Wiederhole eigenständig: elementare Konstruktionen nach diesen Sätzen

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1 1/5 Erinnerung: Kongruenzsätze SSS, SWS, WSW, SsW Wiederhole eigenständig: elementare Konstruktionen nach diesen Sätzen Grundwissen: Elementare Sätze über Dreiecke: o Winkelsumme o Dreiecksungleichung o Alle Dreiecke haben Umkreis und Inkreis o Alle Mittelsenkrechten, Winkelhalbierenden, Höhen, Seitenhalbierende schneiden sich in je einem Punkt M, W, H, S Dreiecke, die in den Angaben SSS, SWS, WSW, SsW übereinstimmen, sind damit o kongruent und o eindeutig konstruierbar Elementarkonstruktionen Da die Dreiecke aus je drei Daten eindeutig konstrierbar sind, sollte es möglich sein, die restlichen Daten zu berechnen Das geht tatsächlich! Vorweg: Ähnlichkeit Etwas salopp: Kongruenz = gleiche Form und Größe Ähnlichkeit = gleiche Form Überlege: WWW ist kein Kongruenzsatz! WWW liefert nur ähnliche Dreiecke Δ1 und Δ2: α1 = α2, β1 = β2, γ1 = γ2 Für ähnliche Dreiecke Δ1 und Δ2 gilt nach dem Strahlensatz: a1:a2 = b1:b2 = c1:c2 Rechtwinklige Dreiecke Rechtwinklige Dreiecke sind über die Sätze von Pythagoras berechenbar! Dem rechten Winkel gegenüber: die Hypotenuse h Betrachte die Winkel φ und φ Und die Gegenkathete g gegenüber φ sowie die Ankathete a als zweiten Schenkel von φ Mit den Mitteln höherer Mathematik sind die Seitenverhältnisse g/h und a/h direkt mit beliebiger Genauigkeit berechenbar. Alle TR und Computerprogramme verfügen über entspr. Algoritmen.

2 2/5 Aus formalen Gründen werden folgende sinnvollen Bezeichnungen und Schreibweisen benutzt: g : h = SINUS von φ = sin (φ) = auch kurz sin φ a : h = COSINUS von φ = cos (φ) = auch kurz cos φ Der Vollständigkeit halber definiert man noch g : a = TANGENS von φ = tan (φ) auch tan φ oder tg φ Gut einprägen: Sinus (Winkel) = Gegenkathete : Hypotenuse Cosinus (Winkel) = Ankathete : Hypotenuse Tangens (Winkel) = Gegenkathete : Ankathete Gut einprägen: Gegenkathete = Hypotenuse Sinus (Winkel) Ankathete = Hypotenuse Cosinus (Winkel) Gegenkathete = Ankathete Tangens (Winkel) Überlege eine erste Regel: sin φ = cos φ = cos (90 0 φ) Überlege eine zweite Regel: tan φ = sin φ / cos φ Zeige ein wichtiges Gesetz: (sin φ) ² + (cos φ) ² = 1 Überlege (derzeit noch) 0 0 < φ < < sin φ < 1 und 1 > cos φ > 0 und 0 < tan φ < Aufgabe: Berechnung spezieller Werte der sog. Winkelfunktionen sin, cos, tan für die Argumente φ = 0 0, 30 0, 45 0, 60 0 Merken (Eselsbrücke): sin (30 0 ) = ½ 1 = ½ sin (45 0 ) = ½ 2 sin (60 0 ) = ½ 3 sin (90 0 ) = ½ 4 = 1 Beliebige Werte werden mit dem TR berechnet sin ( 50 0 ) = 0,

