle: hmusfunktion Eigenschaften der Logarithmusfunktion: 1. = +. Die Wertemenge ist 3. Jede Logarithmuskurve verläuft durch den I. und IV. Quadranten 4. Alle Logarithmuskurven haben die NST (1 0) 5. a > 1 Kurve ist streng monoton steigend 0 < a < 1 Kurve ist streng monoton fallend 6. a > 1 Asymptote: negativer Teil der y Achse 0 < a < 1 Asymptote: positiver Teil der y Achse Quelle: Lambacher Schweizer Mathematik 10 Klett Verlag Seite 76 Lösen von Logarithmusgleichungen: 1. Berechnen der Definitionsmenge. Lösen durch Umkehrung des Logarithmus lg x Umrechnungsformel: log a x = ; wobei lg der Zehnerlogarithmus (log lg a 10) ist. z.b. log 3 15 = lg15 lg3 Quelle: Lambacher Schweizer Mathematik 10 Klett Verlag Seite 79

13 Der Kreis Wiederholung: Kreisumfang und Kreisfläche: Das Rote ist der Kreisumfang und lässt sich durch U k = r berechnen, wobei 3,14 ist Das Blaue ist die Kreisfläche und lässt sich durch A K = r berechnen. Kreisbogen und Kreissektor: In einem Kreis gehören zu gleichgroßen Mittelpunktswinkeln μ gleichlange Bögen b. Kreissektor b μ Allgemein gilt: b = μ 360 r Der Flächeninhalt des Kreissektors lässt sich durch A s = μ 360 ist der Anteil am Kreis. Zusammenhang zwischen A s und b: b = μ r nach μ auflösen μ = b r μ in A s einsetzen A S = r 360 b 360 r = 1 r b Quelle: Lambacher Schweizer Mathematik 10 Klett Verlag Seite 1 μ 360 r berechnen.

14 Das Bogen- und Gradmaß: b 1 b r = μ 360 b r 1 μ r Der Quotient b aus Bogenlänge b und des jeweiligen Radius r ist für einen r bestimmten Winkel immer derselbe und hängt somit nur von diesem Winkel ab. Man bezeichnet es als Bogenmaß x des Winkels μ. ( x є ) Deshalb gilt: x = μ Veranschaulichung: 180 und μ = x 180 r soll gleich 1LE sein x b Einheitskreis r = 1LE μ im Gradmaß μ im Bogenmaß Quelle: Lambacher Schweizer Mathematik 10 Klett Verlag Seite 1f

15 Die Kugel Kugeln entstehen durch Rotation einer Kreisfläche um eine ihrer vielen Spiegelachsen. Der Radius der Kreisfläche ist ebenso der Radius der Kugel. Der Mittelpunkt bleibt auch erhalten. Volumen der Kugel: V K = 4 r3 3 Oberflächeninhalt der Kugel: O K = 4 r Bildquelle: Quelle: Lambacher Schweizer Mathematik 10 Klett Verlag Seite 17ff Quellen: Lambacher Schweizer 10 Mathematik für Gymnasien Bayern Ernst Klett Verlag, Bildquellen (siehe Bild oder selbst erstellt mit GeoGebra bzw. Paint); Koordinatensysteme mit Graphen erstellt mit GeoGebra