KREISFUNKTIONEN. Allgemeines

Transkript

1 KREISFUNKTIONEN Allgemeines Um die Graphen der Winkelfunktionen zeichnen und verstehen zu können, ist es wichtig, den Einheitskreis zu kennen. Zunächst stellt man sich einen Kreis mit dem Radius 1 vor. Man zeichnet nun eine Linie mit dem vorgegebenen Winkel (im Bild schwarz) ein. Der Winkel wird immer von der positiven x-achse weg gemessen. Nun erhält man den Punkt P. Die y- Koordinate dieses Punktes (also der senkrechte Abstand; blau) ist der Sinus-Wert, die x- Koordinate (also der waagrechte Anstand; rot) ist der Cosinus-Wert. Der Tangens-Wert (goldene Linie) ergibt sich, wenn man die schwarze Linie verlängert und mit einer gedachten senkrechten Linie die immer ganz rechts verläuft schneidet. Wenn man nun die nachfolgenden Bilder betrachtet fällt folgendes auf: Je größer der Winkel zw. 0 und 90 wird, desto größer werden die Sinus- und Tangens- Werte und desto kleiner werden die Cosinus-Werte (Bild 1 auf Bild 2). Zwischen 90 und 180 werden die Sinus-Werte wieder kleiner, die Tangens- und Cosinus-Werte sind negativ (Bild 3). Zwischen 180 und 270 werden die negative Cosinus-Werte wieder kleiner, die Sinus- Werte werden negativ, und die Tangens-Werte positiv (Bild 4). Zwischen 270 und 360 werden die Cosinus-Werte wieder positiv, die Sinus-Werte bleiben negativ, werden aber kleiner, und die Tangens-Werte sind wieder negativ (Bild 5). Die Werte für Sinus und Cosinus schwanken zwischen 0 [z.b. sin(180), oder cos(90 )] und 1 [z.b. sin(90), oder cos(180 )], die Werte für Tangens können auch größer als 1 sein (Bild 2). Der Tangens hat für die Winkel 90 und 180 keinen Wert, da hierbei die schwarze Linie parallel zur goldenen verläuft und somit nie schneidet. Die Werte für sin, cos und tan wiederholen sich. So ist der Sinus-Wert für die Winkel 30 und 150 gleich groß (weil 150 eigentlich 30 von der negativen x-achse nach oben gerechnet sind; vgl. Bild6).

2 Sinus-Funktion Will man nun den Verlauf der Sinus-Funktion zeichnen, so braucht man nur nach den oben erstellten Auffälligkeiten vorgehen. Der Sinus von 0 und 180 = 0, der Sinus von 90 = 1, der Sinus von 180 = -1. Deshalb folgender Graph (meistens wird die x-achse statt in Grad im Bogenmaß gegeben => 180 = π => 360 = 2π => 90 = π/2 => 270 = 3π/ Bis hierher verläuft eine Periode, ab hier startet der Graph wieder neu (361 = 1, 370 = 10 ) Der oben gezeigt Graph ist jener der y = sin(x)-funktion. Verändert man die Parameter, so verändert sich auch der Graph. Eigentlich ist die Grundgleichung einer Sinus-Funktion: y = a*sin(b*x+c) + d a = Amplitude (wie weit sie rauf/runter geht), b = Stauchung/Steckung, c = Verschiebung in Richtung, d = Verschieung in y-richtung

3 Cosinus-Funktion Auch für den Verlauf der Cosinus-Funktion braucht man nur nach den oben erstellten Auffälligkeiten vorgehen. Der Cosinus von 0 ist 1, der Cosinus von 90 und 180 ist 0 und der Cosinus von 270 = -1, der Sinus von 180 = Auch beim Cosinus verläuft eine Periode bis 360 oder 2π. Der oben gezeigt Graph ist jener der y = cos(x)-funktion. Verändert man die Parameter, so verändert sich auch der Graph. Eigentlich ist die Grundgleichung einer Cosinus-Funktion: y = a*cos (b*x+c) + d a = Amplitude (wie weit sie rauf/runter geht), b = Stauchung/Steckung, c = Verschiebung in Richtung, d = Verschieung in y-richtung Tangens-Funktion Der Tangens startet bei 0 mit dem Wert 0, wird zw. 0 und 90 immer größer, bei genau 90 besitzt er keinen Wert (da die Linien parallel sind), ab 90 ist er negativ und nimmt immer weiter ab, bis er bei 180 wieder bei 0 ist. Deshalb sieht der Funktionsgraph so aus.

4 Auch beim Tangens verläuft eine Periode bis 360 oder 2π. Der oben gezeigt Graph ist jener der y = tan(x)-funktion. Verändert man die Parameter, so verändert sich auch der Graph. Eigentlich ist die Grundgleichung einer Tangens-Funktion: y = a*tan (b*x+c) + d a = Amplitude (wie weit sie rauf/runter geht), b = Stauchung/Steckung, c = Verschiebung in Richtung, d = Verschieung in y-richtung

5 Zusammenhänge zwischen den Betrachtet man die Standard-Sinus-Funktion und die Standard-Cosinus-Funktion, so fällt auf, dass diese eigentlich gleich, nur verschoben aussehen. Die Standard-Cosinus-Funktion ist um 90 (oder π ) nach links verschoben. Bei einer Linksverschiebung wird der Parameter b mit + 2 angegeben, bei einer Rechtsverschiebung wird der Parameter b mit angegeben. Deshalb kann man auch sagen: sin(x) = cos(x - π ) oder cos(x) = sin(x + π ). 2 2 Wenn man den Einheitskreis oben betrachtet, so fällt auf, dass immer ein rechtwinkeliges Dreieck zwischen der schwarzen, der Sinus- und der Cosinus-Linie besteht. Ihr Zusammenhang lautet daher (nach Pythagoras): sin(x)² + cos(x)² = 1². Wenn man weiß, dass der Tangens mit Gegenkathete durch Ankathete definiert ist und man den einheitskreis oben betrachtet, so fällt weiter auf, dass tan(α) = sin (α) sein muss. Weitere Zusammenhänge werden über die cos (α) Summensätze gegeben: Summensätze Erster Summensatz: sin(α±β) = sin(α) * cos(β) ± cos(α) * sin(β) cos(α±β) = cos(α) * cos(β) sin(α) * sin(β) tan(α±β) = tan(α) ± tan (β) 1 tan(α) tan (β) Zweiter Summensatz: sin(α) + sin(β) = 2*sin( α+β 2 ) * cos(α β 2 ) sin(α) - sin(β) = 2*cos( α+β 2 ) * sin(α β 2 ) cos(α) + cos(β) = 2*cos( α+β 2 ) * cos(α β 2 ) cos(α) - cos(β) = -2*sin( α+β 2 ) * sin(α β 2 )

6 Weitere Begriffe Amplitude: Wie weit der Graph ausschlägt (standardmäßig bis 1) = Parameter a Schwingungsdauer: Auch Periode genannt = wann der Graph wieder von vorne beginnt (standardmäßig nach 2π) Parameter 2π b Frequenz: Zahl der Schwingungen pro Sekunde, Kehrwert der Schwingungsdauer => f = 1 T