3 3/5 Betrachte nun sin φ, cos φ und tan φ als Funktionen des Winkels φ Da bislang alle Funktionen als sog Argument (Variable) ein dimensionsloses x benutzen, führt man eine dimensionslose Winkelgröße ein Eine neue Winkelgröße: der ARCUS Für einen Winkel beliebiger Größe definieren wir Auswendig lernen: Der ARCUS von φ = arc (φ) ist die dimensionslose Länge des Bogens zu diesem Winkel in einem Kreis mit Radius 1. Auswendig lernen: der arcus eines Winkels ist die Länge des Bogens in einem Kreis mit Radius 1 Prüfe, ob du das verstanden hast: arc ( ) = 2π = 6, 28 arc ( ) = π = 3,14 arc ( 90 0 ) = π/2 arc ( 60 0 ) = π/3 arc ( 45 0 ) = π/4 Dein Rechner kann den Winkel in GRAD ( deg) und im Arcus ( arc) verarbeiten. Überlegen und merken: arc(φ) / π = φ/180 0 Einprägen: arc (360 0 ) = 2π ; arc (180 0 ) = π ; arc (90 0 ) = π/2 ; arc (60 0 ) = π/3 ; arc (45 0 ) = π/4 Formel: arc (φ) : 2π = φ : bzw. arc (φ) : π = φ : In einem Einheitskreis ( Radius = 1 ) lassen sich Arcus und die Winkelfunktionen elegant gegenüberstellen. y Die Winkelfunktionswerte sind direkt als Längen der Kathteten greifbar! Der Arcus ist die Länge des Bogens zu α Ausgehend vom Einheitskreis kann man die Winkelfunktionen problemlos auf Winkel > 90 0 erweitern x Wir definieren sie einfach als Streckenlängen der Katheten! -2 Damit sind sin (x), cos (x) und tan (x) Funktionen auf R mit der Variable x als Arcus des Winkels.

4 4/5 Erweiterung der Winkelfunktionen: Winkel > 90 0 Die elementaren Definitionen im rechtwinkligen Dreieck Sinus (Winkel) = Gegenkathete : Hypotenuse Cosinus (Winkel) = Ankathete : Hypotenuse Tangens (Winkel) = Gegenkathete : Ankathete dienen naturgemäß vorrangig Berechungen in rechtwinkligen Dreiecken Man kann darauf aufbauend Algorithmen für bel. Dreiecke entwickeln (Sinus-, Cosinussatz) Mit einem genialen Trick kann man die Einschränkung 0 0 < Winkel < 90 0 überwinden Und man erhält ein wertvolles in Wissenschaft und Technik vielbenutztes Werkzeug Du brauchst dieses Werkzeug u.a. für die Beschreibung von Kreis- und Schwingbewegungen! Die Winkelfunktionen im Einheitskreis Wir betrachten Sinus, Cosinus, Tangens als FUNKTIONEN des Winkels. Dieser Winkel (Das Argument, die Variable der Funktion) wird i.a. als reine Zahl als ARCUS angegeben! Die Werte der Funktionen sind direkt auf den Achsen ablesbar. Beachte die Vorzeichen! Damit erhält man periodische Graphen Diese Graphen beschreiben viele Präge sie dir gut ein! f(x) = sin (x) f(x) = cos (x) Wichtig: die Winkelfunktionen sin x, cos x haben die Periode 2π

5 Die allgemeine Winkelfunktion A sin[2π/p (x + Δφ)] + c 5/5 Variiere die Parameter in einem Kurvenplotter Paramter und Darstellung gemäß der üblichen Schreibweise und praktischen Anwendung! A = Amplitude p = Periodenlänge Δφ = sog. Offset, auch Phasenverschiebung ( math. x- Verschiebung gg. das Vorzeichen!) Der Tangens kann nicht einfach über den Einheitskreis definiert werden, weil dies der Abhängigkeit Tan = Sin / Cos widerspricht!!! man erhält ein falsches Vorzeichen! Daher die abstrakte algebraische Definition: tan (x ) = sin (x) / cos (x) an den Stellen x = ungerades Vielfaches von π ist der Tangens nicht definiert: Werte ± Präge dir auch diese Kurve gut ein!